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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2017/4/26,#,二、因数和倍,.,1,、,整除,：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。,整数与自然数的关系：整数包括自然数。,2,、,因数、倍数,：在整数除法中，被除数除数,=,商，商是整数没有,余,数时，被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。,例：,12,6=2,中，,12,是,6,和,2,的倍数，,6,和,2,是,12,的因数。,（,1,）,a,能被,b,整除，也就是,a,除以,b,得到一个整数，那么,a,就是,b,的倍数，,b,就是,a,的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。,（,2,）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是,1,，最大的因数是它本身。,一个数的因数的求法：成对地按顺序找。,例如：找,16,的因数，,因为,1,1,6=16,2,8=,16,4,4=,16,所以,16,的因数有,1,2,4,8,16,这,5,个。,注意两个,4,只写一个,4,，写一个数的因数时候不能重复也不,能,遗漏。,（,3,）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。,一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。,例如：找,7,的倍数，可以用,7,1=,7,7,2=,14,，,7,3=,21,，,7,4=,28,，,所以,7,的倍数有,7,14,21,28,等。,一个数的倍数的个数是无限的。最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。,因数小于或等于它本身，倍数大于或等于它本身，一个数的最大的因数和它的最小的倍数相等，都等于它本身。,（,4,）,2,、,3,、,5,的倍数特征,1,） 个位上是,0,，,2,，,4,，,6,，,8,的数都是,2,的倍数,。这样的数也叫做,偶数（,0,也是偶数）,。不是,2,的倍数的数叫做,奇数,。,2,）一个数各位上的数的和是,3,的倍数，这个数就是,3,的倍数。,3,）个位上是,0,或,5,的数，是,5,的倍数。,同时满足,2,、,3,的倍数，实际是求,2,3 =6,的倍数。,同时满足,2,、,3,、,5,的倍数，实际是求,2,3,5=30,的倍数。,5,）如果一个数同时是,2,和,5,的倍数，那它的个位上的数字一定是,0,。,判断一个数是不是,2,或者,5,的倍数,，,看这个数的个位，判断一个数是不是,3,的倍数,，,要看这个数每个数位上的数字之和是不是,3,的倍数。,4,：自然数按能不能被,2,整除来分：,奇数、偶数,。,奇数,：不能被,2,整除的数。叫奇数。也就是个位上是,1,、,3,、,5,、,7,、,9,的数。,偶数,：能被,2,整除的数叫偶数,（,0,也是偶数）,，也就是个位上是,0,、,2,、,4,、,6,、,8,的数。,最小的奇数是,1,，最小的偶数是,0.,关系： 奇数,+,偶数,=,奇数,奇数,+,奇数,=,偶数,偶数,+,偶数,=,偶数。,5,、,质数,和合数,质数（或素数）,：,只有,1,和它本身两个因数。,合数,：除了,1,和它本身还有别的因数,（至少有三个因数：,1,、它本身、别的因数）。,1,：,只有,1,个因数,。,“,1”,既不是质数，也不是合数。,最小的质数是,2,，最小的合数是,4,，连续的两个质数是,2,、,3,。,每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。,2,、,3,、,5,、,7,和,11,；,13,后 面 是,17,；,19,，,23,、,29,、,31,、,37,、,41,；,43,、,47,、,53,；,59,、,61,、,67,；,71,、,73,、,79,；,83,89,、,97,；,25,个质数不能少；百以内质数心中记,。,100,以内的质数表,找质数、合数的技巧：,看是否是,2,、,3,、,5,、,7,、,11,、,13,的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。,6,、最大、最小,的常见数,一个数的最小因数是：,1,；,一个数的最大因数是：它本身；,一个数的最小倍数是：它本身；,最小的自然数是：,0,；,；最小的奇数是：,1,；,最小的偶数是：,0,；,最小的质数是：,2,；,最小的合数是：,4,第三单元 长方体和正方体,1,、,长方体,：,一般由,6,个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做,长方体,。两个面相交的边叫做,棱,。三条棱相交的点叫做,顶点,。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做,长方体的长、宽、高,。,长方体特点：,（,1,）有,6,个面，,8,个顶点，,12,条棱，,相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。,（,2,）一个长方体,一般,有,6,个面是长方形。有时有两个相对的面是正方形，剩下,的,四个,面,是大小相同的长方形。,2,、,正方体,：,由,6,个完全相同的正方形围成的立体图形叫做,正方体（也叫做立方体）,。,正方体特点：,（,1,）正方体有,12,条棱，它们的长度都相等,。,（,2,）正方体有,6,个面，每个面都是正方形,，每个面的面积都相等。,（,3,）正方体可以说是,长、宽、高都相等的长方体，它是一种,特殊的长方体,。,3,、长方体、正方体有关棱长计算公式：,长方体的棱长总和,=,长,4,+,宽,4,+,高,4,=,（长,+,宽,+,高,）,4,长,=,棱长总和,4,宽 高,宽,=,棱长总和,4,长 高,高,=,棱长总和,4,长 宽,正方体的棱长总和,=,棱长,12,正方体的棱长,=,棱长总和,12,4,、,长方体正方体的表面积,：,长方体或正方体,6,个面和总面积叫做它的,表面积,。,长方体的表面积,=,（长宽长高宽高）,2,正方体的表面积,=,棱长棱长,6,用字母表示：,S=a,a,6,或者,S= 6a,2,生活实际：,油箱、罐头盒等都是,6,个面,游泳池、鱼缸等都只有,5,个面,水管、烟囱等都只有,4,个面。,注意,1,：,用刀分开物体时，每分一次增加两个面。,（表面积相应增加）,注意,2,：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大,n,倍，,表面积会扩大,n,2,倍。,（,例,如长、宽、高各扩大,3,倍，表面积就会扩大到原来的,3,2,倍,）。,5,、,体积,：,物体,所占空间的大小,叫做,物体的体积,。,长方体的体积,=,长宽高,V=abh,长,=,体积宽高,a=V,b,h,宽,=,体积长高,b=V,a,h,高,=,体积长宽,h= V,a,b,正方体的体积,=,棱长棱长棱长,V=a,a,a = a,3,读作“,a,的立方”表示,3,个,a,相乘，（即,a,a,a,）,长方体或正方体底面的面积叫做底面积。,长方体（或正方体）的体积,=,底面积高,用字母表示：,V=S h,体积,=,底面积高,V=Sh,底面积,=,体积,高,S=V,h,高,=,体积,底面积,h=V,S,注意：一个长方体,和,一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。,6,、箱子、油桶、仓库,等容器,所,能容纳物体的体积,，通常叫做他们的,容积,。,物体所占空间的大小,用体积,表示，如果,计量,一个容器能容纳的,液体的体积,的多少,，,则用容积表示。,常用的,容积单位,有,升和毫升,也可以写成,L,和,ml,。,1升=1,立方分米,1,毫升,=1,立方厘米,1升=1000,毫升,（,1 L = 1 dm,3,1 ml = 1 cm,3,）,长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。,容积,要从容器,里面量长、宽、高,。（所以，,对于同一个物体，,严格的讲,体积大于容积。）,注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大,n,倍，体积就会扩大,n,3,倍。,（,例如,如长、宽、高各扩大,2,倍，体积就会扩大到原来的,2,3,倍,）。,*,形状不规则的物体可以用,排水法求体积,，,形状规则的物体可以用公式直接求体积,。,排水法,求不规则物体的体积,的公式：,V,物体,=V,现在,V,原来也可以,V,物体,=S,(h,现在,- h,原来,),V,物体,= S,h,升高,进率【单位换算】,大单位,小单位,进率,小单位,大单位,单位改小，数字就会变大，乘进率；单位改大，数字就会变小，除以进率。,长度单位,：,1,千米,=1000 米 1,米,=10,分米,1,分米,=10,厘米,1,厘米,=10,毫,米,1米=10,分米,=100,厘米,=1000,毫米,（相邻单位进率,10,）,面积单位：,1,平方千米,=100,公顷,1,公顷,=10000,平方米,1,平方米,=100,平方,分,米,1,平方分米,=100,平方厘米,1,平方厘米,=100,平方毫米,（平方相邻单位进率,100,）,1,平方千米,=100,万平方米,质量单位：,1,吨,=1000,千克,1,千克,=1000克,人 民 币：,1,元,=10,角,1,角,=10,分,1,元,=100,分,第四单元分数的意义和性质,1,、,单位“,1,”：,一个物体、一,些,物体等都可以看作一个整体,，,一个整体可以用自然数,1,来表示，通常把它叫做单位“,1,”。,（有时也叫,标准量,）,2,、,分数的意义,：把,这个整体,（,单位“,1,”,）,平均分成若干份，,表示其中,的一份或几份,的数叫做,分数。,3,、,分数单位：,把单位“,1,”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。,例如：,表示把单位,“,1,”,平均分成（,7,）份，表示其中（,2,）份的,数，它的分数单位是（ ），再加上（,5,）个这样的分数单位就是,1,。,4,、分数与除法,被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母。,被除数,除数,=,被除数,除数,ab=,a,b,(b 0),因为,0,不能作除数,3,5,米可以理解为,：,1,米的 即把（,1,）,米平均分成（,5,）份,，表,示其中,的（,3,）,份；,3,米的 即把（,3,）,米平均分成（,5,）,份,，表,示其中的,（,1,）,份,；也就是,3,5=,5,、真分数和假分数、带分数,1,、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。,真分数,1,。,2,、假分数：,分子比分母大,或,分子和分母相等,的分数,叫假分数。,假分数,1,3,、带分数：带分数由,整数,和,真分数,组成的分数。,带分数,1.,6,、假分数与整数、带分数的互化,（,1,）假分数化为整数或带分数，用分子分母，商作为整数，余数作为分子， 如：,=10,5=2 =21,5=4,余,1=4,余数,1,作为带分数分子,（,2,）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：,2=,（,多少）,4=2,，（多少）,=4,2=8,，,（,8,作分子）,（,3,）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：,5 = 5,5+1=26,，,26,作为假分数的分子。,（,4,）分子和分母相同的分数,可以转化成,1,。如：,1= = = =,7,、,分数的基本性质,：,分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（,0,除外），分数的大小不变。,8,、最简分数：分数的分子和分母只有公因数,1,（分子和分母为互质数）,，像这样的分数叫做最简分数。,7,、,分数的基本性质,：,分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（,0,除外），分数的大小不变。,8,、最简分数：分数的分子和分母只有公因数,1,（分子和分母为互质数）,，像这样的分数叫做最简分数。,9,、约分,：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。如：,=,7,、,分解质因数：,把一个合数分解成多个质数相乘的形式。,用,短除法,分解质因数 （,一个合数写成几个质数相乘的形式,）。,比如：,30,分解质因数是：（,30=2,3,5,）,8,、,短除法,找两个数的,最大公因数,和,最小公倍数,的方法：,30,和,45,的最大公因数是,3,5=15.,30,和,45,的最小公倍数是,3,5,2,3=90,30 45,3,10 15,5,2 3,9,、,互质数,：公因数只有,1,的两个数，叫做互质数。,两数互质的特殊情况：,1,和,任何自然数,互质；,相邻两个自然数,互质；,两个质,数一定互质；,2,和所有,奇数,互质；,两个数,不是倍数,关系，且,其中一个数是质数,。,10,、,公因数、最大公因数,几个数公有的因数叫,这些数的公因数,。其中最大的那个就叫,它们的最大公因数,。,用,短除法,求两个数或三个数的最大公因数,（除到,互质,为止，,再,把,所有的除数连乘,起来）,几个数的公因数只有,1,，就说这几个数互质。,如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。,如果两数互质时，那么,1,就是它们的最大公因数。,11,、,公倍数、最小公倍数,几个数公有的倍数叫这些数的,公倍数,。其中最小的那个就叫它们的,最小公倍数,。,用,短除法求两个数,的最小公倍数（除到,互质,为止，把,所有的除数和商连乘,起来）,用,短除法求三个数,的最小公倍数（除到,两两互质,为止，把所有的,除数和商,连乘起来）,如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。,如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。,8,、,短除法,找两个数的,最大公因数,和,最小公倍数,的方法：,30,和,45,的最大公因数是,3,5,=15,30,和,45,的最小公倍数是,3,5,2,3=90,30 45,3,10 15,5,2 3,9,、约分,：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数叫做约分,（分子和分母同时除以同一个不为,0,的数,。,如：,=,10,、通分,：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分,。,如：,和,可以化成,和,*约分和通分都是利用分数的基本性质。,11,、分数和小数的互化,（,1,）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是,10,；两位小数，分母是,100,如：,0.3= 0.03= 0.003=,（,2,）分数化为小数：方法一：把分数化为分母是,10,、,100,、,1000,如：,=0.3 = =0.6 =0.25,方法二：用分子分母,如：,=3,4=0.75,（,3,）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数,如：,12,、比,较,分数的大小：,分母相同，,看分子，,分子大，分数就大；,分子相同，,看分母，,分母小，分数,反而,大。,假分数大于真分数,分数比较大小的,一般方法,：,同分子比较；,化成分子相同的分数比较大小,通分后比较；,化成分母相同的分数比较大小,化成小数比较。,分数化成小数比较大小,
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