简谐振动(黄颂翔)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十五章习题分析,习题类型：,1.,证明系统作简谐振动并求振动周期；,2.,已知振动表达式，求各物理量；,3.,根据已知条件，建立振动表达式；,4.,力学综合性问题,;,5.,有关振动叠加的问题,.,1,简谐振动例题,例题,1,有一轻弹簧，当下端挂,m,1,= 10g,的物体而平衡时，伸长量为,4.9cm,。用这个弹簧和,m,2,= 16g,的物体连成一弹簧振子。若取平衡位置为原点，向上为,x,轴的正方向。将,m,2,从平衡位置向下拉,2cm,后，给予向上的初速度,v,0,= 5cm/s,并开始计时，试求,m,2,的振动周期和振动表达式。,2,m,O,0,x,x,分析,:,振动系统的周期,(,或角频率,),由系统本身性质决定,;,要求系统的振动表达式,即要写出振幅、圆频率和初相这三个物理量,.,2,解,:,设弹簧原长为,l,，悬挂,m,1,后伸长,l,达到平衡,，则,取坐标轴向上为正,取下,m,1,挂上,m,2,后，系统的角频率为,2,m,O,0,x,x,3,能同时满足初始位移和初始速度的初相为,一般将初相表示为弧度形式,于是,振动表达式为,问：如果取坐标轴向下为正，则,初相变化否？,4,例题,3,边长,l,= 25cm,的正方形木块，密度,=0.80,克,/,厘米,3,，将木块刚好完全浸入水中后放手，求其运动形式及运动方程。,振动表达式为：,5,解：,木块受浮力及重力作用,.,取竖直向下为坐标轴正方向，水面处为坐标原点,.,设木块平衡时浸入水中深度为,b,.,则达平衡时有：,如图，当,C,点离,O,点为,y,时，作用在木块上的合力为,6,由牛顿第二定律,符合简谐振动的运动学判据，即木块作简谐振动,。,7,即初始时刻在最大位移处。,振动表达式为,例题,4,劲度系数为,k,的弹簧下端固定于地面，压上一重物后弹簧压缩,b,= 9.8 cm,，给重物,m,以冲击力使其具有向下的初速,v,0,= 1,米,/,秒，分析其运动及运动方程。,8,解：取竖直向下为,y,轴正向，弹簧原长上端为原点,O,，当,m,在,y,位置时，受重力,mg,向下，弹性力,-,ky,向上。,由牛顿第二定律,当重物的重力与弹性力平衡时，弹簧压缩量为,b,，此时弹簧处于平衡点,O,mg,=,kb,代入上式得,9,即有,可见物体作简谐振动。从这里看到，当物体,除受回复力作用外，还受恒力作用时，仍然作简谐振动,。,在新坐标系中,10,求得,由初始条件,运动方程为,由此可知，应注意,初位相的确定与坐标轴的正向有关。,11,解 （,1,）设这一简谐振动的表式为,12,由初始速度条件,简谐振动的表式为,由旋转矢量方法易求得初相,13,（,2,）由位移的表式得,14,因为物体向,x,轴负向运动，,v0;,对应的旋转矢量为,OP,，即历时,t=,0.5s,旋转矢量从,OA,转到了,OP,，共转过了,/4,，所以,38,故有质点的振动方程：,或：,方法,2,：解析法,.,将,t=0,时刻,代入振动方程，有,39,由图（,a,）可知，,t0,时质点离开平衡位置的位移变小了，因此,t=0,时刻质点的速度向着平衡位置，是正的，即,所以，取,初相已求出，故该质点的振动方程为,将,t=0.5s,时，,x=0,代入，有,40,即,由于初相取的是负角，振动状态从,O,点传到,P,点需要,0.5s,，故这里也应取负角，即,得,若初相取的是正角,5,/4,，则振动方程为,将,t=0.5s,时，,x=0,代入，有,41,由于初相取的是正角，振动状态从,O,点传到,P,点需要,0.5s,，故这里也应取正角，即,即,得,故有质点的振动方程：,或：,42,例4：如图所示,，,一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为,12cm,的两点,A,、,B,，历时,2s,，并且在,A,、,B,两点处具有相同的速度；再经过,2s,后，质点又从另一方向通过,B,点,.,试求该质点运动的周期和振幅,.,解：取坐标,Ox,沿,AB,连线，坐标原点处在,A,、,B,连线中点，如图所示,.,设质点的振动方程为,由于 ，且 ，所以,A,、,B,两点坐标为,43,用旋转 矢量法求振幅,.,质点从,O,点运动到,B,点所经历的时间为,t=1s,，旋转矢量从,P,0,点旋转到,P,B,点，转过的角度为,=,t=,/4,如图所示,.,在,OP,B,B,中，有,所以振幅,由连续两次从相反方向通过,B,点历时,2s,知，,T/4=2,，,T=8s.,44,例5：如图所示,，,一弹簧振子沿,x,轴作简谐振动，振子质量,m=2.5kg,弹簧的劲度系数,k=250N/m,当振子处于平衡位置右方且向,x,轴的负方向运动时开始计时（,t=0,），此时的动能,E,k,=0.2J,势能,E,p,=0.6J,，试求：,（,1,）,（,t=0,）,时，振子的位移和速度；,（,2,）系统的振动表达式,.,解：,（,1,）由,t=0,时,Ep=0.6J,知，,得,45,据题意可知，在,t=0,时振子在平衡位置的右方。且向,x,轴的负方向运动，因此，,x,0,0,v,0,0,v,0,0,所以,取正,.,振动表达式为,（待续）,48,