传染病数学模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,传染病数学模型,传染病的随机感染模型,在人群中有病人(带菌者)和健康人(易感人群)，,任何两个人之间的接触都是随机的。当然健康人,与非健康人之间的接触时是否被感染也是随机的。,这时如何估计平均每天有多少健康人被感染？,接触概率,感染概率,总的感染人数,一个健康人被其他的所有病人感染的概率,一个健康人被一名指定病人感染的概率,人群中只分为健康人和病人两种,人群中任何两人的接触是相互独立的。每人,平均每天与,人接触。,当一健康人与一病人接触时，健康人被感染,的概率为,模型假设,接触概率,接触人数服从二项分布,感染概率,一健康人被一指定病人感染的概率,一健康人被感染的概率,健康人被感染的人数也服从二项分布，,每天被,感染的人数 也服从二项分布,离散,连续,变化是时间的函数,人群中只分为健康人和病人两种或者易感染者,（Susceptible）和已感染者（Infective）.病人数和健,康人数在总人数中所占比例分别记为,人群中任何两人的接触是相互独立的。每个病,人平均每天的有效接触为常数,变化最大？,具有免疫性SIR,不具有免疫性SIS,随着时间的变化,如何变化?,单调递增,单调递减,则,0,则,先单调递增,达到最大值,减小且趋向于零,单调递增,单调递减,减小且趋向于零,单调递减至,稳定性理论,设微分方程,，方程右边不显含自变量,称之为自治方程。,的实根,显然也是该方程的解，,称为,方程的平衡点（奇点）,如果存在某个邻域，使得该方程的解在邻域内的某,个点,出发，,满足,则称平衡点 为,稳定点,判定,是否为稳定点，,主要利用直接法,若,则,为稳定点,若,则,非稳定点,的两个实根,称为该微分方程的平衡点,则称该点为稳定点,是非线性，这时应用泰勒公式，只保留其线,性主部，而这时的新方程和原来的方程有相同的稳定性。,当特征根为负数或者有负实部时，该点为稳定,点，否则该点为非稳定点。,谢谢！,