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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章 圆锥曲线的方程,课时,1,椭圆及其标准方程,第一节椭圆,教材必备知识精练,知识点,1,椭圆的定义,1.2022,山西运城康杰中学高二上期中,已知在平面内,F,1,F,2,是两个定点,M,是一个动点,则,“|,MF,1,|+|,MF,2,|,为定值,”,是,“,点,M,的轨迹是以,F,1,F,2,为焦点的椭圆,”,的,(,),A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要,条件,答案,1.B,若,|,MF,1,|+|,MF,2,|,|,F,1,F,2,|,则点,M,的轨迹是以,F,1,F,2,为焦点的椭圆,若,|,MF,1,|+|,MF,2,|,=,|,F,1,F,2,|,则点,M,的轨迹是,线段,F,1,F,2,.,所以,“|,MF,1,|+|,MF,2,|,为定值,”,是,“,点,M,的轨迹是椭圆,”,的必要不充分条件,.,故选,B,.,知识点,1,椭圆的定义,2,.(,多选,)2022,湖北孝感高二上调考,已知在平面直角坐标系中,点,A,(-3,0),B,(3,0),点,P,为一动点,且,|,PA,|+|,PB,|,=,2,a,(,a,0),则下列说法中正确的是,(,),A.,当,a=,2,时,点,P,的轨迹不存在,B.,当,a=,4,时,点,P,的轨迹是椭圆,且焦距为,3,C.,当,a=,4,时,点,P,的轨迹是椭圆,且焦距为,6,D.,当,a=,3,时,点,P,的轨迹是以,AB,为直径的,圆,答案,2.AC,知识点,1,椭圆的定义,3,.2022,安徽六安一中高二期中,动圆,M,与圆,M,1,:(,x,+1),2,+,y,2,=,1,外切,与圆,M,2,:(,x,-1),2,+,y,2,=,25,内切,则动圆圆心,M,的轨迹是,.,答案,3,.,椭圆,解析 设动圆的圆心为,M,(,x,y,),半径为,R.,因为动圆与圆,M,1,:(,x,+1),2,+,y,2,=,1,外切,与圆,M,2,:(,x,-1),2,+,y,2,=,25,内切,所以,|,MM,1,|+|,MM,2,|,=,1+,R,+5-,R=,6,又,|,MM,1,|+|,MM,2,|,|,M,1,M,2,|,=,2,所以动圆圆心,M,的轨迹是椭圆,.,知识点,2,对,椭圆的标准方程的理解,4,.2022,安徽安庆岳西县店前中学高二上期末,椭圆,=,1,的焦距为,(,),A.4,B.4,C.2,D.2,答案,4.A,在椭圆,=,1,中,a=,b=,则,c=,=,2,所以焦距为,2,c=,4,.,知识点,2,对,椭圆的标准方程的理解,5,.2022,安徽合肥八中高二上期中,若椭圆,=,1,的一个焦点为,(0,-1),则,p=,(,),A.5B.4C.3,D.2,答案,5.C,由题意得,a,2,=,4,b,2,=p,则,4-,p=,1,解得,p=,3,.,故选,C,.,知识点,2,对,椭圆的标准方程的理解,6,.(,多选,)2022,安徽芜湖一中高二上期中,已知方程,=,1,表示椭圆,C,则,(,),A.,k,(1,9),B.,椭圆,C,的焦距为,2,C.,若椭圆,C,的焦点在,x,轴上,则,k,(1,5),D.,若椭圆,C,的焦点在,y,轴上,则,k,(5,9,),答案,6.CD,由题意知,9-,k,0,k,-1,0,且,9-,k,k,-1,即,k,(1,5)(5,9),A,错误,;,c,2,=,|9-,k,-(,k,-1)|,=,|10-2,k,|,故,B,错误,;,当焦点在,x,轴上时,9-,kk,-1,0,解得,k,(1,5),故,C,正确,;,当焦点在,y,轴上时,0,9-,kk,-1,解得,k,(5,9),故,D,正确,.,知识点,3,求,椭圆的标准方程,7,.2022,河北石家庄十五中高二上期中,已知椭圆,C,上任意一点,P,(,x,y,),都满足关系式,=,4,则椭圆,C,的标准方程为,(,),A.,=,1B.,=,1C,.,=,1D.,+,y,2,=,1,答案,7.B,由题设可知椭圆,C,的焦点在,x,轴上,其坐标分别为,(1,0),(-1,0),2,a=,4,故,a=,2,c=,1,b,2,=,3,所以椭圆,C,的标准方程为,=,1,.,【归纳总结】定义法求椭圆的标准方程,(,与椭圆有关的轨迹问题,),的两种思路,(1),首先通过题干中给出的等量关系列出等式,然后化简等式得到对应的轨迹方程,.,(2),首先分析几何图形所表示的几何关系,然后对比椭圆的定义,设出对应椭圆的方程,求出,a,b,的值,得到标准方程,.,知识点,3,求,椭圆的标准方程,8.,已知椭圆,=,1,的一个焦点为,(2,0),则该椭圆的方程是,(,),A,.,=,1B,.,=,1,C,.x,2,+,=,1D,.,=,1,答案,8.D,椭圆,=,1,的一个焦点为,(2,0),则该椭圆的焦点在,x,轴上,且,c=,2,.,因为,b,2,=,2,所以,a,2,=b,2,+,c,2,=,2+4,=,6,所以该椭圆的方程是,=,1,.,故选,D,.,知识点,3,求,椭圆的标准方程,9,.2022,山东临沂高二上期中联考,已知椭圆的两个焦点分别为,F,1,(0,-,),F,2,(0,),P,是椭圆上一点,若,PF,1,PF,2,|,PF,1,|,PF,2,|,=,8,则该椭圆的方程是,(,),A.,=,1B.,=,1,C.,=,1D.,=,1,答案,9.B,由,|,PF,1,|+|,PF,2,|,=,2,a,得,(|,PF,1,|+|,PF,2,|),2,=,+|,PF,2,|,2,+2|,PF,1,|,PF,2,|,=,4,a,2,.,因为,PF,1,PF,2,所以,|,PF,1,|,2,+|,PF,2,|,2,=,(2,c,),2,=,20,所以,4,a,2,=,20+16,=,36,所以,a,2,=,9,即,a=,3,又,c=,所以,b=,2,.,因为椭圆的焦点在,y,轴上,所以椭圆的方程是,=,1,.,故,选,B.,知识点,3,求,椭圆的标准方程,10,.2022,江苏南京六校高二上联考,试写出一个焦点坐标为,(0,1),的椭圆的标准方程,:,.,答案,10.,+,x,2,=,1(,答案不唯一,),解析 因为椭圆的焦点在,y,轴上,且,c=,1,所以符合题意的标准方程为,+,x,2,=,1,.,(,注,:,其他符合题意的标准方程均可,.,),知识点,3,求,椭圆的标准方程,11,.2022,河南驻马店新蔡一高高二上月考,在平面直角坐标系中,已知点,A,(2,0),B,(-2,0),P,是平面内一动点,直线,PA,PB,的斜率之积为,-,则动点,P,的轨迹,C,的方程为,.,答案,11,.,=,1(,x,2),解析 设,P,点的坐标为,(,x,y,)(,x,2),.,由题意得,=,化简并整理,得,=,1(,x,2),.,【试题探源】本题取材于教材,P108,例,3,主要考查的是椭圆的第三定义,:,平面内的动点到两定点,A,1,(,a,0),A,2,(-,a,0),的斜率乘积等于常数,e,2,-1(0,e,0,n,0,m,n,),.,将,A,B,两点的坐标代入方程,得,解得,故所求椭圆的标准方程为,x,2,+,=,1,.,(4),依题意,知椭圆的焦点坐标为,(,0),.,设所求方程为,=,1(,a,2,5),将点,(-3,2),代入,得,a,2,=,15,则所求椭圆的标准方程为,=,1,.,【名师点评】,(1),椭圆的标准方程有两种形式,:,=,1,与,=,1(,ab,0),.,求椭圆的标准方程常用待定系数法,此时首先要恰当地选择方程的形式,如果不能确定焦点的位置,常常要进行分类讨论,.,(2),当焦点位置不确定时也可设椭圆的方程为,mx,2,+,ny,2,=,1(,m,0,n,0,m,n,),这样可以避免讨论,.,知识点,4,椭圆,的焦点三角形,13,.2021,新高考八省,(,市,),联考,椭圆,=,1(,m,0),的焦点为,F,1,F,2,与,y,轴的一个交点为,A,若,F,1,AF,2,=,则,m=,(,),A,.,1B,.,C,.,D,.,2,答案,13.C,在椭圆,=,1(,m,0),中,a=,b=m,c=,1,.,易知,|,AF,1,|,=,|,AF,2,|,=a.,又,F,1,AF,2,=,所以,F,1,AF,2,为等边三角形,即,|,AF,1,|,=,|,F,1,F,2,|,所以,=,2,即,m=,.,知识点,4,椭圆,的焦点三角形,14,.,在平面直角坐标系,xOy,中,已知,ABC,的顶点,A,(-2,0),C,(2,0),顶点,B,在椭圆,=,1,上,则,=,(,),A.,B.,C.2D.,答案,14.A,由题意,知,a=,b=,c=,=,2,所以椭圆的左、右焦点的坐标分别为,(-2,0),(2,0),即,A,(-2,0),和,C,(2,0),分别是椭圆的左、右焦点,.,根据椭圆的定义,可得,|,BC,|+|,AB,|,=,2,a,所以由正弦定理可得,=,=,=,.,知识点,4,椭圆,的焦点三角形,15,.2021,天津静海区第六中学高二上月考,P,是椭圆,=,1,上一点,F,1,F,2,分别是椭圆的左、右焦点,若,|,PF,1,|,PF,2,|,=,12,则,F,1,PF,2,的大小为,(,),A.30B.60,C.120D.150,答案,15.B,由题意知,|,PF,1,|+|,PF,2,|,=,8,|,F,1,F,2,|,=,2,.,又,|,PF,1,|,PF,2,|,=,12,所以,(|,PF,1,|+|,PF,2,|),2,=,64,所以,|,PF,1,|,2,+|,PF,2,|,2,=,40,.,在,F,1,PF,2,中,cos,F,1,PF,2,=,=,=,所以,F,1,PF,2,=,60,故选,B,.,知识点,4,椭圆,的焦点三角形,16,.,若,F,1,F,2,分别是椭圆,=,1,的左、右焦点,M,是椭圆上的任意一点,且,MF,1,F,2,的内切圆的周长为,3,则满足条件的点,M,的个数为,(,),A,.,2B,.,4C,.,6,D,.,0,答案,16.A,由,=,1,得,a=,5,c=,=,3,所以,|,MF,1,|+|,MF,2,|,=,2,a=,10,|,F,1,F,2,|,=,2,c=,6,.,因为,MF,1,F,2,的内切圆的周长为,3,所以内切圆的半径,r=,=,.,设,M,(,x,M,y,M,),则,=,(|,MF,1,|+|,MF,2,|+|,F,1,F,2,|),r=,|,F,1,F,2,|,y,M,|,即,(10+6),=,6|,y,M,|,得,|,y,M,|,=,4,则,x,M,=,0,所以满足条件的点,M,是短轴的,2,个端点,故选,A,.,知识点,4,椭圆,的焦点三角形,17,.2022,广东八校高二上期中联考,已知在平面直角坐标系,xOy,中,F,1,(-3,0),F,2,(3,0),点,P,是平面上一点,且,PF,1,F,2,的周长为,16,.,(1),求点,P,的轨迹方程,;,(2),求,|,PF,1,|,PF,2,|,的最大值,.,答案,17,.,解析,(1),由题知,|,PF,1,|+|,PF,2,|+|,F,1,F,2,|,=,16,|,F,1,F,2,|,=,6,所以,|,PF,1,|+|,PF,2,|,=,10,|,F,1,F,2,|,由椭圆的定义可知,动点,P,的轨迹是以点,F,1,F,2,为焦点的椭圆,(,去掉左、右顶点,),.,设动点,P,的轨迹方程为,=,1(,ab,0,y,0),则,2,a=,10,a=,5,.,又由,=,3,得,b=,4,.,因此动点,P,的轨迹方程为,=,1(,y,0,),.,(,2),由,(1),可知,|,PF,1,|+|,PF,2,|,=,10,由基本不等式得,|,PF,1,|,PF,2,|(,),2,=,25,当且仅当,|,PF,1,|,=,|,PF,2,|,=,5,时等号成立,故,|,PF,1,|,PF,2,|,的最大值为,25,.,学科关键能力构建,答案,1.,已知方程,=,1,表示椭圆,且该椭圆两焦点间的距离为,4,则实数,n,的取值范围是,(,),A.(-2,2),B.(-,-2)(2,+),C.(-,-2),D.(2,+,),1.D,由题意,得,n,+2,m,2,n,-2,m,2,0,所以,n,2,m,2,因为,a,2,=n,+2,m,2,b,2,=n,-2,m,2,所以,c,2,=a,2,-,b,2,=,4,m,2,得,c=,2|,m,|,.,由椭圆两焦点间的距离为,4,得,2|,m,|,=,2,即,|,m,|,=,1,所以,n,2,m,2,=,2,所以实数,n,的取值范围是,(2,+,),.,故选,D,.,2,.(,多选,)2022,山东师范大学附中高二期中,设椭圆,C,:,=,1,的焦点为,F,1,F,2,M,在椭圆上,则,(,),A.|,MF,1,|+|,MF,2,|,=,8,B.|,MF,1,|,的最大值为,7,最小值为,1,C.|,MF,1,|,MF,2,|,的最大值为,16,D.,MF,1,F,2,的面积的最大值为,10,2.ABC,【名师点评】椭圆上任意一点与椭圆焦点的连线段叫作椭圆的焦半径,椭圆的焦半径的范围为,a,-,c,a,+,c,.,A,由题知,a,=4,b,=,c,=3,所以,|,MF,1,|+|,MF,2,|=2,a,=8.,B,|,MF,1,|,max,=,a,+,c,=7,|,MF,1,|,min,=,a,-,c,=1.,C,|,MF,1,|,MF,2,|,=16,M,在,x,轴上时取等号,此时,MF,1,F,2,面积也最大,为,3,.,D,答案,3,.,已知椭圆,:,=,1(0,nb,0),焦距为,2,c,右焦点为,F,连接,PF,如图所示,.,因为,F,(-2,0),为,C,的左焦点,所以,c=,2,.,由,|,OP,|,=,|,OF,|,=,|,OF,|,知,PFF=,FPO,OFP=,OPF,又,PFF,+,OFP,+,FPO,+,OPF=,180,所以,FPO,+,OPF=,90,即,FP,PF.,在,Rt,PFF,中,易得,|,PF,|,=,=,=,8,.,由椭圆的定义,得,|,PF,|+|,PF,|,=,2,a=,4+8,=,12,即,a=,6,所以,b,2,=a,2,-,c,2,=,36-(2,),2,=,16,所以椭圆,C,的标准方程为,=,1,.,6,.,已知点,P,是椭圆,+,y,2,=,1,上任意一点,AB,是圆,x,2,+(,y,-2),2,=,1,的任意一条直径,(,A,B,为直径的两个端点,),则,的最小值为,最大值为,.,答案,6.0,解析 由题意,知圆,x,2,+(,y,-2),2,=,1,的圆心,C,(0,2),半径,r=,1,.,因为,AB,是圆,x,2,+(,y,-2),2,=,1,的任意一条直径,所以,=,.,设,P,(,x,0,y,0,),则,=,(-,x,0,2-,y,0,),.,因为点,P,在椭圆,+,y,2,=,1,上,所以,=,1,即,=,4(1,),所以,=,(,)(,),=,=,+(2-,y,0,),2,-1,=,-3,4,y,0,+7,=,-3(,y,0,+,),2,+,.,因为,-1,y,0,1,所以当,y,0,=,1,时,取得最小值,最小值为,0;,当,y,0,=,时,取得最大值,最大值为,.,7,.2022,四川省江油中学高二上月考,已知圆,M,:(,x,+3),2,+,y,2,=,64,的圆心为,M,定点,N,(3,0),动点,A,在圆,M,上,线段,AN,的垂直平分线交线段,MA,于点,P.,(1),求动点,P,的轨迹,C,的方程,;,(2),若点,Q,是曲线,C,上的一点,且,QMN=,60,求,QMN,的面积,.,答案,7,.,解析,(1),因为,|,PN,|,=,|,PA,|,所以,|,PM,|+|,PN,|,=,|,PM,|+|,PA,|,=,|,AM,|,=,8,|,MN,|,所以点,P,的轨迹是以,M,N,为焦点的椭圆,.,设点,P,的轨迹方程为,=,1(,ab,0),则,2,a=,8,c=,3,即,b,2,=,7,所以点,P,的轨迹方程为,=,1,.,(2),不妨设,|,MQ,|,=m,由椭圆定义可得,|,QN,|,=,2,a,-,m=,8-,m,又,|,MN,|,=,2,c=,6,则在,MNQ,中,由余弦定理可得,cos,QMN=,=,解得,m=,.,故,QMN,的面积,S=,sin,QMN,m,2,c=,6,=,.,8,.2022,广东广州二中高二上期中,如图,在面积为,1,的,PMN,中,tan,PMN=,tan,MNP=,-2,.,建立,适当的平面直角坐标系,求出以,M,N,为焦点且过点,P,的椭圆方程,.,答案,8,.,解析 以线段,MN,的中点为坐标原点,MN,所在的直线为,x,轴,建立如图所示的平面直角坐标系,.,设所求椭圆的方程为,=,1(,ab,0),c=,则,M,(-,c,0),N,(,c,0),.,设,P,(,x,0,y,0,),依题意知,k,PM,=,tan,PMN=,k,PN,=,-tan,MNP=,2,.,所以,解得,即,P,(,c,c,),.,又,S,PMN,=,2,c,c=,1,所以,c=,.,于是,|,PM,|,=,=,|,PN,|,=,=,所以,2,a=,|,PM,|+|,PN,|,=,则,a=,所以,b,2,=a,2,-,c,2,=,3,.,故所求椭圆的方程为,=,1,.,课时,2,椭圆的简单几何性质,第一节椭圆,教材必备知识精练,知识点,1,由椭圆的标准方程探究其几何性质,1.2022,广东广州奥林匹克中学高二上期中,椭圆,3,x,2,+,y,2,=,1,的长轴长为,(,),A.,B.2,C.2D.,答案,1.C,由题知,3,x,2,+,y,2,=,1,即,+,y,2,=,1,所以,a=,1,长轴长为,2,a=,2,.,故选,C,.,知识点,1,由椭圆的标准方程探究其几何性质,2,.2022,江西南昌,4,校高二上期中,曲线,=,1,与曲线,=k,(,k,0),的,(,),A.,长轴长相等,B.,短轴长相等,C.,焦距相等,D.,离心率,相等,答案,2.D,由题知椭圆,=,1,的长轴长是,8,短轴长是,6,焦距是,2,离心率,e,1,=,=k,(,k,0),可化为,=,1(,k,0,),可知,该椭圆的长轴长是,8,短轴长是,6,焦距是,2,离心率,e,2,=,所以离心率相等,.,知识点,1,由椭圆的标准方程探究其几何性质,3,.,如图,把椭圆,=,1,的长轴,AB,分成,8,等份,过每个分点作,x,轴的垂线交椭圆的上半,部分,于,点,P,1,P,2,P,7,F,是椭圆的左焦点,则,|,P,1,F,|+|,P,2,F,|+|,P,7,F,|,=,(,),A.35B.30C.25,D.20,答案,3.A,设椭圆的右焦点为,F,由椭圆的对称性,知,|,P,1,F,|,=,|,P,7,F,|,|,P,2,F,|,=,|,P,6,F,|,|,P,3,F,|,=,|,P,5,F,|,所以,|,P,1,F,|+|,P,2,F,|+|,P,7,F,|,=,(|,P,7,F,|+|,P,7,F,|)+(|,P,6,F,|+|,P,6,F,|)+(|,P,5,F,|+|,P,5,F,|)+|,P,4,F,|,=,7,a=,35,.,知识点,1,由椭圆的标准方程探究其几何性质,4,.2022,陕西西安高中高二上期中,已知,P,(,m,n,),是椭圆,x,2,+,=,1,上的一个动点,则,m,2,+,n,2,的取值范围是,(,),A,.,(0,1B,.,1,2,C,.,(0,2D,.,2,+,),答案,4.B,因为,P,(,m,n,),是椭圆,x,2,+,=,1,上的一个动点,所以,-1,m,1,n,且,m,2,+,=,1,则,n,2,=,2-2,m,2,则,m,2,+,n,2,=,2-,m,2,因为,-1,m,1,所以,0,m,2,1,即,12-,m,2,2,即,m,2,+,n,2,1,2,.,故选,B,.,知识点,1,由椭圆的标准方程探究其几何性质,5,.2022,浙江宁波市北仑中学高二上期中,若将一个椭圆绕其中心旋转,90,所得椭圆短轴两端点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为,“,对偶椭圆,”,.,则下列椭圆中是,“,对偶椭圆,”,的是,(,),A,.,=,1B,.,=,1,C,.,=,1D,.,=,1,A,c,2,=8-4=4=,b,2,即,b,=,c,是,“,对偶椭圆,”.,B,c,2,=5-3=2,b,2,即,b,c,不是,“,对偶椭圆,”.,C,c,2,=6-2=4b,2,即,b,c,不是,“,对偶椭圆,”.,D,c,2,=9-6=3,b,2,即,b,c,不是,“,对偶椭圆,”.,答案,5.A,知识点,1,由椭圆的标准方程探究其几何性质,6,.2022,福建泉州五中高二上期中,已知椭圆,C,的中心为点,O,一个焦点为,F,点,A,在,C,上,若,AOF,是正三角形,则,C,的离心率为,(,),A,.,B,.,C,.,D,.,-1,答案,6.D,不妨设椭圆的方程为,=,1(,ab,0),c,为半焦距,F,为右焦点,.,因为,AOF,是正三角形,不妨设,F,(,c,0),所以,A,(,c,),故,=,1,即,=,1,整理得到,e,4,-8,e,2,+4,=,0,故,e=,1,故选,D,.,知识点,1,由椭圆的标准方程探究其几何性质,7.2022,江苏省泗阳中学高二上质量调研,明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图,1,所示,清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图,2,所示,北宋的一个汝窑椭圆盘如图,3,所示,这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆,.,已知图,1,、图,2,、图,3,中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为,则图,对应的椭圆盘最扁,.,(,填序号,),答案,7,. 1,解析 因为椭圆的离心率,e=,=,=,=,=,所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大,离心率越大,.,又,设题图,1,、图,2,、图,3,中椭圆的离心率分别为,e,1,e,2,e,3,则,e,1,e,3,e,2,.,故题图,1,中对应的椭圆盘最扁,.,知识点,2,由,椭圆的简单几何性质求标准方程,8,.,已知椭圆,x,2,+,my,2,=,1(,m,0),的焦点在,y,轴上,长轴长是短轴长的两倍,则,m=,(,),A.,B.2,C.,D.4,答案,8.C,因为椭圆,x,2,+,my,2,=,1,的焦点在,y,轴上,长轴长是短轴长的两倍,所以,=,2,得,m=,故选,C,.,知识点,2,由,椭圆的简单几何性质求标准方程,9,.2022,人大附中深圳学校高二上期中,焦点在,x,轴上,右焦点到短轴端点距离为,2,到左顶点的距离为,3,的椭圆的标准方程是,(,),A.,=,1B.,+,y,2,=,1,C.,+,y,2,=,1D.,x,2,+,=,1,答案,9.A,由题意知,a=,2,a,+,c=,3,即,c=,1,所以,b=,=,.,因为椭圆的焦点在,x,轴上,所以椭圆的标准方程是,=,1,.,故选,A,.,知识点,2,由,椭圆的简单几何性质求标准方程,10,.,【易错题】,2022,江苏扬州江都区高二上期中,已知椭圆,=,1,的离心率为,则,k=,(,),A,.,-4,B,.,4,C,.,-4,或,-,D,.,4,或,-,答案,10.C,因为,e,2,=,=,=,1,=,所以,=,.,若椭圆的焦点在,x,轴上,则,=,=,解得,k=,-4;,若椭圆的焦点在,y,轴上,则,=,=,解得,k=,.,综上,k=,-4,或,.,知识点,2,由,椭圆的简单几何性质求标准方程,11,.2021,福建福州八县,(,市,),高二上期中,阿基米德既是古希腊著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用,“,逼近法,”,得到椭圆的面积除以圆周率,等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积,.,若椭圆,C,的中心为原点,焦点,F,1,F,2,在,x,轴上,椭圆,C,的面积为,2,且离心率为,则椭圆,C,的标准方程为,(,),A,.,=,1B,.,+,y,2,=,1,C,.,=,1D,.,=,1,答案,11.A,设椭圆,C,的标准方程为,=,1(,ab,0),易得,解得,因此椭圆,C,的标准,方程,为,=,1,.,故选,A,.,知识点,2,由,椭圆的简单几何性质求标准方程,12,.,已知椭圆,C,:,=,1(,ab,0),的左焦点为,F,(-,0),且椭圆,C,上的点与长轴两端点构成的三角形的面积最大值为,3,则椭圆,C,的方程为,(,),A,.,+,y,2,=,1B,.,+,y,2,=,1,C,.,=,1D,.,=,1,答案,12.C,因为椭圆,C,的左焦点为,F,(,0),所以,c=,.,椭圆,C,上的点与长轴两端点构成的三角形的面积最大值为,3,即,2,a,b=ab=,3,.,又,a,2,=b,2,+,c,2,即,a,2,=b,2,+3,由,可得,a=,b=,故椭圆,C,的方程为,=,1,.,故选,C,.,知识点,2,由,椭圆的简单几何性质求标准方程,13,.,若椭圆,=,1(,ab,0),的焦点在,x,轴上,过点,P,(1,),作圆,x,2,+,y,2,=,1,的切线,切点分别为,A,B,直线,AB,恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是,.,答案,13,.,=,1,解析 因为直线,x=,1,是圆,x,2,+,y,2,=,1,的一条切线,所以椭圆的右焦点为,(1,0),即,c=,1,.,设,O,(0,0),则,k,OP,=,因为,OP,AB,所以,k,AB,=,-2,则直线,AB,的方程为,y=,-2(,x,-1),所以直线,AB,与,y,轴的交点为,(0,2),所以,b=,2,所以,a,2,=b,2,+,c,2,=,5,故椭圆的方程为,=,1,.,知识点,2,由,椭圆的简单几何性质求标准方程,14,.,求满足下列条件的椭圆的标准方程,.,(1),长轴在,x,轴上,长轴长等于,12,离心率等于,;,(2),椭圆过点,(3,0),离心率,e=,;,(3),在,x,轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直,且焦距为,8;,(4),与椭圆,9,x,2,+4,y,2,=,36,有相同的焦点,且短轴长为,2,.,答案,14,.,解析,(1),由题意,可知,2,a=,12,e=,=,得,a=,6,c=,4,从而,b,2,=a,2,-,c,2,=,20,.,又长轴在,x,轴上,故所求椭圆的标准方程为,=,1,.,(,2),若焦点在,x,轴上,则,a=,3,由,e=,=,得,c=,所以,b,2,=a,2,-,c,2,=,3,此时椭圆的标准方程为,=,1,.,若焦点在,y,轴上,则,b=,3,由,e=,=,=,=,得,a,2,=,27,此时椭圆的标准方程为,=,1,.,故椭圆的标准方程为,=,1,或,=,1,.,(,3),分析知,c=b=,4,a,2,=b,2,+,c,2,=,32,故椭圆的标准方程为,=,1,.,(4),椭圆,9,x,2,+4,y,2,=,36,可化为,=,1,可知焦点在,y,轴上,焦点坐标为,(0,),故可设所求椭圆的方程为,=,1(,ab,0),则,c=,.,又,2,b=,2,即,b=,1,所以,a,2,=b,2,+,c,2,=,6,则所求椭圆的标准方程为,x,2,+,=,1,.,知识点,3,求,椭圆的离心率的值或取值范围,15,.,过椭圆的右焦点,F,2,作椭圆长轴的垂线,交椭圆于,A,B,两点,F,1,为椭圆的左焦点,若,F,1,AB,为正三角形,则该椭圆的离心率为,(,),A.,B.,C.,D.,答案,15.A,如图所示,易知,|,AF,1,|,=,2|,AF,2,|,|,F,1,F,2,|,=,2,c=,|,AF,2,|,由椭圆的定义可得,2,a=,|,AF,1,|+|,AF,2,|,=,3|,AF,2,|,则该椭圆的离心率,e=,=,=,.,知识点,3,求,椭圆的离心率的值或取值范围,16,.2022,安徽安庆二中高二上期中,若椭圆,C,:,=,1(,ab,0),满足,b,2,=ac,则该椭圆的离心率,e=,(,),A,.,B,.,C,.,D,.,答案,16.B,由题意知,b,2,=ac,又,a,2,=b,2,+,c,2,所以,a,2,-,c,2,=ac,e,2,+,e,-1,=,0,所以,e=,.,知识点,3,求,椭圆的离心率的值或取值范围,17,.2022,河北九师联盟高二上期中,设,P,是椭圆,C,:,=,1(,a,),上任意一点,F,为,C,的焦点,|,PF,|,的最小值为,则椭圆,C,的离心率为,(,),A.,B.,C.,D.,答案,17.A,由题意可得,a,-,c=,b,2,=a,2,-,c,2,=,(,a,+,c,)(,a,-,c,),=,(,a,+,c,),=,6,所以,a,+,c=,3,所以,a=,2,c=,所以离心率,e=,=,.,故选,A,.,【名师点评】求椭圆离心率的值,(,或取值范围,),的常见方法,(1),直接法,:,由,a,c,直接计算离心率,e=,;,(2),构建齐次式,:,利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于,a,b,c,的方程或不等式,利用,b,2,=a,2,-,c,2,和,e=,转化成关于,e,的方程或不等式,通过解方程或不等式即求得离心率,e,的值或取值范围,.,知识点,3,求,椭圆的离心率的值或取值范围,18,.2022,北京八十中高二上期中,椭圆,=,1(,ab,0),上存在一点,P,满足,F,1,P,F,2,P,F,1,F,2,分别为椭圆的左、右焦点,则椭圆的离心率的取值范围是,(,),A.(0,B.(0,C.,1)D.,1,),答案,18.D,当点,P,位于短轴的端点时,F,1,PF,2,最大,.,要使椭圆,=,1(,ab,0),上存在一点,P,满足,F,1,P,F,2,P,只要点,P,位于短轴的端点时,OPF,1,所以,sin,OPF,1,=,sin,=,.,又椭圆的离心率,0,eb,0),上一点,P,向,x,轴作垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,F,1,点,A,B,分别为椭圆的右顶点和上顶点,.,若,OP,AB,(,O,为坐标原点,),则该椭圆的离心率为,(,),A,.,B,.,C,.,D,.,答案,19.C,依题意,设,P,(-,c,y,0,)(,y,0,0),则,=,1,所以,y,0,=,所以,P,(-,c,),.,又,A,(,a,0),B,(0,b,),AB,OP,所以,k,AB,=k,OP,即,=,可得,b=c.,设该椭圆的离心率为,e,则,e,2,=,=,=,=,所以该椭圆的离心率,e=,.,知识点,3,求,椭圆的离心率的值或取值范围,20,.,已知椭圆,C,:,=,1(,ab,0),的左、右焦点分别为,F,1,(-,c,0),F,2,(,c,0),点,M,在椭圆,C,上,若,=,则该椭圆的离心率不可能是,(,),A.,B.,C.,D.,答案,20,. A,设,|,MF,1,|,=x.,因为点,M,在椭圆,C,上,所以,|,MF,1,|+|,MF,2,|,=,2,a,所以,|,MF,2,|,=,2,a,-,x.,因为,=,所以,=,解得,x=,.,由题意可知,a,-,c,x,a,+,c,即,a,-,c,a,+,c.,由,a,+,c,可得,2,ac,(,a,+,c,),2,即,a,2,+,c,2,0,显然成立,.,由,a,-,c,可得,a,2,-,c,2,2,ac,则,1-,e,2,2,e.,又,0,e,1,所以,1,e,1,故选,A,.,【名师点评】解决本题的关键是将,=,转化为关于,a,c,的不等式,转化时利用了椭圆的定义及性质等,.,知识点,4,直线,与椭圆的位置关系,21,.2022,安徽安庆一中高二上期中,直线,y=x,+1,与椭圆,=,1,的位置关系是,(,),A,.,相交,B,.,相切,C,.,相离,D,.,无法,判断,答案,21,. A,方法一,因为直线,y=x,+1,过点,(0,1),所以将,(0,1),代入,=,1,得,0+,0,所以直线与椭圆相交,.,故选,A,.,知识点,4,直线,与椭圆的位置关系,22,.,若直线,y=kx,+2,与椭圆,=,1,相切,则直线的斜率,k=,(,),A,.,B,.,-,C,.,D,.,答案,22.C,由题意知直线,y=kx,+2,与椭圆,=,1,有且只有一个交点,.,由,消去,y,并整理,得,(2+3,k,2,),x,2,+12,kx,+6,=,0,所以,=,(12,k,),2,-46(2+3,k,2,),=,0,解得,k=,.,知识点,4,直线,与椭圆的位置关系,23,.,已知直线,y=kx,+1(,k,R,),与焦点在,x,轴上的椭圆,=,1(,b,0),总有公共点,则实数,b,的取值范围是,(,),A.(1,2)B.(1,+,),C.1,+,)D.1,2,),答案,23.D,由题意,知直线,y=kx,+1(,k,R,),恒过定点,M,(0,1),要使直线,y=kx,+1,与椭圆,=,1(,b,0),总有公共点,则只需点,M,(0,1),在椭圆上或椭圆内,则,b,1,.,又,b,2,4,所以,1,b,3),外一点,经过点,P,的光线被,y,轴反射后,所有反射光线所在的直线中只有一条与椭圆相切,则椭圆的离心率为,(,),A,.,B,.,C,.,D,.,答案,24.B,由题意知反射光线过点,(-4,-5),且反射光线所在直线的斜率必存在,设反射光线所在直线的方程为,y=k,(,x,+4)-5,代入椭圆方程整理得,(9+,a,2,k,2,),x,2,+(8,a,2,k,2,-10,a,2,k,),x,+16,a,2,k,2,-40,a,2,k,+16,a,2,=,0,.,因为,=,0,所以,(16-,a,2,),k,2,-40,k,+16,=,0,当,16-,a,2,=,0,即,a=,4,时,此方程有唯一解,所以,c=,则离心率为,;,当,16-,a,2,0,时,则,(-40),2,-4(16-,a,2,)16,=,64(9+,a,2,),0,所以此方程有两个不同的解,不满足题意,故舍去,故选,B,.,知识点,4,直线,与椭圆的位置关系,25,.2022,四川宜宾三中高二上期中,已知椭圆,C,:,=,1,过点,(3,0),的直线,l,与,C,交于,A,B,两点,线段,AB,中点的横坐标为,1,则直线,l,的斜率为,(,),A,.,B,.,C,.,D,.,1,答案,25,. B,设直线,l,:,y=k,(,x,-3),由,得,(1+2,k,2,),x,2,-12,k,2,x,+18,k,2,-6,=,0,.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,x,1,+,x,2,=,又,AB,中点的横坐标为,1,所以,=,=,1,解得,k=,即直线,l,的斜率为,.,故选,B,.,知识点,4,直线,与椭圆的位置关系,26,.(,多选,),设椭圆的方程为,=,1,斜率为,k,的直线,l,不经过原点,O,且与椭圆相交于,A,B,两点,M,为线段,AB,的中点,则,(,),A.,k,AB,k,OM,=,-,1B,.,若,M,(1,1),则直线,l,的方程为,2,x,+,y,-3,=,0,C.,若直线,l,的方程为,y=x,+1,则,M,(,)D,.,若直线,l,的方程为,y=x,+2,则,|,AB,|,=,答案,26,. BD,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),M,(,x,0,y,0,),则,两式相减,得,=,0,即,=,-2,即,k,AB,k,OM,=,-2,.,对于,A,k,AB,k,OM,=,-2-1,所以,A,不正确,;,对于,B,由,k,AB,k,OM,=,-2,M,(1,1),得,k,AB,=,-2,所以直线,l,的方程为,y,-1,=,-2(,x,-1),即,2,x,+,y,-3,=,0,所以,B,正确,;,对于,C,若直线,l,的方程为,y=x,+1,M,(,),则,k,AB,k,OM,=,14,=,4-2,所以,C,不正确,;,对于,D,由,得,3,x,2,+4,x=,0,解得,x=,0,或,x=,所以,|,AB,|,=,|,0|,=,所以,D,正确,.,故选,BD,.,知识点,4,直线,与椭圆的位置关系,27,.,已知椭圆,C,的中心在坐标原点,焦点在,x,轴上,左顶点为,A,(-2,0),离心率为,.,(1),求椭圆,C,的标准方程,;,(2),斜率为,1,的直线,l,与椭圆,C,相交于,P,Q,两点,求,|,PQ,|,的最大值,.,答案,27.,解析,(1),设椭圆,C,的标准方程为,=,1(,ab,0),.,由题意得,解得,c=,1,所以,b,2,=a,2,-,c,2,=,3,所以椭圆,C,的标准方程为,=,1,.,(,2),设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),直线,l,的方程为,y=x,+,t.,由,得,7,x,2,+8,tx,+4(,t,2,-3),=,0,由,=,(8,t,),2,-112(,t,2,-3),0,得,0,t,2,7,则,x,1,+,x,2,=,t,x,1,x,2,=,所以,|,PQ,|,=,|,x,1,-,x,2,|,=,=,=,又,0,t,2,7,所以当,t=,0,时,可得,|,PQ,|,的最大值为,.,知识点,4,直线,与椭圆的位置关系,28,.2022,广东佛山九江中学高二上月考,已知,A,(-2,0),B,(2,0),直线,AM,BM,相交于点,M,且它们的斜率之积是,-,记动点,M,的轨迹为,C.,(1),求,C,的方程,;,(2),设以,P,0,(-2,1),为中点的弦所在的直线为,l,求直线,l,的方程,.,答案,28,.,解析,1),设点,M,(,x,y,),又,A,(-2,0),B,(2,0),则,k,AM,=,(,x,-2,),k,BM,=,(,x,2,),所以,=,(,x,2,),整理得,C,的方程为,=,1(,x,2,),.,(,2),设直线,l,与曲线,C,交于,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),则,两式相减得,=,0,即,=,0,所以直线,l,的斜率,k=,=,.,因为点,P,0,(-2,1),是线段,PQ,的中点,所以,x,1,+,x,2,=,-4,y,1,+,y,2,=,2,所以,k=,1,.,所以直线,l,的方程为,y,-1,=x,+2,即,y=x,
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