10行列式计算方法小结

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主要内容,1.定义,2.性质,5条,3.展开定理,4.几个重要结果,范德蒙,行列式,例2,三角形行列式的值等于对角元之乘积,行列式的计算方法小结,可从计算,方法,和行列式,特征,两个角度总结,。,1. 直接用定义,（非零元素,很少,时可用）,2. 化三角形行列式法,此法特点：,(2) 灵活性差，死板。,程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的,字母行列式适用。,3.降阶法,利用性质，将某行(列)的元尽可能化为0，然后,按行(列)展开.,此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。,一.方法,*,4. 递推公式法,(见附录1),*,5、数学归纳法,(见附录2),*,6. 加边法（升阶）,(见附录3),二、特征,. 阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行列式或结合展开定理计算.,. 非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。,一些特殊行列式的计算（包括一些重要结果）,例,1.,“箭形”行列式,化成三角形行列式,如:练习册P.2 6(2)题,例,2.,除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角形行列式或箭形行列式,另,可化箭形行列式,如 P.20 例8,例,P.41 33题,n,阶,n-1,阶,n-1,阶,3. 某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可用,降 阶法,或定义或递推公式法或归纳法,4. 各行(列)总和相等的行列式,(赶鸭子法),例,计算行列式(P.18 例6,将,a,换为,y,),*或,y 乘第1列加到后面各列：,*,例如,(P.37 13(4),，P.38 17(3), 21, P.39 25(2)题,如：,P.39 22题, 25(3)题,1列(行)“1”的巧妙利用,5,范德蒙(Vandermonde),行列式,（重要结果）,将一不含,的非零元化成零，某行,可能,会出现公因子，提公因子，可降次。,6. 部分对角线上含参数的行列式,例,为何值时,D=0?,7.,利用重要公式,以上几种方法虽然形式不同，特点也不一样，但处理过程中的,指导思想,却是一致的：,要么降阶，要么利用三角行列式。,由于行列式是线性代数中一个重要的工具，因此必 须熟练地掌握行列式的计算，学习行列式应该：,(1) 对,行列式的性质,必须口熟能详；,(2) 能熟练使用行列式计算的,基本方法。,从行列式特征的角度总结,阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行列式或用,降阶法。,2. 非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法（如例3）。,3. 所有行（列）元素之和相等的行列式，用赶鸭子法（如例4）。,某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可用降,阶法或递推公式法或归纳法（如例,3,、例,5,、例,6,）。,“箭形”行列式，可化为右上三角形行列式（如例,2,）。,*附录1,. 递推公式法,特征：,某行（列）至多有两个非零元素,。,方法：,按此行（列）展开，,可能,会导出递推公式。,例1,按,第一行,展开好，还是按,第一列,展开好？,n-1阶,由此得递推公式：,因此有,：,D,2,=?,解法2：,从最后一列开始每列乘以x加到前一列，再按第一列展开。,例2,由此可得递推公式：,因此有,又因为,故,则,递推公式法的,步骤：,1. 降阶，得到递推公式；,2. 利用高中有关数列的知识，求出行列式 。,技巧！,附录2,、数学归纳法,例,证明范德蒙(Vandermonde),行列式,证明,(数学归纳法),，结论成立。,按第1列展开,根据归纳假设有：,综上所述，结论成立 。,附录3,. 加边法（升阶）,要点：,将行列式加一行一列，利用所加的一行（列）元素 ，将行列式化成三角形行列式。,例,用加边法计算,n,+1阶,还可用赶鸭子法！,将第1行的(-1)倍分别加到第2行，第3行，.，第,n,+1行得：,(1) 若,m,=0，则,n,+1阶,“箭形”行列式,从加边前的D,n,得出,综合练习题,2. 用多种方法计算下列行列式,(2).,(3).,(1).,3. 计算行列式,设,m,阶行列式|,A|=a, n,阶行列式|,B|=b,*4. 计算行列式,综合练习题解答,因此,因为: 对于任何两个数码 ,在一排列中要么构成逆序,要么不构成逆序.,如:,2. (1),解法一：,化成三角形行列式,解法二,：把 化成0, 再按第三行展开,解法三：,(2).计算行列式,解法一：,解法二：,注意：,若按图示法计算不易化简。,(3).,解法一,解法二,:用赶鸭子法,提公因子,化三角形行列式或降成二阶,3. 计算行列式,设,m,阶行列式|,A|=a, n,阶行列式|,B|=b,解,将第n+1列作n次相邻交换，到第1列，,，将第n+m列作n次相邻交换，到第m列,共作了,mn,次列交换，得：,*4. 计算行列式,解,利用一行“1”,另一解法见学习指导书。,