力学数学预备知识微积分及矢量

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,力学数学预备知识微积分及矢量,2,极 限,极限,对,y = f (x),，若,x,无限趋近某一数值,x,0,，,f (x),则无限趋近某一确定数值,a,，则,a,就是函数,f (x),在,x,趋近,x,0,时的极限，记作：,3,若函数,y = f (x),在某一区间内各点均可导，则其导数,f (x),也是自变量,x,的函数，称为导函数。导函数,f(x),对,x,的导数叫做,y,对,x,的二阶导数，定义为：,y,Q,P,x,y,x,函数,y=f(x),对自变量,x,的导数，,就是,y,对,x,的变化率，定义为：,导 数,4,微 分,若函数,y = f(x),在点,x,处可导,则导数,f (x),与自变量增量,d,x,（称为：,自变量的微分,）的乘积，就叫做函数,y = f(x),在点,x,处的微分（称为：,函数的微分,） ，记作：,d,y = f (x),d,x,函数一阶导数对应的微分称为一阶微分；一阶微分,的微分称为二阶微分；二阶微分及以上的微分称为,高阶微分。,5,极值点的充要条件是在该点的一阶导数为零，且在该点两侧的导数值异号。因此，令,f(x),= 0,即可求出极值点,x,0,若,f(x,0,),0,，则为极大值点,若,f(x,0,),0,，则为极小值点,函数的极值点和极值,x,y,x,1,x,2,6,导数的运算,导数定义给出了求导方法,例如，求,y = x,2,的导数：,7,基本函数的求导公式,8, (,u,v,) =,u,v,(uv) = u v + v u,(u/v) = (u v - v u)/v,2,设,y = f(x),的反函数为,x = (y),则,(y) =,1/,f (x),复合函数的导数,设,y = f(u) , u = (x),，,则 （连锁律）,导数的基本运算法则,9,例 题,10,导数的应用,质点沿,x,轴作直线运动的速度：,质点沿,x,轴作直线运动的,加速度：,电流强度：,11,不定积分,1,、不定积分的定义,若,F (x) = f(x),，则,F(x) + c, = f(x),，,F(x) + c,就叫做,f(x),的原函数，有无穷多个；函数,f(x),的所有原函数，就叫,f(x),的不定积分，记为：,f(x),d,x = F(x) + c,。,其中叫做积分号，,f,(,x,),叫做被积函数，,x,叫做积分变量，,f,(,x,)d,x,叫做被积式，,c,叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。,（积分是微分的逆运算，即知道了导函数，求原函数）,12,不定积分,.,2,、性质,(,f(x),d,x,) =,f(x),(,先积后导等于自身,), ,f (x),d,x,=,f(x) + c,(,先导后积等于自身加上任意常数,),13,基本积分公式,a,d,x = ax + c,af(x),d,x = a,f(x),d,x,(u,v),d,x,=,u,d,x,v,d,x,x,n,d,x,=,x,n+,1,/(n+,1,) +,c,(n,-,1,) ,x,-,1,d,x,=,lnx+c,a,x,d,x,=,a,x,/,lna,+,c,e,x,d,x,=,e,x,+,c,sinx,d,x,= -,cosx,+,c,cosx,d,x,=,sinx,+,c,sec,2,x,d,x,=,tgx,+,c,csc,2,x,d,x,= -,ctgx,+,c,14,换元积分法与分部积分法,换元积分法,适当变换积分变量，把被积表达式化成基本积分公式中的形式（又称凑积分）,15,换元积分法与分部积分法,分部积分法,其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。,d(,uv,) = (,uv,) d,x,=,u,v,d,x,+,v u,d,x,=,v,d,u,+,u,d,v,两边同时积分，得：,uv,= ,v,d,u,+ ,u,d,v,则,u,d,v,=,uv,- ,v,d,u,16,分部积分法,例题, ,xe,x,d,x =,x,d,e,x,= xe,x,-,e,x,d,x,= xe,x, e,x,+ c, ,lnx,d,x = x lnx -,x,d,lnx,= x lnx -,d,x,= x lnx - x + c,17,不定积分的应用,已知加速度求速度,已知速度求位矢（或运动学方程）,（见教材,P3637,）,18,定积分,定积分概念,设函数,y = f,(,x,),在区间,a,b,上连续，把,a,b,分,成宽为,x,的,n,个小区间，当,n,时，,的极限叫函数,y = f,(,x,),在区间,a,b,上的定积分，,记作：,y,x,a,b,x,i,x,i,+x,y,=,f,(,x,),定积分的几何意义为曲边梯形的面积。,19,定积分的主要性质,20,牛顿,莱布尼茨公式,设,F(x),为函数,f(x),在区间,a,b,上的一个原函数,即,F(x)=f(x),则,称为,牛顿,莱布尼茨公式,（可以证明）,。,牛顿,-,莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。,21,牛顿,莱布尼茨公式,例题：,22,定积分的应用,计算平面几何图形的面积,计算立体的体积,计算曲线的弧长,变力的冲量,质心计算,变力做功,转动惯量,23,矢量的概念,矢量的初步概念,既有大小又有方向，且加法遵从几何法则的量叫矢量 ，用黑体字母或带箭头的字母表示：,A,。,矢量的大小又叫矢量的模，用 或,A,表示。,模等于,1,的矢量叫单位矢量，用 表示。在直角坐标系中，沿,x,、,y,、,z,轴的单位矢量，分别用 表示。,矢量具有平移不变性：矢量的平动既不改变矢量的量值，也不改变矢量的方向。,24,矢量的几何描述,矢尾,矢端,单位,25,矢量的加法与减法,矢量加法,可用平行四边形法则、三角形法则 、多边形法则,矢量减法,用三角形法则求矢量相减最方便，注意：差矢量方向是由减矢量末端指向被减矢量末端,26,矢量的正交分解,矢量的加减在直角坐标系中表示为,：,A,x,A,y,A,z,x,y,z,27,矢量乘法,矢量的数乘,定义：矢量 与实数,m,的乘积,m,仍然是矢量，大小是 的,|,m,|,倍，方向与 的方向相同或者相反，取决于,m,的正负。,性质：,28,矢量的标积（点乘积）,标积的分量表示,29,矢量标积应用,功的定义,功率的定义,30,矢量的矢积（叉乘积）,方法：伸开右手，除拇指外的四指并拢、沿,的方向伸出，并从,经小于,180,的角向,弯曲，则与四指垂直的拇指的方向即为,的方向。,31,矢量的矢积（叉乘积）,32,矢积的分量表示,33,矢量矢积应用,力矩的定义,角动量的定义,洛伦兹力的定义,34,三个矢量的混合积,35,双重矢积,36,矢量的非法运算,37,矢量函数（矢函）,一个矢量在某一过程中，若大小、方向都不发生变化，则为,恒矢量,；反之则为,变矢量,，可有三种情况：大小、方向均变化；大小变化，方向不变；大小不变，方向变化。,说一个变矢量 是标量,t,的矢函，意味着对应,t,的每一个数值，变矢 都存在一个确定的矢量与之对应，记为：,分量表示：,38,矢量函数的导数,矢量函数导数的定义,矢端曲线,39,矢量函数的导数,分量表示,40,矢量导数应用,质点速度的定义：,质点的,加速度：,质点的速度的分量表示：,41,矢函求导法则,人有了知识，就会具备各种分析能力，,明辨是非的能力。,所以我们要勤恳读书，广泛阅读，,古人说“书中自有黄金屋。,”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，,培养逻辑思维能力；,通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，,培养文学情趣；,通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。,有许多书籍还能培养我们的道德情操，,给我们巨大的精神力量，,鼓舞我们前进,。,