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单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第九章 向量自回归和误差修正模型,传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回归模型(,vector autoregression，VAR),和向量误差修正模型(,vector error correction model，VEC),就是非结构化的多方程模型。,1,向量自回归(,VAR),是基于数据的统计性质建立模型，,VAR,模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。,VAR,模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元,MA,和,ARMA,模型也可转化成,VAR,模型，因此近年来,VAR,模型受到越来越多的经济工作者的重视。,9.1,向量自回归理论,2,VAR(,p,),模型的数学表达式是,(9.1.1),其中：,y,t,是,k,维内生变量列向量，,x,t,是,d,维外生变量列向量，,p,是滞后阶数，,T,是样本个数。,k,k,维矩阵,1,，,，,p,和,k,d,维矩阵,H,是待估计的系数矩阵。,t,是,k,维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设,是,t,的协方差矩阵，是一个,(,k,k,),的正定矩阵。式,(9.1.1),可以展开表示为,9.1.1,VAR,模型的一般表示,3,(9.1.2),即含有,k,个时间序列变量的,VAR(,p,),模型由,k,个方程组成。,4,其中,，,c,i,a,ij,b,ij,是要被估计的参数。也可表示成：,例如：,作为,VAR,的一个例子，假设工业产量（,IP,）,和货币供应量（,M,1）,联合地由一个双变量的,VAR,模型决定。内生变量滞后二阶的,VAR(2),模型是：,5,一般称式(9.1.,1),为,非限制性向量自回归模型,(,unrestricted VAR)。,冲击向量,t,是白噪声向量，因为,t,没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。,为了叙述方便，下面考虑的,VAR,模型都是不含常数项的非限制向量自回归模型，用下式表示,或,(9.1.5),6,如果行列式,det,(,L,),的根都在单位圆外，则式(9.1.5)满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均(,VMA(),形式,(9.1.6),其中,7,对,VAR,模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对,矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得,矩阵的估计量为,(9.1.7),其中：,当,VAR,的参数估计出来之后，由于,(,L,),A,(,L,),=I,k,，,所以也可以得到相应的,VMA(),模型的参数估计。,8,由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(,OLS),能得到,VAR,简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量,t,有同期相关，,OLS,仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(,GLS),是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的,y,t,的滞后而被消除,，,所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。,9,例9.1 我国货币政策效应实证分析的,VAR,模型,为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度200,7,年,4,季度的季度数据，设居民消费价格指数为,CPI_,90 (1990,年,1,季度,=1),、居民消费价格指数增长率为,CPI,、实际,GDP,的对数,ln(,GDP,/,CPI_,90,) 为,ln(,gdp,),、,实际,M,1,的对数,ln(,M,1,/,CPI_,90),为,ln(,m,1,),和实际利率,rr,(,一年期存款利率,R-CPI,）。,10,利用,VAR(,p,),模型对,ln(,gdp,),，,ln(,m,1,) 和,rr,，3个变量之间的关系进行实证研究，其中实际,GDP,和实际,M,1,以对数差分的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。,11,EViews,软件中,VAR,模型的建立和估计,1建立,VAR,模型,为了创建一个,VAR,对象，应选择,Quick/Estimate VAR,或者选择,Objects/New object/VAR,或者在命令窗口中键入,var。,便会出现下图的对话框(以例9.1为例)：,12,可以在对话框内添入相应的信息：,(1) 选择模型类型（,VAR Type）：,无约束向量自回归（,Unrestricted VAR）,或者向量误差修正（,Vector Error Correction）。,无约束,VAR,模型是指,VAR,模型的简化式。,(2) 在,Estimation Sample,编辑框中设置样本区间,13,(3) 输入滞后信息,在,Lag Intervals for Endogenous,编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。,这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。,例如，滞后对,1 4,表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。,也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如：,2 4 6 9 12 12,即为用24阶，69阶及第12阶滞后变量。,14,(4) 在,Endogenous Variables,编辑栏中输入相应的内生变量,(,5),在,Exogenous Variables,编辑栏中输入相应的外生变量,EViews,允许,VAR,模型中包含外生变量，,其中,x,t,是,d,维外生变量向量,k,d,维矩阵,H,是要被估计的系数矩阵。可以在,Exogenous Variables,编辑栏中输入相应的外生变量。系统通常会自动给出常数,c,作为外生变量。,其余两个菜单（,Cointegration,和,Restrictions）,仅与,VEC,模型有关，将在下面介绍。,15,2,VAR,估计的输出,VAR,对象的设定框填写完毕，单击,OK,按纽，,EViews,将会在,VAR,对象窗口显示如下估计结果：,16,表中的每一列对应,VAR,模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，,EViews,会给出,系数估计值,、估计,系数的标准差(圆括号中),及,t-,统计量(方括号中),。,例如，在,D(log(M1_TC_P),的方程中,RR_TC(-1),的系数是,-,。,同时，有两类回归统计量出现在,VAR,对象估计输出的底部：,17,输出的第一部分显示的是每个方程的标准,OLS,回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。,输出的第二部分显示的是,VAR,模型的回归统计量。,18,残差的协方差的行列式值(自由度调整)由下式得出：,其中,m,是,VAR,模型每一方程中待估参数的个数，不做自由度调整的残差协方差行列式计算中不减,m,。,是,k,维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布计算对数似然值：,AIC,和,SC,两个信息准则的计算将在后文详细说明。,19,例结果如下：,尽管有几个系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶数为,2,。3个方程拟合优度分别为：,可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。,20,同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用,e,i,表示第,i,个方程的残差，,i,=1，2，3。,其结果如表9.1所示。,表9.1 残差的同期相关矩阵,e,1,e,2,e,3,e,1,1,0.007,-0.42,e,2,0.007,1,0.21,e,3,-0.42,0.21,1,21,从表中可以看到实际利率,rr,、,实际,M1,的,ln(,m,1,) 方程和实际,GDP,的,ln(,gdp,)方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际利率,、,实际货币供给量(,M,1,),和实际,GDP,之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。,22,9.1.2 结构,VAR,模型(,SVAR),在式(9.1.1)或式(9.1.3)中，可以看出，,VAR,模型并没有给出变量之间当期相关关系的确切形式，即在模型的右端不含有当期的内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中，是无法解释的，所以将式(9.1.1)和式(9.1.3)称为,VAR,模型的简化形式。本节要介绍的结构,VAR,模型(,Structural VAR，SVAR)，,实际是指,VAR,模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。,23,1两变量的,SVAR,模型,为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量的,VAR,模型结构式和简化式之间的转化关系。如含有两个变量(,k=,2)、,滞后一阶(,p=,1),的,VAR,模型结构式可以表示为下式,(9.1.8),24,在模型(9.1.8)中假设：,（,1,）随机误差,u,xt,和,u,zt,是白噪声序列，不失一般性，假设方差,x,2,=,z,2,=1,；,（,2,）随机误差,u,xt,和,u,zt,之间不相关，,cov(,u,xt, u,zt,)=0,。,式(9.1.8)一般称为,一阶结构向量自回归模型(,SVAR(1),。,25,它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用与反馈作用，其中系数,c,12,表示变量,z,t,的单位变化对变量,x,t,的,即时作用,，,21,表示,x,t-,1,的单位变化对,z,t,的,滞后影响,。虽然,u,xt,和,u,zt,是单纯出现在,x,t,和,z,t,中的随机冲击，但如果,c,21,0，,则作用在,x,t,上的随机冲击,u,xt,通过对,x,t,的影响，能够即时传到变量,z,t,上，这是一种,间接的即时影响,；同样，如果,c,12,0，,则作用在,z,t,上的随机冲击,u,zt,也可以对,x,t,产生间接的即时影响。冲击的交互影响体现了变量作用的双向和反馈关系。,26,为了导出,VAR,模型的简化式方程，将上述模型表示为矩阵形式,该模型可以简单地表示为,(9.1.9),27,假设,C,0,可逆，可导出简化式方程为,其中,(9.1.10),28,从而可以看到，简化式扰动项,t,是结构式扰动项,u,t,的线性组合，因此代表一种复合冲击。因为,u,xt,和,u,zt,是不相关的白噪声序列，则可以断定上述,1,t,和,2,t,也是白噪声序列，并且均值和方差为,29,同期的,1,t,和,2,t,之间的协方差为,从式(9.1.11)可以看出当,c,12, 0,或,c,21, 0,时，,VAR,模型简化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关，正如例9.1中的表9.1所显示的情况。,当,c,12,=,c,21,= 0,时，即变量之间没有即时影响，上述协方差为0，相当于对,C,0,矩阵施加约束。,(9.1.11),30,2多变量的,SVAR,模型,下面考虑,k,个变量的情形，,p,阶结构向量自回归模型,SVAR(,p,),为,(9.1.13),其中,：, ,31,可以将式(9.1.13)写成滞后算子形式,(9.1.14),其中：,C,(,L,) =,C,0,1,L,2,L,2, ,p,L,p,，,C,(,L,),是滞后算子,L,的,k,k,的参数矩阵，,C,0,I,k,。,需要注意的是，,本书讨论的,SVAR,模型，,C,0,矩阵均是主对角线元素为1的矩阵。,如果,C,0,是一个下三角矩阵，则,SVAR,模型称为递归的,SVAR,模型。,32,不失一般性，在式(9.1.14)假定结构式误差项(结构冲击),u,t,的方差-协方差矩阵标准化为单位矩阵,I,k,。,同样，如果矩阵多项式,C,(,L,),可逆，可以表示出,SVAR,的无穷阶的,VMA(),形式,其中：,(9.1.15),33,式(9.1.15)通常称为经济模型的,最终表达式,，因为其中所有内生变量都表示为,u,t,的分布滞后形式。而且结构冲击,u,t,是不可直接观测得到，需要通过,y,t,各元素的响应才可观测到。可以通过估计式(9.1.5)，转变简化式的误差项得到结构冲击,u,t,。,从式(9.1.6),和式(9.1.15)，可以得到,(9.1.16),34,上式对于任意的,t,都是成立的，称为典型的,SVAR,模型。由于,A,0,= I,k,，,可得,式(9.1.17)两端平方取期望，可得,所以我们可以通过对,B,0,施加约束来识别,SVAR,模型。由式,5),，有,(9.1.17),(9.1.18),35,9.2 结构,VAR(SVAR),模型的识别条件,前面已经提到，在,VAR,简化式中变量间的当期关系没有直接给出，而是隐藏在误差项的相关关系的结构中。自,Sims,的研究开始，,VAR,模型在很多研究领域取得了成功，在一些研究课题中，,VAR,模型取代了传统的联立方程模型，被证实为实用且有效的统计方法。然而，,VAR,模型存在参数过多的问题，如式(9.1.1)中，一共有,k,(,kp,+,d,),个参数，只有所含经济变量较少的,VAR,模型才可以通过,OLS,和极大似然估计得到满意的估计结果。,36,为了解决这一参数过多的问题，计量经济学家们提出了许多方法。这些方法的出发点都是通过对参数空间施加约束条件从而减少所估计的参数。,SVAR,模型就是这些方法中较为成功的一种。,9.2.1,VAR,模型的识别条件,在经济模型的结构式和简化式之间进行转化时，经常遇到模型的识别性问题，即能否从简化式参数估计得到相应的结构式参数。,37,对于,k,元,p,阶简化,VAR,模型,利用极大似然方法，需要估计的参数个数为,(9.2.1),(9.2.2),而对于相应的,k,元,p,阶的,SVAR,模型,来说，需要估计的参数个数为,(9.2.4),(9.2.3),38,要想得到结构式模型惟一的估计参数，要求识别的阶条件和秩条件，,即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多,(识别的阶条件和秩条件的详细介绍请参见第12章的“12.1.2联立方程模型的识别”)。因此，如果不对结构式参数加以限制，将出现模型不可识别的问题。,对于,k,元,p,阶,SVAR,模型，需要对结构式施加的限制条件个数为式(9.2.4)和式(9.2.2)的差，即施加,k,(,k -,1)/2,个限制条件才能估计出结构式模型的参数。这些约束条件可以是同期(短期)的，也可以是长期的。,39,9.2.2,SVAR,模型的约束形式,为了详细说明,SVAR,模型的约束形成，从式(9.1.16)和式(9.1.17)出发，可以得到,其中,A,(,L,)、,B,(,L,),分别是,VAR,模型和,SVAR,模型相应的,VMA(),模型的滞后算子式，,B,0,=,C,0,-1,，,这就隐含着,(9.2.5), i,= 0,，,1,，,2,，,(9.2.6),40,因此，只需要对,B,0,进行约束，就可以识别整个结构系统。如果,B,0,是已知的，可以通过估计式(9.1.17) 和式(9.2.6)非常容易的得到滞后多项式的结构系数和结构新息,u,t,。,在有关,SVAR,模型的文献中，这些约束通常来自于经济理论，表示经济变量和结构冲击之间有意义的长期和短期关系。,41,1.,短期约束,短期约束通常直接施加在矩阵,B,0,上，表示经济变量对结构冲击的同期响应，常见的可识别约束是简单的0约束排除方法。,（1）,通过,Cholesky-,分解建立递归形式的短期约束,Sims,提出使,B,0,矩阵的上三角为 0 的约束方法，这是一个简单的对协方差矩阵,的,Cholesky-,分解。下面，首先介绍,Cholesky-,分解的基本思想,42,Cholesky (,乔利斯基,),分解,对于任意实对称正定矩阵,，存在惟一一个主对角线元素为1的下三角形矩阵,G,和惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵,Q,使得：,利用这一矩阵,G,可以构造一个,k,维向量,u,t,，,构造方法为,u,t,=G,-1,t,，,设,(9.2.7),43,则,由于,Q,是对角矩阵，可得,u,t,的元素互不相关，其（,j,j,）,元素是,u,jt,的方差。令,Q,1/2,表示其（,j,j,）,元素为,u,jt,标准差的对角矩阵。注意到式(9.2.7)可写为,(9.2.8),其中,P,=,GQ,1/2,是一个下三角矩阵。式(9.2.8)被称为,Cholesky (,乔利斯基)分解。,44,Sims,施加约束的基本过程是：,由于,是正定矩阵，所以可得到,Cholesky,因子,P,，,即,PP,=,。而且，当给定矩阵,时，,Cholesky,因子,P,是惟一确定的。,对于,VAR,模型,，,其中,VWN,(,0,k,),表示均值为,0,k,，,协方差矩阵为,的白噪声向量，这里,0,k,表示,k,维零向量。,上式两边都乘以,P,1,，,得到,45,其中：,u,t,=,P,-1,t,。,由于,(9.2.9),(9.2.10),所以,u,t,是协方差为单位矩阵的白噪声向量，即,u,t,VMN,(,0,k,I,k,) 。,46,在向量,t,中的各元素可能是当期相关的，而向量,u,t,中的各元素不存在当期相关关系，即这些随机扰动是相互独立的。,这些相互独立的随机扰动可以被看作是导致内生变量向量,y,t,变动的最终因素。,由式(9.2.9)还可以得出,其中, ,(9.2.11),47,很明显，,C,0,是下三角矩阵。,这意味着变量间的当期关系可以用递归的形式表示出来,，,得到的正交,VMA(),表示(或,Wold,表示)形式为,其中：,B,i,=,A,i,P,，,B,0,=,P,。,注意到,B,0,=,P,，所以冲击,u,t,对,y,t,中的元素的当期冲击效应是由,Cholesky,因子,P,决定的。,(9.2.12),48,更需要注意的是，由于,P,是下三角矩阵，由式(9.2.9)可知，这要求向量,y,t,中的,y,2,t,，,y,kt,的当期值对第一个分量,y,1,t,没有影响，因此,Cholesky,分解因子,P,的决定和,VAR,模型中变量的次序有关,，而且在给定变量次序的模型中，,Cholesky,分解因子矩阵,P,是惟一的。,综上所述，可知只要式(9.1.13)中的,C,0,是主对角线元素为 1 的下三角矩阵，则,SVAR,模型是一种递归模型，而且是恰好识别的。,49,（2）依据经济理论假设的短期约束,但是，一般短期约束的施加不必是下三角形式的。只要满足式(9.1.18)：,约束可以施加给,B,0,的任何元素。同时，由式(9.1.15)可知，,SVAR,模型中的同期表示矩阵,C,0,是,B,0,的逆，即,B,0,=,C,0,-1,，,因此也可以通过对,C,0,施加限制条件实现短期约束。,50,2. 长期约束,关于长期约束的概念最早是由,Blanchard,和,Quah,在1989年提出的，是为了识别模型供给冲击对产出的长期影响。施加在结构,VMA(),模型的系数矩阵,B,i,(,i,=1，2，),上的约束通常称为长期约束。最常见的长期约束的形式是对,i,= 0,B,i,的第,i,行第,j,列元素施加约束，典型的是 0 约束形式，表示第,i,个变量对第,j,个变量的累积乘数影响为 0。,关于长期约束更详细的说明及其经济含义可参考9.4节的脉冲响应函数。,51,在,EViews,中如何估计,SVAR,模型,在,VAR,估计窗口中选择：,Procs,/,Estimate Structural Factorization,即可。下面对这一操作进行详细说明：,假设,在,EViews,中,SVAR,模型为：,(9.8.3),其中,e,t,，,u,t,是,k,维向量，,e,t,是简化式的残差，相当于前文的,t,，,而,u,t,是结构新息(结构式残差)。,A、B,是待估计的,k,k,矩阵。简化式残差,e,t,的协方差矩阵为,52,例,9.2,基于,SVAR,模型的货币政策效应的实证分析,货币政策主要指中央银行通过调整利率和货币供应量，影响投资、社会需求及总支出，进而对经济增长产生作用。凯恩斯学派和货币主义学派都承认货币供应量对经济有影响，虽然途径不一样，但都是诱发经济波动的主要原因。为了验证利率和货币供给的冲击对经济波动的影响，例使用了,VAR,模型，但是其缺点是不能刻画变量之间的同期相关关系，而这种同期相关关系隐藏在扰动项变动中，因此可以通过本节介绍的,SVAR,模型来识别，这就涉及对模型施加约束的问题。首先，根据式（）建立,3,变量的,SVAR(2),模型，其形式如下：,t,= 1,，,2,，,，,T,(9.2.13),53,其中,A,、,B,参数矩阵及向量分别为,， ，,(9.2.14),其中,t,是,VAR,模型的扰动项，,u,1,t,、,u,2,t,和,u,3,t,分别表示作用在实际利率,rr,、,ln(,m,1),和,ln(,gdp,),上的结构式冲击，即结构式扰动项，,u,t,VMN,(,0,k,I,k,),。一般而言，简化式扰动项,t,是结构式扰动项,u,t,的线性组合，因此代表一种复合冲击。,54,模型中有,3,个内生变量，因此至少需要施加,2,k,2,k,(,k,+1)/2=12,个约束才能使得,SVAR,模型满足可识别条件。本例中约束,B,矩阵（即,B,0,矩阵）是单位矩阵，,A,矩阵（即,A,0,矩阵）对角线元素为,1,，相当于施加了,k,2,+,k,个约束条件。根据经济理论，本例再施加如下两个约束条件：,(1),实际利率对当期货币供给量的变化没有反应，即,a,12,=0,；,(2),实际利率对当期,GDP,的变化没有反应，即,a,13,=0,。,55,1. 用矩阵模式表示的短期约束,在许多问题中，对于,A、B,矩阵的可识别约束是简单的排除0约束。在这种情况下，可以通过创建矩阵指定,A、B,的约束，矩阵中想估计的未知元素定义为缺省值,NA，,在矩阵中所有非缺省的值被固定为某一指定的值。,例如：,对于例9.2，(9.2.14)的简化式扰动项和结构式扰动项的关系为,A,t,=,u,t,，对于,k,=,3,个变量的,SVAR,模型，其矩阵模式可定义为：,56,一旦创建了矩阵，从,VAR,对象窗口的菜单中选择,Procs/Estimate Structural Factorization，,在下图所示的,SVAR Options,的对话框中，击中,Matrix,按钮和,Short-Run Pattern,按钮，并在相应的编辑框中填入模版矩阵的名字。,57,2.,用文本形式表示的短期约束,对于更一般的约束，可用文本形式指定可识别的约束。在文本形式中，以一系列的方程表示关系：,Ae,t,=,Bu,t,并用特殊的记号识别,e,t,和,u,t,向量中的每一个元素。,A、B,矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素。,例如：,像上例所假定的一样，对于有3个变量的,SVAR,模型，约束,A,矩阵为,C,0,矩阵,，,B,矩阵是一对角矩阵。在这些约束条件下,，,Ae,t,=,u,t,的关系式可以写为下面的形式。,58,为了以文本形式指定这些约束，从,VAR,对象窗口选择,Procs/Estimate Structure Factorization，,并单击,Text,按钮，在编辑框中，应键入下面的方程：,e,1,t,=,u,1,t,e,2,t,= c(1),e,1,t,+,u,2,t,+ c(4),e,3,t, e,3,t,=,c(2),e,1,t,+,c(3),e,2,t,+,u,3,t,59,60,特殊的关键符“,e,1”， “,e,2”， “,e,3”,分别代表,e,t,(,即,t,),向量中的第一、第二、第三个元素，而“,u,1”， “,u,2”， “,u,3”,分别代表,u,t,向量中的第一、第二、第三个元素。在这个例子中，,A、B,矩阵中的未知元素以系数向量,c,中的元素来代替。并且对,A、B,矩阵的约束不必是下三角形式，可以依据具体的经济理论来建立约束。,61,4.,A、B,矩阵的估计,一旦提供了上述所描述的任何一种形式的可识别约束，单击,SVAR Options,对话框的,OK,按钮，就可以估计,A、B,矩阵。为了使用脉冲响应和方差分解的结构选项，必须先估计这两个矩阵。,假定扰动项是多元正态的，,EViews,使用极大似然估计法估计,A、B,矩阵。使用不受限制的参数代替受限制的参数计算似然值。对数似然值通过得分方法最大化，在这儿梯度和期望信息矩阵使用解析法计算。,62,最优化控制,(,Optimization Control),最优化过程控制的选项在,SVAR Options,对话框的,Optimization Control,栏下提供。可以指定初始值、迭代的最大数和收敛标准。,63,估计的输出,一旦估计收敛，,EViews,会在,VAR,对象窗口中显示估计的结果，包括：估计值、标准误差和被估计无约束参数的,Z,统计量及对数似然的最大值。基于被估计的信息矩阵的逆（,Hessian,的负的期望值）所估计的标准误差在最后的估计中计算。,64,65,在模型,(9.2.13),满足可识别条件的情况下，我们可以使用完全信息极大似然方法（,FIML,）估计得到,SVAR,模型的所有未知参数，从而可得矩阵,A,及,t,和,u,t,的线性组合的估计结果如下（设,VAR,模型的估计残差,=,e,t,）：,或者可以表示为,本章将在例中，利用脉冲响应函数讨论实际利率和货币供给量的变动对产出的影响。,66,无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单介绍关于,VAR,模型的各种检验。这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型（,VEC）,也适用。,9.3.1,Granger,因果检验,VAR,模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。本节讨论由,Granger(1969),提出，,Sims(1972),推广的如何检验变量之间因果关系的方法。,9.3,VAR,模型的检验和过程,67,1. Granger,因果关系的定义,Granger,解决了,x,是否引起,y,的问题，主要看现在的,y,能够在多大程度上被过去的,x,解释，加入,x,的滞后值是否使解释程度提高。如果,x,在,y,的预测中有帮助，或者,x,与,y,的相关系数在统计上显著时，就可以说“,y,是由,x,Granger,引起的”,。,考虑对,y,t,进行,s,期预测的均方误差（,MSE,）：,(9.3.1),68,这样可以更正式地用如下的数学语言来描述。,Granger,因果定义：,如果关于所有的,s,0，,基于(,y,t,，,y,t-,1,，),预测,y,t+s,得到的均方误差，与基于(,y,t,，,y,t-,1,，),和(,x,t,，,x,t-,1,，),两者得到的,y,t+s,的均方误差相同，则,y,不是由,x,Granger,引起的。对于线性函数，若有,可以得出结论：,x,不能,Granger,引起,y,。,等价的，如果(9.3.2)式成立，则,称,x,对于,y,是外生的,。这个意思相同的,第三种表达方式是,x,关于未来的,y,无线性影响信息,。,(9.3.2),69,可以将上述结果推广到,k,个变量的,VAR(,p,),模型中去，考虑对模型(9.1.5)，利用从 (,t,1),至 (,t,p,),期的所有信息，得到,y,t,的最优预测如下：,(9.3.3),VAR(,p,),模型中,Granger,因果关系如同两变量的情形，可以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广，对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：,在多变量,VAR(,p,),模型中不存在,y,jt,到,y,it,的,Granger,意义下的因果关系的必要条件是,(9.3.4),其中 是 的第,i,行第,j,列的元素。,70,2.,Granger,因果关系检验,Granger,因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果受到其他变量的滞后影响，则称它们具有,Granger,因果关系。,71,在一个二元,p,阶的,VAR,模型中,(9.3.5),当且仅当系数矩阵中的系数 全部为0时，变量,x,不能,Granger,引起,y,，,等价于变量,x,外生于变量,y,。,72,这时，判断,Granger,原因的直接方法是利用,F,-,检验来检验下述联合检验：,H,0,:,H,1,:,至少存在一个,q,使得,其统计量为,(9.3.6),如果,S,1,大于,F,的临界值，则拒绝原假设；否则接受,原假设：,x,不能,Granger,引起,y,。,73,其中：,RSS,1,是式(9.3.5)中,y,方程的残差平方和：,(9.3.7),RSS,0,是不含,x,的滞后变量， 即如下方程的残差平方和：,(9.3.8),则有,(9.3.9),74,在满足高斯分布的假定下，检验统计量式(9.3.6)具有精确的,F,分布。如果回归模型形式是如式(9.3.5)的,VAR,模型，一个渐近等价检验可由下式给出：,(9.3.10),注意，,S,2,服从自由度为,p,的,2,分布。如果,S,2,大于,2,的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：,x,不能,Granger,引起,y,。,而且,Granger,因果检验的任何一种检验结果都和滞后长度,p,的选择有关。,75,在,EViews,中,Granger,因果检验的操作,选择,View/Lag Structure/Granger Causality Tests，,即可进行,Granger,因果检验。,76,输出结果对于,VAR,模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的,2,(,Wald),统计量，在表的最后一行(,ALL),列出了检验所有滞后内生变量联合显著的,2,统计量。对例9.1进行检验，其结果如下：,77,同时在组(,Group),的,View,菜单里也可以实现,Granger,因果检验，但是需要先确定滞后阶数，具体统计量的构造可依据9.3节的介绍，将例9.1的3个时间序列构造成组，在组中进行检验可得如下结果：,78,为了使两个结果具有可比性，选择了相同的滞后阶数。两个输出结果的形式和统计量都不一样，在,VAR,中用的是,2,统计量，而在,Group,中使用的是,F,统计量。但是含义是一样的。,79,例9.3,Granger,因果检验,早期研究发现，在产出和货币的单方程中，货币对于产出具有显著,Granger,影响(,Granger，1969)，,这同,Friedman,等人(1963)“实际产出和货币供给当中的扰动成分正相关”的结论相符。但是，,Sims(1980),对于“货币冲击能够产生实际效果”的观点提出了质疑，他通过使用结构变量之间的因果关系检验，得到的主要结论是：如果在实际产出和货币的关系方程当中引入利率变量，那么,货币供给对实际产出的作用程度将出现显著降低,。因此，动态的利率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的能力，这样的结论同凯恩斯经济学中的,LM,曲线机制更为接近。,80,根据实际情况，利用例9.1的数据，基于,VAR(3),模型检验实际利率,RR、,实际货币供给,M1,和实际,GDP,之间是否有显著的,Granger,关系，其结果如表9.2所示。,原假设,2,统计量,自由度,P,值,rr,方程,实际,M1,不能,Granger,引起实际利率,4.16,2,0.1252,实际,GDP,不能,Granger,引起实际利率,4.20,2,0.1224,实际,M1,、实际,GDP,不能同时,Granger,引起实际利率,6.87,4,0.1428,ln(m1),方程,实际利率不能,Granger,引起实际,M1,8.21,2,0.0165,实际,GDP,不能,Granger,引起实际,M1,6.62,2,0.0366,实际利率、实际,GDP,不能同时,Granger,引起实际,M1,15.15,4,0.0044,ln(gdp),方程,实际利率不能,Granger,引起实际,GDP,1.17,2,0.5584,实际,M1,不能,Granger,引起实际,GDP,2.42,2,0.2982,实际利率、实际,M1,不能同时,Granger,引起实际,GDP,3.53,4,0.4734,81,从表的结果可以看到：在实际利率方程中，不能拒绝实际,M1,、实际,GDP,不是实际利率的,Granger,原因的原假设，而且两者的联合检验也不能拒绝原假设，表明实际利率外生于系统，这与我国实行固定利率制度是相吻合的。而在实际,M1,的方程中，无论单个变量的,Granger,因果检验，还是联合检验在,5%,的显著性水平下都不能接受原假设。在第三个方程,(,即实际,GDP,方程,),中，实际,M1,外生于实际,GDP,的概率为，这可能是因为我国内需不足，大部分商品处于供大于求，因此当对货币的需求扩张时，会由于价格调整而抵消，并不会形成对货币供给的数量调整，因此对产出的影响比较微弱。另外，在样本区间内，货币政策发生了方向性的改变，导致其影响作用出现了抵消和中和，因此实际,M1,对实际,GDP,没有显著的影响。,82,VAR,模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定。在选择滞后阶数,p,时，一方面想使滞后阶数足够大，以便能完整反映所构造模型的动态特征。但是另一方面，滞后阶数越大，需要估计的参数也就越多，模型的自由度就减少。所以通常进行选择时，需要综合考虑，既要有足够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。事实上，这是,VAR,模型的一个缺陷，在实际中常常会发现，将不得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性所应有的理想数目。,9.3.2,滞后阶数,p,的确定,83,1. 确定滞后阶数的,LR(,似然比)检验,(9.3.11),LR (Likelihood Ratio),检验方法，从最大的滞后阶数开始，,检验原假设：在滞后阶数为,j,时，系数矩阵,j,的元素均为0；备择假设为：系数矩阵,j,中至少有一个元素显著不为0。,2,(,Wald),统计量如下：,其中,m,是可选择的其中一个方程中的参数个数：,m = d + kj,，,d,是外生变量的个数，,k,是内生变量个数， 和,分别表示滞后阶数为(,j ,1),和,j,的,VAR,模型的残差协方差矩阵的估计。,84,从最大滞后阶数开始，比较,LR,统计量和5%水平下的临界值，如果,LR,时，拒绝原假设，表示统计量显著，此时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值；否则，接受原假设。每次减少一个滞后阶数，直到拒绝原假设。,2,AIC,信息准则和,SC,准则,实际研究中，大家比较常用的方法还有,AIC,信息准则和,SC,信息准则，其计算方法可由下式给出：,85,其中在,VAR,模型(9.1.1)中,n,=,k,(,d,+,pk,),是被估计的参数的总数，,k,是内生变量个数，,T,是样本长度，,d,是外生变量的个数，,p,是滞后阶数，,l,是由下式确定的,(9.3.12),(9.3.13),(9.3.14),86,在,EViews,软件中滞后阶数,p,的确定,一旦完成,VAR,模型的估计，在窗口中选择,View/Lag Structure,/,Lag Length Criteria,，,87,需要指定较大的滞后阶数，表中将显示出直至最大滞后数的各种信息标准（如果在,VAR,模型中没有外生变量，滞后从1开始，否则从0开始）。,表中用“*”表示从每一列标准中选的滞后数。在47列中，是在标准值最小的情况下所选的滞后数。,为了确定例9.1中模型的合适滞后长度,p,，,默认的滞后阶数为,4,，得到如下的结果：,88,89,在,EViews,软件关于,VAR,模型的其他检验,一旦完成,VAR,模型的估计，,EViews,会提供关于被估计的,VAR,模型的各种视图。将主要介绍,View/Lag Structure,和,View/Residual Tests,菜单下 提供的检验 。,90,1.,AR,根的图表,如果被估计的,VAR,模型所有根的模的倒数小于1，即位于单位圆内，则其是稳定的,。如果模型不稳定，某些结果将不是有效的（如脉冲响应函数的标准误差）。共有,kp,个根，其中,k,是内生变量的个数，,p,是最大滞后阶数。如果估计一个有,r,个协整关系的,VEC,模型，则应有,k,r,个根等于1。,对于例9.1，可以得到如下的结果：,91,。,92,下面给出单位根的图形表示的结果：,93,2,VAR,残差检验,(1),相关图,(,Correlogram),显示,VAR,模型在指定的滞后阶数的条件下得到的残差的交叉相关图（样本自相关）。,(2),混合的自相关检验,(,Portmanteau Autocorrelation Test),计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量,Box-Pierce/Ljung-Box Q,统计量。,(3)自相关,LM,检验(,Autocorrelation LM Test),计算与直到指定阶数所产生的残差序列相关的多变量,LM,检验统计量。,(4) 正态性检验(,Normality Test),(5),White,异方差检验 (,White Heteroskedasticity Test),94,9.3.,3 VAR,模型的过程,VAR,对象的过程,(Procs),中多数的过程和系统对象,(System),的过程一样在这里仅就对,VAR,模型特有的过程进行讨论。,建立系统,(Make System),这个菜单产生一个与,VAR,对象设定等价的系统对象。如果要估计一个非标准的,VAR,模型，可以通过这个过程尽快的在系统对象中设定一个,VAR,模型，并可以根据模型的需要进行修改。例如，,VAR,对象要求每一个方程有相同的滞后结构，但也可以放宽这个条件。为了估计一个非平衡滞后结构的,VAR,模型，用,Make System,可以产生一个具有平衡滞后结构的,VAR,系统，然后编辑系统以满足所需要的滞后要求。,95, 按变量次序,(By Variable),：该选项产生一个系统，其详细的说明和系数的显示是以变量的次序来显示。如果想排除系统某些方程中特定变量的滞后，可以选用这个选项。,96, 按滞后阶数,(By Lag),：产生一个以滞后阶数的次序来显示其详细的说明和系数的系统。如果想排除系统某些方程中特定的滞后阶数来进行编辑，可以用这个选项。,注意：标准,VAR,模型可以用单方程,OLS,方法来有效地估计，对于调整后的系统一般不能使用,OLS,。当用系统对象估计非标准的,VAR,模型时，可以使用更复杂的系统估计方法（如：,SUR,方法）。,97,在实际应用中，由于,VAR,模型是一种非理论性的模型，因此在分析,VAR,模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是分析当一个误差项发生变化，或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析方法称为脉冲响应函数方法(,impulse response function，IRF)。,9.4,脉冲响应函数,98,用时间序列模型来分析影响关系的一种思路，是考虑扰动项的影响是如何传播到各变量的。下面先根据两变量的,VAR(2),模型来说明脉冲响应函数的基本思想。,9.4.1,脉冲响应函数的基本思想,(9.4.1),其中，,a,i,，,b,i,，,c,i,，,d,i,是参数，,t,= (,1,t,2,t,),是扰动项，假定是具有下面这样性质的白噪声向量：,99,(9.4.2),假定上述系统从期开始活动，且设,x,-1,=x,-2,=,z,-1,=,z,-2,=,0，,又设于第期给定了扰动项,10,=1，,20,=0，并且其后均为，即,1,t,=,2,t,=0 (,t,1，2，)，,称此为第期给,x,以脉冲。,100,下面讨论,x,t,与,z,t,的响应，,t,= 0,时：,将其结果代入式(9.4.1) ，当,t,= 1,时,再把此结果代入式(9.4.1) ，当,t,=2,时,继续这样计算下去，设求得结果为,称为,由,x,的脉冲引起的,x,的响应函数,。同时所求得,101,称为由,x,的脉冲引起的,z,的响应函数,。,当然，第期的脉冲反过来，从,10,=0，,20,=1 出发，可以求出由,z,的脉冲引起的,x,的响应函数和,z,的响应函数。因为以上这样的脉冲响应函数明显地捕捉对冲击的效果，所以同用于计量经济模型的冲击乘数分析是类似的。,102,将上述讨论推广到多变量的,VAR(,p,),模型上去，由式(9.1.5),可得,9.4.2,VAR,模型的脉冲响应函数,(9.4.3),VMA(),表达式的系数可按下面的方式给出，由于,VAR(,p,),的系数矩阵,i,和,VMA(),的系数矩阵,A,i,必须满足下面关系：,103,(9.4.4),(9.4.5),其中：,K,1,=,K,2,= = 0,。,关于,K,q,的条件递归定义了,MA,系数：,(9.4.6),104,考虑,VMA(),的表达式,y,t,的第,i,个变量,y,it,可以写成：,其中,k,是变量个数。,(9.4.7),(9.4.8),105,仅考虑两个变量的情形： ，,q,=0 , 1 , 2 ,，,i, j,= 1 , 2,现在假定在基期给,y,1,一个单位的脉冲，即：,(9.4.9),106,2 1 0 1 2 3 4 5 ,t,则由,y,1,的脉冲引起的,y,2,的响应函数为,107,因此，一般地，由,y,j,的脉冲引起的,y,i,的响应函数可以求出如下：,且由,y,j,的脉冲引起的,y,i,的累积(,accumulate),响应函数可表示为,108,A,q,的第,i,行、第,j,列元素还可以表示为 ：,(9.4.10),作为,q,的函数，它描述了在时期,t,，,其他变量和早期变量不变的情况下,y,i,t+q,对,y,jt,的一个冲击的反应 ( 对应于经济学中的,乘数效应,)，我们把它称作脉冲响应函数。,也可以用矩阵的形式表示为,(9.4.11),即,A,q,的第,i,行第,j,列元素等于时期,t,第,j,个变量的扰动项增加一个单位，而其他时期的扰动为常数时，对时期,t+q,的第,i,个变量值的影响。,109,一般地，如果冲击不是一单位，假定,t,的第一个元素变化,1,，第二个元素变化,2,，,，第,k,个元素变化,k,，则时期,t,冲击为,(,1,2,k,),，而,t,到,t+q,的其他时期没有冲击，向量,y,t+q,的响应表示为,q,= 0,，,1,，, (9.4.12),其中,t-,1,表示,t,-1,期的信息集合。但是对于上述脉冲响应函数的结果的解释却存在一个问题：前面我们假设协方差矩阵,是非对角矩阵，这意味着扰动项向量,t,中的其他元素随着第,j,个元素,jt,的变化而变化，这与计算脉冲响应函数时假定,jt,变化，而,t,中其他元素不变化相矛盾。这就需要利用一个正交化的脉冲响应函数来解决这个问题。,110,常用的正交化方法是,Cholesky,分解，由式（）和式（）可知，在时期,t,，其他变量和早期变量不变的情况下,y,t+q,对,y,jt,的一个单位冲击的反应为,(9.4.13),其中,P,j,表示式,(9.2.8),中,Cholesky,分解得到的,P,矩阵的第,j,列元素。由前面的讨论可知矩阵,P,的选择与变量次序有关。,111,9.4.3,广义脉冲响应函数,VAR,模型的动态分析一般采用“正交”脉冲响应函数来实现，而正交化通常采用式（）形式的,Cholesky,分解完成，但是,Cholesky,分解的结果严格的依赖于模型中变量的次序。本节介绍的由,Koop,等（,1996,）年提出的广义脉冲响应函数克服了上述缺点。,考虑式,(9.4.3),形式的,VAR,模型，其中扰动项满足式,(9.4.2),的假定，且其方差协方差矩阵,是正定矩阵，扰动项之间可以存在同期相关关系，即,不一定是对角矩阵，则式（）不能成立。,112,在式（）中假定冲击不是发生在所有的变量上，只是发生在第,j,个变量上，则有,q,= 0,，,1,，, (9.4.14),其中,t-,1,表示,t,-1,期的信息集合。由于,不是对角矩阵，意味着,t,各元素之间存在同期相关关系，则给,jt,一个冲击，,t,中的其它元素同期也会发生变化，因此，,为了得到式（）的结果，需要首先计算由于,jt,的变化而引起的,t,中其他元素,同期发生的变化，此时，假定,t,服从多元正态分布，则,(9.4.15),其中，表示,t,协方差矩阵,的第,j,列元素，,113,变量,
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