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22 九月 2024,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,复习 二次函数,二次函数 是初中函数的主要内容,.,也是高中学习的重要基础,.,在初中，大家已经知道 二次函数在自变量取任意实数时的最值情况,.,本讲我们将在这个基础上继续学习,当自变量 在某个范围内取值时，函数的最值问题,.,点评：,定义,要点,(1),a0,.,(2),最高次数,为,2.,(3)代数式一定是,整式,二次函数,y=x,2,-x-6,的图象顶点坐标是,_,对称轴是,_,。,例1:,（,，,-,）,1,25,2,4,x=,1,2,一般式,y=ax,+bx+c,顶点式,y=a(x-h),+k,二次函数的解析式,:,(a0),对称轴,:,直线,x=h,顶点,:(h,k),二次函数的图象,:,是一条抛物线,二次函数的图象的性质,:,开口方向,;,对称轴,;,顶点坐标,;,增减性,;,最值,一、二次函数 的图像和性质,2024/9/22,一、二次函数 的图像和性质,今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图像，利用数形结合的思想方法解决问题,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax,2,+bx+c,(a0),y=ax,2,+bx+c,(a0,当 时,y=0,当 时,y0,x3,x=-2,或,x=3,-2x3,一、二次函数 的图像和性质,2024/9/22,一、二次函数 的图像和性质,二、二次函数的三种表示方式,顶点坐标是,其中,是二次函数图象与,x,轴交点的横坐标,二、二次函数的三种表示方式,解：,设所求的二次函数为,y=a(x,1),2,-3,由条件得：,例2.抛物线的顶点为(1,3),与轴交点为(0,5),求抛物线的解析式？,点,( 0,-5 ),在抛物线上,把点,( 0,-5 ),代入,y=a(x,1),2,-3,得,a-3=-5,即,a=-2,故所求的抛物线解析式为,y=,2(x,1),2,-3,即：,y=,2x,2,-4x,5,解：,设所求的二次函数为y=a(x1)(x1,由条件得：,例3.抛物线与X轴交于A(1,0), B(1,0)并经过点M(0,1), 求抛物线的解析式？,点,M( 0,1 ),在抛物线上,所以,：,a(0+1)(0-1)=1,得：,a=-1,故所求的抛物线解析式为,y=,-,(x,1)(x-1),即：,y=,x,2,+1,课堂练习,因此：所求二次函数是：,y=2x,2,-3x+5,1.一个二次函数的图象过点(1,10), (1,4),(2,7)三点，求这个函数的解析式？,解：,设所求的二次函数为,y=ax,2,+bx+c,由条件得：,a-b+c=10,a+b+c=4,4a+2b+c=7,解得,a=2, b=-3, c=5,2.二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6).求a、b、c,解：二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2,又抛物线的顶点在直线y=x+1上 当y=2时，x=1,顶点坐标为 1 ， 2设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2,又图象经过点3，-6 -6=a (3-1)2+2 a=-2,二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x.,课堂练习,有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度,为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里,(如下图)，求抛物线的解析式,例,4,设抛物线的解析式为,y=ax,2,bx,c,，,解：,根据题意可知,抛物线经过,(0,，,0),，,(20,，,16),和,(40,，,0),三点,可得方程组,通过利用给定的条件,列出,a,、,b,、,c,的三元,一次方程组，求出,a,、,b,、,c,的值，从而确定,函数的解析式过程较繁杂，,评价,课堂练习,设抛物线为,y=a(x-20),2,16,解：,根据题意可知, 点,(0,，,0),在抛物线上，,通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活,评价, 所求抛物线解析式为,有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度,为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里,(如下图)，求抛物线的解析式,例,4,课堂练习,设抛物线为y=ax(x-40 ,解：,根据题意可知, 点,(20,，,16),在抛物线上，,选用两根式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷,评价,有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度,为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里,(如下图)，求抛物线的解析式,例,4,课堂练习,4.抛物线 yx-mx+m-1.,(1)假设抛物线经过坐标系原点，那么m_；,= 1,(2)假设抛物线与y轴交于正半轴，那么m_；,(3)假设抛物线的对称轴为y轴，那么m_。,(4)假设抛物线与x轴只有一个交点，那么m_.,1,= 2,= 0,三、二次函数的平移变换和对称变换,平移变换,探究,将 向左平移,3,个单位,再向下平移,2,个单位后,所得的抛物线的关系式是,y,=,ax,2,y,=,ax,2,+,k,y,=,a,(,x,h,),2,y,=,a,(,x,h,),2,+,k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,各种顶点式的二次函数的关系,左加右减上加下减,例3:,(0,0),(0,k),(h,0),(h,k),三、二次函数的平移变换和对称变换,2024/9/22,三、二次函数的平移变换和对称变换,平移变换,练习1.求把二次函数yx24x3的图象经过以下平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：,1向右平移2个单位，向下平移1个单位；,2向上平移3个单位，向左平移2个单位,1.,由,y=2x,2,的图象向左平移两个单位,再向下平,移三个单位,得到的图象的函数解析式为,_,2.,由函数,y= -3(x-1),2,+2,的图象向右平移,4,个单位,再向上平移,3,个单位,得到的图象的函数解析式,为,_,y=2(x+2),2,-3,=2x,2,+8x+5,y= - 3(x-1-4),2,+2+3,=-3x,2,+30x-70,3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).那么平移后的解析式为_;,y=2(x+1),2,-8,4.,将抛物线,y=x,2,-6x+4,如何移动才能得到,y=x,2.,逆向思考,由,y=x,2,-6x+4 =(x-3),2,-5,知,:,先向左平移,3,个单位,再向上平移,5,个单位,.,课堂练习,例,1.,二次函数,y=2x,2,-8x+1,，求它的最值。,O,x,y,2,-,7,解,:y=2(x-2),2,-7,由图象知,当,x=2,时，,y,有最小值，,y,min,=f(2)=-7,，,没有最大值。,四、二次函数的最值问题,当x=-m时y最小大=k,例2.当x2，4时,求函数y=fx=2x2-8x+1的最值。,O,x,y,-,7,分析：此题和上题有何不同,因,y=2(x,2),2,7,，是否当,x=2,时，,y,取得最小值？为什么？,练习：求以下函数的最大值或最小值和对应的自变量的值：,y=2x,2,8x,1,；,y=,3x,2,5x,1,(3) y=-2(x+1),2,-3,(4) y=2x,2,+3,四、二次函数的最值问题,四、二次函数的最值问题,4,-1,变1：x-1，4时，求函数y=fx=2x2-8x+1的最小值、最大值。,2,O,x,y,-,7,分析,:,由图象知,当,x=2,时，,y,有最小值，,ymin=f2=-7，,当,x=-1,时，,y,有最大值，,y =f,（,-1,）,=11,，,max,四、二次函数的最值问题,四、二次函数的最值问题,四、小结,1.,二次函数的性质,2.,三种表示方式,3.,平移变换，对称变换,再见！,
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