第六章 混料(配方)设计

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第六章 混料,(,配方,),设计,6.1,混料设计的概念,6.2,单形格子设计,6.3,单形重心设计,6.4,有约束的混料设计,1,6.1,混料设计的概念,6.1.1,混料设计,（,Mixture Design,）,混料是指若干种不同成分的物质混合或合成一种稳定的物质或产品。在化工、医药、材料、食品、冶金、陶瓷等领域中，如不锈钢由铁、铬、镍、碳等元素组成；礼花的闪光剂由镁、钠、锶和固定剂组成；混凝土由水泥、石子、沙子和水组成；其它如中药、饲料等。,这些产品的每种成分的多少是用相对量表示的，这种相对量就是所用成分在总量中所占比例。然而在这种试验中各成分的比例不能自由变动，它们受到一个约束：,所有成分比例的和为,1,。,2,定义,：设在一个试验中有,p,个成分，用 表示，若试验中每一因子的取值满足如下条件：,那么称这一试验为混料试验。,使性能达到最好的每种成分的比例通常需要通过试验来确定。对这样的混料试验进行的设计称为,混料设计,，又称,配方设计,。混料试验设计中的成分又被称为因子，通常混料试验中的成分不少于三种。,一般混料中微量成分含量的确定，通常采用普通的因子设计，不用混料设计。因为它们的成分比例很小，它们的变化几乎不会引起大比例成分的显著变化。,3,6.1.2,单形、单形的顶点与坐标,混料设计中的一些基本概念。,（,1,）,单形与单形的顶点,方程 的图形是一个,p,维平面，而,( ),为,p,维平面上点的坐标。在该,p,维平面上满足 的区域构成的图形称为单形。单形是一种正多边形,(,正多面体,),，如：正三角形、正四面体等，其高度为,1,。,若单形上点的,p,个坐标中有一个为,1,，其它都为,0,，则称这种点为单形的顶点，即,p,维单形的顶点的坐标为：,4,p,=4,时的单形是三维空间中的一个的正四面体（见图,6.1.1b,）。,p,=3,时，其图形为三维空间中的一个平面上的等边三角形,，,其三个顶点的坐标分别为,（,1,0,0,），,(0,1,0),，,(0,0,1),，,从而该等边三角形就是三维空间上的一个单形（见图,6.1.1a,）。,6.1.1,5,这种坐标系就是,p,=3,时单形上的坐标系， 便是单形上点在这个坐标系下的坐标。,（,2,）,单形上点的坐标,我们可以在单形上建立坐标系。,在,p,=3,时，单形是平面上的一个正三角形，设其高为,1,，记其三个顶点分别为,X1,、,X2,、,X3,，它们的坐标分别是,(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),。又设,P,是该三角形的一个内点，定义,P,到边,X2X3,的距离为,x,1,，到边,X1X3,的距离为,x,2,，到边,X1X2,的距离为,x,3,，此时三个距离之和恰为该正三角形的高，即存在 。,6,在,p,因子的混料试验中，若设超正面体的高为,1,，其,p,个顶点记为：,A,1,=(1,0,0,0),A,2,=(0,1,0,0),A,p,=(0,0,0,1),其中若干个点就可以构成,p,维空间中的一个超平面。,记单形上任一内点,P,的坐标为 ，那么这里,x,1,是,P,点到,A,2,A,3,A,p,的距离，,x,2,是,P,点到,A,1,A,3,A,p,的距离，,，,x,p,是,P,点到,A,1,A,2,A,p-1,的距离。,7,6.1.3,混料试验的统计模型,设试验中考察的指标为,y,，,那么,y,与,p,个因子 的关系可以表示为：,这里，,是随机误差，通常假定它服从 。,称 为响应函数，其图形也称为响应曲面，当响应函数中的未知参数用估计值代替后便得到回归方程，也称响应曲面方程。,由于 形式往往是未知的，通常用 的一个,d,次多项式表示，此时一个混料试验由因子数,p,与响应多项式的次数,d,来确定，以后用,M,p,d,表示一个混料试验。,8,利用混料试验的特点，多项式中的参数可以得到简化，此时给出的多项式模型称为,Scheffe,正则多项式模型 。,对,p,因子一次混料试验,M,p,1,，,Scheffe,利用 把,p,元一次多项式模型化为,Scheffe,一次正则多项式模型：,同理，,p,因子二次混料试验,M,p,2,的,Scheffe,二次正则多项式模型为：,同理，,p,因子三次混料试验,M,p,3,的,Scheffe,三次正则多项式模型为：,一般的混料试验多用一次、二次多项式模型，对于混料二次多项式模型而言，其待估参数的个数要比一般,p,元二次多项式模型少,p,+1,个。,9,6.2,单形格子设计,（,Simplex Lattice Design,）,6.2.1,试验设计方法,单形格子设计是,Scheffe,提出的一种混料设计，它奠定了混料设计的基础。,M,p,d,的单形格子设计，为,d,阶格子设计，它将单形的边划分成,d,等份，在等分点做与其它边平行的直线，形成许多格子，故名,单形格子设计,。,如：,p,=3,，一阶、二阶和三阶单形格子设计的点分布图。,M,3,1,M,3,2,M,3,3,10,（,1,）,M,p,1,的设计,在,M,p,1,中仅含,p,个未知参数，这时的单形格子设计是由,p,个单形顶点组成的设计。其设计方案如下：,11,（,2,）,M,p,2,的设计,在,M,p,2,中含,p,(,p,+1)/2,个未知参数，这时的单形格子设计由两类点组成：一类点是,p,个单形顶点，另一类点是两个坐标为,1/2,，其它坐标为,0,的点，这类点共有,p,(,p,-1)/2,个，其设计方案如下：,12,（,3,）,一般来讲，单形格子设计,M,p,d,共有 个试验点，有如下几个特点：,1,）,每个,M,p,d,设计的试验次数恰好等于响应函数中未知参数个数，即此为饱和设计。其试验点对称地排列在单形上，构成单形的一个格子,。,2,）,试验点的分量与模型的次数,d,有关，每一成分,x,i,的取值为,1/,d,的倍数，即只能取,0,，,1/,d,，,2/,d,，,，,(,d,-,1)/,d,，,1,，,并且在设计中因子成分量的各种配合都要用到。,3,）,方程中的二次项,x,i,x,j,，,不能理解为,x,i,与,x,j,的交互作用，因为它们受到约束条件 的限制。,注意：,这里各,x,i,可以看成是类似于回归设计中一种编码值。,13,6.2.2,数据分析,用最小二乘的方法求出参数的估计，由于现在仍是饱和设计，宜采用逐步回归分析，剔除不显著的回归项，使残差平方和和自由度为不为,0,时，可以进行各项显著性检验。或者设置重复，估计误差方差，进行各项显著性检验。,例,6.2.1,M,3,2,单形格子设计的参数估计,14,试验中单一成分的试验点安排两次重复，有两种成分的试验点安排三次重复， 试验结果见下表。,试验点,成分比例 试验指标,x,1,x,2,x,3,Y,1,1,0,0,11.0,12.4,2,0,1,0,8.8,10.0,3,0,0,1,16.8,16.0,4,0.5,0.5,0,15.0,14.8,16.1,5,0.5,0,0.5,17.7,16.4,16.6,6,0,0.5,0.5,10.0,9.7,11.8,15,Model,Source,DF,Parameter,MS,F,Pr F,X1,1,11.7,273.78,375.6128,0.0001,X2,1,9.4,176.72,242.4512,0.0001,X3,1,16.4,537.92,738,0.0001,X1*X2,1,19.0,38.67857,53.06511,0.0001,X1*X3,1,11.4,13.92429,19.10344,0.0018,X2*X3,1,-9.6,9.874286,13.54704,0.0051,Model,6,2878.27,479.71,658.14,0.0001,Error,9,6.56,0.728889,Total,14,134.856,16,Y=11.7*X1+ 9.4*X2+ 16.4*X3+ 19*X1*X2+ 11.4*X1*X3- 9.6*X2*X3,Model for Y,Model,RMSE,0.85375,R-square,95.14%,Adjusted R-square,92.43%,Coefficient of Variation,6.305391,Y,的极值,SAS,软件没有给出,Y,的极值，需要采用软件,SAS,或,Lingo,求极值。极值分为极大值和极小值。,17,PROC,NLP,tech=trureg;,MAX,y;,y,= 11.7*x1+9.4*x2+16.4*x3+19.0*x1*x2+11.4*x1*x3-9.6*x2*x3;,PARMS,x1-x3 =,0.5,;,BOUNDS,0,= x1-x3 =,1,;,LINCON,x1+x2+x3=,1,;,RUN,;,SAS/OR,求解程序,Factor,Max,Min,X1,0.2939,0.00,X2,0.00,0.8646,X3,0.7061,0.1354,Y,17.3844,9.2240,运算结果：,18,Lingo,求解程序,Factor,Max,Min,X1,0.2939,0.00,X2,0.00,0.8646,X3,0.7061,0.1354,Y,17.3844,9.2240,Max = 11.7*x1+9.4*x2+16.4*x3+19.0*x1*x2+11.4*x1*x3-9.6*x2*x3;,x1+x2+x3=1;,x1=1;,x2=1;,x32,时某些混料设计中格子点的非零坐标并不相等，这种非对称性会使某些点对回归系数的估计产生较大的影响，为改进这一点，,Scheffe,提出了一种只考虑有相等非零坐标的单形重心设计。,单形重心设计的试验点为,1,到,P,个顶点的重心，顶点本身就是重心，两个顶点的重心是它们连线的中点，三个顶点的重心是它们组成正三角形的中心，,，,P,个顶点的重心就是该单形的中心。,Scheffe,考虑的回归模型为：,20,6.3.1,试验设计,P,个因子的单形重心设计的试验点由下列点组成：,以,为代表的 个排列点,以,为代表的 个排列点,以,为代表的 个排列点,以,为代表的 个排列点,这样的点共计有,2,p,-1,个。,21,这些试验点的坐标不依赖于,d,，,通常我们选用饱和设计。在,d,=1,或,2,时，单形重心设计与单形格子是设计一致的，但是,d,2,后就不相同了。,譬如,p,=3,时，,M,3,3,单形重心设计共做,2,p,-1,=7,次试验，试验点如下：,若要建立,M,3,2,单形重心设计，那么可以省略第七号试验，只进行六次试验，这时与单形格子设计就相同了。,22,6.3.2,数据分析,用最小二乘的方法求回归参数的估计，由于现在仍是饱和设计，宜采用逐步回归分析，剔除不显著的回归项，使残差平方和和自由度为不为,0,时，可以进行各项显著性检验。或者设置重复，估计误差方差，进行各项显著性检验。,例：,现有四种饮料增甜剂，拟将它们配合使用，以降低饮料的饮后余味，采用,M,4,4,单形重心设计，有,15,种配方，记录饮后余味，试进行分析。其混料回归模型为：,23,NO,X1,X2,X3,X4,Y,1,1,0,0,0,19,2,0,1,0,0,8,3,0,0,1,0,15,4,0,0,0,1,10,5,0,0,0.5,0.5,10,6,0,0.5,0,0.5,5,7,0,0.5,0.5,0,11,8,0.5,0,0,0.5,12,9,0.5,0,0.5,0,16,10,0.5,0.5,0,0,13,11,0,0.3333,0.3333,0.3333,8,12,0.3333,0,0.3333,0.3333,14,13,0.3333,0.3333,0,0.3333,10,14,0.3333,0.3333,0.3333,0,14,15,0.25,0.25,0.25,0.25,12,24,R-square,99.63%,Y = 18.3702*X1 + 7.9922*X2 + 14.2323*X3 + 8.6129*X4,- 14.0707*X2*X4,Model,Source,DF,SS,MS,F,Pr F,X1,1,629.5536,629.5536,742.0004,0.0001,X2,1,96.09849,96.09849,113.263,0.0001,X3,1,377.8789,377.8789,445.3732,0.0001,X4,1,111.6048,111.6048,131.5389,0.0001,X2*X4,1,11.03457,11.03457,13.00549,0.0048,Model,5,2256.515,451.3031,531.912,0.0001,Error,10,8.484545,0.848454,Total,15,2265,25,PROC,NLP,tech=trureg;,MIN,y;,y =,18.3702,*x1 +,7.9922,*x2 +,14.2323,*x3 +,8.6129,*x4 -,14.0707,*x2*x4;,PARMS,x1-x4 =,0.5,;,BOUNDS,0,= x1-x4 =,1,;,LINCON,x1+x2+x3+x4=,1,;,RUN,;,SAS/OR,求解程序,运算结果：,X1,X2,X3,X4,Y min,0.00,0.522,0.00,0.478,4.778,26,Min=,18.3702*X1 + 7.9922*X2 + 14.2323*X3 + 8.6129*X4,- 14.0707*X2*X4,;,x1+x2+x3+x4=1;,x1=1;,x2=1;,x3=1;,x4=1;,Lingo,求解程序,运算结果：,X1,X2,X3,X4,Y min,0.00,0.522,0.00,0.478,4.778,27,28,6.4,有约束的混料设计,在一些混料问题中，各个因子除了受到混料条件之外，通常还要受到其它约束条件的限制。通常，约束条件包含因子本身的上、下界限制和因子之间的相互约束。,从试验设计角度来讲，只受下界约束的混料设计的因子空间同普通的混料设计一样，仍为单形内的一个小单形；而受其它的约束的混料设计的因子空间却为单形内的一个不规则的凸多面体，所以，有约束的混料设计可以分为有下界约束的混料设计和其它约束的混料设计。,28,29,6.4.1,有下界约束的混料设计,有下界约束的混料设计,指有一个或多个因子的成分受到最低值限制的混料设计，即混料设计受到下界的约束。,p,因子有下界约束的混料问题的基本形式为：,用,z,表示实际成分，,x,表示编码成分。,29,30,有下界约束的混料设计的因子空间仍然为一个小单形，与无下界限制时的单形相似，并且是这个单形内的一个小单形。,如,3,种有下界约束的混料成分，其混料问题的因子空间如下，约束：,30,31,在,p,个成分的有下界约束的混料设计中，其编码值与实际值的转换公式：,实际值与编码值的转换公式：,31,例,6.2.1,一种火箭推进剂由三种成分,A,、,B,、,C,混合制成，这里,A,表示为固定剂，,B,为氧化剂，,C,表示燃料。各变量的最小成分值,：,a,1,=0.2,a,2,=0.4,a,3,=0.2,。,采用,M,3,2,单形格子设计，具体见表,6.2.4,。,在,A,、,B,、,C,下的是编码值,x,1,，,x,2,，,x,3,，,右边面的实际成分用,z,1,，,z,2,，,z,3,表示。,给出了编码值后，实际成分值可以用下式获得：,32,表,6.2.4,可以采用,SAS,进行有约束的混料设计，应该选二次混料模型和饱和选项（,Saturated,）。,33,34,6.4.2,有其它约束的混料设计,一个有约束的混料设计的各成分受到除下界约束之外的其它约束限制，称为,有其它约束的混料设计。,比如：受上界约束、各成分之间的互相约束。,有其它约束的混料设计的因子空间通常为单形内的一个不规则的凸多面体，这样的混料设计也比较复杂，比较常用的是,D,最优设计法,，通常采用计算机来辅助完成这类试验设计。,34,例,6.2.2,一个三种成分,x,1,、,x,2,、,x,3,的混料试验。各变量的约束为：,采用,SAS,软件进行,D,最优混料设计，拟合二次方程得到,16,个处理，具体见下表。,35,NO,X1,X2,X3,Y,1,0.1,0.375,0.525,.,2,0.1,0.375,0.525,.,3,0.1,0.5875,0.3125,.,4,0.1,0.8,0.1,.,5,0.2,0.8,0,.,6,0.2,0.8,0,.,7,0.36,0.395,0.245,.,8,0.4,0,0.6,.,9,0.4,0,0.6,.,10,0.6,0.4,0,.,11,0.6,0.4,0,.,12,0.7,0,0.3,.,13,0.7,0,0.3,.,14,1,0,0,.,15,1,0,0,.,16,1,0,0,.,36,Class is Over,Thank You,