我校教材20122

94,单击此处编辑母版标题样式,第2章 正弦交流电路,电工技术,第二章 单相交流电路,当电路中的激励,(,电源,),为正弦量时，电路中各部分的响应,(,电压或电流,),也为正弦量， 这样的电路就是正弦电路。,交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生器所输出信号电压都是,随时间按正弦规律变化的。,在结构上比直流电机简单，成本低、性能好，使用维护方便。,本章即讨论有关正弦电路的一些基本概念、基本理论和基本分析方法。,2.1 正弦交流电的基本概念,直流电路,的电压和电流的大小和方向都是不随时间变化的。,0,I, U,t,交流电路,的电压和电流都是按正弦规律周期性随时间变化的。,0,i, u,t,+,_,2.1.1 正弦量的参考方向,0,i, u,t,+,_,图中：“,+”,表示电流,(,或电压,),为正值，称为正半周，电流,(,或电压,),的实际方向与参考方向一致 ；“,”,表示电流,(,或电压,),为负值，成称为负半周，实际方向与参考方向相反。,R,负半周,R,正半周,u,i,参考方向,实际方向,u,i,-,+,-,+,2.1.2 正弦量的三要素,所以称频率、幅值和初相位为正弦量的三要素。,0,i,t,I,m,T,正弦电压和正弦电流等物理量，统称为正弦量。正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初值三个方面，它们分别由频率,(,或周期,),、幅值,(,或有效值,),和初相位来确定。,角频率,：每秒变化的弧度数,市电 ：,1,、频率与周期,正弦量变化一次所需的时间,(,秒,),称为周期,T,。每秒钟时间内变化的次数称为频率,f,。,频率是周期的倒数，即,我国电力的标准频率为,50Hz,，简称工频。,国际上多采用此标准，但美、日等国采用标准为,60Hz,。,有线通讯的工作频率为,3005000Hz,；,无线电工程的频率为,30k3010,4,MHz,。,电加热,的,工作,频率为,505010,6,Hz,。,2,、幅值与有效值,正弦量在任一瞬间的值称为,瞬时值,，用,小写字母,表示，如,e,、,i,、,u,分别表示电动势、电流和电压的瞬时值。,瞬时值中最大的值称为,幅值或最大值,，如,E,m,、,I,m,、,U,m,分别表示电动势、电流和电压的幅值。,正弦交流电流的数学表达式为：,i =,I,m,sin,t,说明或计量正弦交流电时一般不用幅值或瞬时值，而用,有效值,。如民用电的,220V,和工业用电的,380V,。,有效值,是从电流的热效应来规定的：在同一周期时间内，正弦交流电流,i,和直流电流,I,对同一电阻具有相同的热效应，就用,I,表示,i,的有效值。,幅值必须大写,下标加,m,2,、幅值与有效值,有效值,与,幅值,的数学关系为,方均根,在一个周期,T,内，,R,上正弦交流电流,i,所作的功为,在一个周期,T,内，,R,上直流电流,I,所作的功为,代入,i,= I,m,sin,t,，并解出,I,，得,同理，对于正弦交流电压,其有效值,(,方均根,),正弦电动势,e,的有效值,(,方均根,),为,有效值,必须大写,3,、相位及初相位,正弦量是随时间变化的，选取不同的计时零点，正弦量的初始值就不同。为加以区分引入相位及初相位的物理量。,正弦电流的一般表达式为,其中,(,t+,),为正弦电流的相位，,称为初相位（,t=0,时刻的相位）。,0,i,t,+,_,2,.1.3,同频率正弦量的相位差,两个同频率正弦量的,相位比较：,对于,定义相位差或初相差为,=,(,u,i,),计时起点不同，正弦量的初相位不同，但,同频率,正弦量之间的相位差不会改变，总是等于初相位之差,同相位,称,u,超前,于,i,或,i,滞后,于,u,反相位,2,.1.3,同频率正弦量的相位差,电压波形如图所示，,（,1,）试求,T,f,和,；,（,2,）用,sin,函数写出电压的表示式,(2),由坐标原点（时间起点）到第一个正最大值所需时间为,2.5 ms,所对应的角度为,T,例,解,2,.2,正弦量的相量表示法,三角函数表示法：,0,u,t,+,_,正弦波形图示法,:,(,见右图,),相量表示法,。,正弦量具有幅值、频率及初相位三个基本特征量，表示一个正弦量就要将这三要素表示出来。,表示一个正弦量可以多种方式，这也正是分析和计算交流电路的工具。,在,复数平面,建立直角坐标系，,OX,为实轴、,OY,为虚轴。,设在复平面上一复数,A(a,b),在直角坐标系上可表示为,:,jy,x,0,A,A= a+ jb,a,b,变换关系为：,或：,2,.2.1,复数及其运算,1.,复数的表示,用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。,r,直角坐标式,:,1.,复数的表示,A=r (cos,+ j sin,),考虑欧拉公式：,可改写为指数式：,由此可得到,复数的三种表示法,，即,直角坐 标式,、,指数式,及,极坐标式,，三者可以互换。,其中,直角坐标式,便于进行,加减,运算,；,指数式,及,极坐标式,便于进行,乘除,运算。,代入后，可得,A=r,在极坐标系则表示为,:,jy,x,0,A,a,b,r,2.,复数的运算,A=a,1,+ jb,1,2,）乘除运算,1,）加减运算,复数的加减运算必须用代数式，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减,复数的乘除运算必须模相乘除，辐角相加减,B=a,2,+ jb,2,A+B=(a,1,+a,2,)+ j(b,1,+b,2,),2.,复数的运算,A,复数的加减运算也可以在复平面上进行，使用平行四边形法则。,A,2,o,+1,+j,A,1,A,A,2,A,1,-A,2,o,+1,+j,A=A,1,+A,2,A=A,1,-A,2,=A,1,+(-A,2,),2.,复数的运算,+1,o,+j,由此，可认为,虚单位,j,是旋转,90,因子,。乘以,j,是向逆时针旋转,90,；,除以,j,是向顺时针旋转,90,。,若,=90,则,e,j90,=cos90,jsin90,=,j,A,C,B,若,A=re,j,乘以,e,j,，则得,若,A=re,j,除以,e,j,，则得,2,.2.2,正弦量的相量表示法,比较正弦电压,u = U,m,sin (,t+,),现令有向线段,OA,绕原点,O,以角速度,作逆时针旋转，得,A,点在纵轴上的投影坐标,y = |OA| sin (,t+,),jy,x,0,A,u,t,0,y,2,.2.2,正弦量的相量表示法,jy,x,0,A,动点,A(,复数,),坐标的为,A(t)=,r,cos (,t,+,),+ j,r,sin(,t,+,),=,r,e,j(,t,+,),=,r,(,t,+,),u = U,m,sin,(,t+,),比较正弦量,这一旋转有向线段具有正弦量的三个特征，故可用来表示正弦量。,通过上面讨论可知：若,|OA|=,r,正弦量可用旋转有向线段来表示，而有向线段可用复数表示，,如果频率一定,，正弦量也可用复数来表示。,正弦量的相量表示,:,相量的模表示正弦量的有效值,相量的幅角表示正弦量的初相位,y,i,y,u,2,.2.2,正弦量的相量表示法,分析交流电路时,频率是已知或特定的，可不考虑，只求幅值（有效值）和初相位即可。,为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并在大写字母上打“,”,。,有效值相量,同频率相量图,例1,则,相量图,120,120,的相量，并画出相量图。,u,B,=220,sin(314t120 ) V,u,C,=220,sin(314t+120 ) V,试写出表示,u,A,=220,sin314t V,解,例2,试求总电流,i,。,i,i,1,i,2,本题可用几种方法求解计算,1.,用三角函数式求解,对如图电路，设,解,例2,i,i,1,i,2,则,因此，总电流,i,的幅值为,总电流,i,的初相位为,两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量，设此正弦量为,代入数据,I,m1,=100A, I,m2,=60A,1,=45,2,= 30,则,故得,例2,100sin (,t+45,),60sin (,t30,),129sin (,t+18.3,),0,i,t,2.,用正弦波求解,例2,例2,30,45,18.3,3.,用向量图求解,例2,4.,用复数式求解,将,i=i,1,+i,2,化为基尔霍夫电流定律的相量表示式，求,i,的相量。,分析正弦交流电路的主要运算方法,例,3,试写出代表下列三个正弦电流的相量并绘相量图,解,相量形式：,u,R,(,t,),i,(,t,),R,+,-,有效值关系：,U,R,=,RI,相位关系：,u,i,同相,相量模型,R,+,-,相量关系,2,.3,单一参数的正弦交流电路,2,.3.1,电阻元件的交流电路,幅值关系：,U,Rm,=,RI,m,电阻的瞬时功率为,瞬时功率是在一个直流分量,UI,的基础上，另加一个幅值为,UI,的正弦量。但总有,p,R,0,(1),瞬时功率：,在任意瞬时，电压瞬时值,u,与电流瞬时值,i,的乘积，称为瞬时功率，用字母,p,表示。,电阻在交流电路中的功率特性,2,.3.1,电阻元件的交流电路,2,.3.1,电阻元件的交流电路,p,p,UI,U,m,I,m,u,i,u,i,T,交流电路中电阻元件的平均功率为,例,一,100,电阻接入,50Hz,、有效值为,10V,的电源上，问电流是多少？若频率改为,5000Hz,呢？,因电阻与频率无关，所以,(2),平均功率：,在一个周期内，电路消耗电能的平均速率，即瞬时功率的平均值，称为平均功率。,2,.3.1,电阻元件的交流电路,j,L,相量模型,+,-,有效值关系,U,=,w,L I,相位关系,u,超前,i,90,相量图,i,(,t,),u,(,t,),L,+,-,t,u,i,u,i,0,波形图,2,.3.2,电感元件的交流电路,感抗的物理意义：,(1),表示限制电流的能力；,(2),感抗和频率成正比。,w,X,L,X,L,=,U,/,I =,L,= 2,f L,单位,:,欧,感 抗,因为,U,=,w,L I,(3),由于感抗的存在使电流滞后电压。,错误的写法,2,.3.2,电感元件的交流电路,2,.3.2,电感元件的交流电路,p,是以幅值为,UI,、角频率为,2,t,变化的交变量。,当,u,与,i,的瞬时值为同号时，,p, 0,，电感元件,取用功率,(,为负载,),，,磁能增加,；,当,u,与,i,的瞬时值为不同号时，,p, 0,，电感元件,发出功率,(,相当于电源,),，电感元件的,磁能减少,。,电感电路的瞬时功率计算,可见，电感元件在电路中没有能量损耗，只与电源间进行能量交换。这种能量交换的规模，用无功功率,Q,来衡量。,即电感元件的平均功率为零,无功功率的单位是乏,(Var),或千乏,(kVar),。,规定无功功率为瞬时功率,p,L,的幅值,UI,，即,以区别,平均功率亦称为有功功率（单位：,w,）,2,.3.2,电感元件的交流电路,电感元件平均功率为：,例,(1),已知,A,，求电压,u,；,(2),已知,，求电流 ，,并画相量图。,由题知感抗为,X,L,=,L=2 500.1=31.4,则由相量形式的欧姆定律知：,(2),电流为,一,电感交流电路，,L,=100mH,，,f,=50Hz,，,解,并画相量图。,例,(1),(2),(1),中电感元件的瞬时功率为,电感元件的无功功率为,电流为,相量图分别为：,有效值关系,I,=,w,C U,相位关系,i,超前,u,90,相量图,t,u,i,u,i,0,波形图,i,(,t,),u,(,t,),C,+,-,相量模型,+,-,2,.3.3,电容元件的交流电路,容抗的物理意义：,(1),表示限制电流的能力；,(2),容抗的绝对值和频率成反比。,容抗,I,=,w,CU,(3),由于容抗的存在使电流领先电压。,错误的写法,w,2,.3.3,电容元件的交流电路,单位,:,欧,和,得瞬时功率为,电容元件的无功功率,规定：电感无功功率要取正值，,电容无功功率要取负值。,2,.3.3,电容元件的交流电路,为与电感元件的功率进行比较，定义电容元件的电流及电压瞬时值分别为：,即电,容,元件的有功功率为零,电,容,元件有功功率为：,当,，,求电流,i,；,例,当,时，,求电压,，,并画相量图。,电容的容抗,i,u,C,电流为,其相量式为,即电流的有效值为,276mA,，相位比电压超前,90,如图电容交流电路，,C,=4,F,f,=50Hz,解,相量图如下,:,电容的功率计算,(,题中第一问题,),瞬时功率为：,平均功率为：,无功功率为：,由相量形式的欧姆定律得,例,Var,I,U,Q,7,.,60,-,=,-,=,2,.4,串联,正弦交流电路,正弦交流电路的电路模型中，除电阻仍用,R,表示外，电压、电流及电动势这些正弦量均采用相量表示，电感要用复感抗来描述，电容要用复容抗来描述，电阻、电感、电容的组合电路也用其对应的复数形式来表示，这种电路称为,相量电路或相量模型。,2,.4.1,串联,正弦交流电路的复阻抗,正弦交流电路的相量模型,把任一交流负载的端电压相量与电流相量之比值（电压、电流的参考方向一致）定义为该负载的,复阻抗，简称阻抗,，并用,Z,来表示。,若,Z,分别是单一的电阻、电感、电容元件，则对应的复阻抗为,Z,2,.4.1,串联,正弦交流电路的复阻抗,设电流参考量,考虑,RLC,元件上的电压相位，,u,R,与,i,同相：,i,+,u,-,+,u,L,-,L,+,u,R,-,+,u,C,-,R,C,电阻、电感与电容串联交流电路，各元件通过同一电流。若设定电流及电压的正方向以后，总电压瞬时值可由基尔霍夫定律得到下式：,RLC,串联交流电路电流与电压的关系,(,ui,关系,),电容上的电压,u,c,比电流,i,滞后,90,上面各量的最大值及有效值符合欧姆定律：,电感上的电压,u,L,比电流,i,越前,90,2,.4.1,串联,正弦交流电路的复阻抗,2,.4.1,串联,正弦交流电路的复阻抗,实部为电阻，虚部称为电抗。,复数阻抗的模反映电路的电压与电流的大小关系；辐角,反映电路的电压与电流的相位关系,复数阻抗是一种复数计算量，不是相量。,其中,用相量表示,利用相量图来求解幅值,U,m,(,或有效值,U),及相位差,，最为方便。根据相量图，可将电阻、电感及电容的电压分别用相量表示，即可得到由 、 和,组成的直角三角形，称为,电压三角形,。,2,.4.1,串联,正弦交流电路的复阻抗,由几何关系知,也可写成,2,.4.1,串联,正弦交流电路的复阻抗,可知,| Z |,、,R,、,(X,L,X,C,),三者之间的关系可以用一个直角三角形来表示,称为,阻抗三角形。,|,Z |,R,X,L,X,C,电压三角形与阻抗三角形是相似形，,就是总电压与电流之间的相位差。,这样相位差,就可通过两种方法计算：,由上式,2,.4.1,串联,正弦交流电路的复阻抗,当,X,L,X,C,时，有,0,，,u,比,i,超前,角，电路呈电感性；,当,X,L,X,C,时，有,R,，则上式为,上式分母中虚部为零时产生谐振，可得谐振频率为,即,与串联谐振频率近似相等。,电容器与线圈的并联电路，其等效阻抗为,1.,并联谐振的条件与谐振频率,谐振时电路的阻抗为,达到最大值，比非谐振时要大。,在电源电压一定的情况下，电路中的谐振电流有最小值。即,1),电路总电压与电流同相,(,= 0,),，呈电阻性。,2),并联谐振时，,Z,最大，电流有效值最小,2.5.2,并联,交流电路的,谐振,2.,RLC,并联谐振的特征,由阻抗公式,因此，,并联谐振也称电流谐振。,I,C,或,I,1,与总电流,I,0,的比值为并联谐振电路的品质因数,而,2.5.2,并联,交流电路的,谐振,3),各并联支路电流为,4),电路谐振时阻抗最大，得到的谐振电压也最大；而在非谐振时，则电路端电压较小。这种特性也具有选频作用，且,Q,越大选频作用越强。,2.5.2,并联,交流电路的,谐振,例,L,1,L,C,1,）根据,2,）此时,得,某收音机接受电路，线圈的电感,L=0.3 mH,，,电阻,R=16,。现欲接收,640kHz,的电台广播，应将电容调到多大？若使调谐电路产生,2V,的电压，求感应电流的大小。,解,串联谐振电路，,U=10V,，,R=10,，,L=20mH,，,C=200pF,时，,I=1A,，,求,，,U,L,，,U,C,，,Q,。,例,解,P61,例,2.5.3,2.6,正弦交流电路的功率,2.6.1,正弦交流电路的功率,无源二端网络由,R,、,L,、,C,组成,无源二端网络,+,u,-,i,2.6.1,正弦交流电路的功率,1.,瞬时功率,i,u,p,u,i,p,2.6.1,正弦交流电路的功率,2.,有功功率（平均功率）,总电压,总电流,u,与,i,的夹角,称,功率因数,对,RLC,串联电路,功率因数角,有功功率单位：瓦（,W,）,电路与电源之间进行能量交换的规模用无功功率,Q,表示。单位：乏,(Var),Q=Q,L,+Q,C,=U,L,I,U,C,I=UIsin,4.,视在功率,S=UI=I,2,|Z|,电路中电压、电流有效值的乘积称为视在功率，用,S,表示。单位：伏安（,VA,）,由于平均功率,P,、无功功率,Q,及视在功率,S,三者所代表的意义不同，它们的单位也有区别。,3.,无功功率,2.6.1,正弦交流电路的功率,P,Q,S,U,L+,U,C,U,U,R,2.6.1,正弦交流电路的功率,显然,P,、,Q,、,S,可构成一个直角三角形,功率三角形,三个三角形都是相似形，它们具有一个相同,。功率,P,、,Q,、,S,和阻抗,| Z |,、,R,、,X,都不是正弦量，所对应的三角形不能用相量表示。,电压 是正弦量，所以电压三角形的三边是相量。,| Z |,X,L,X,C,R,平均功率,P,、无功功率,Q,及视在功率,S,三者之间的数值关系为,功率三角形,例,1,求,: (1),电路的感抗、容抗和阻抗；,(2),电流有效值及瞬时值的表达式；,(3),各部分电压有效值及瞬时值的表达式；,(4),作相量图；,(5),电路的功率,P,和,Q,。,(1),感抗,容抗,阻抗模,RLC,串联电路，已知,R=30, L=127mH, C=40F,电源电压,u=220,2,(sin314t+20)V,阻抗,解,例,1,阻抗模,(2),电流有效值,相位差角,阻抗,电流瞬时值,(3),电阻端电压,电感端电压,电容端电压,显然：,只有：,例1,总电压,20,(5),电路的功率,无功功率,视在功率,(4),相量图如右所示：,例,1,例,1,电压相量,复数阻抗,电流相量,R,、,L,、,C,的电压相量,试用相量,(,复数,),法计算上题中电流及各电压相量。,解,例,2,电路中,X,L,=X,C,=R,，并已知电流表,A1,的读数为,3A,，试问,A2,和,A3,的读数？,u,L,R,C,A1,A2,A3,解,例3,R,1,=3, R,2,=8 X,L,=4 X,C,=6,求：（,1,）,i,、,i,1,、,i,2,（,2,）,P,R,1,R,2,jX,L,-,jX,C,已知：,解,I,也可以这样求：,例3,R,1,R,2,jX,L,-,jX,C,例3,R,1,R,2,jX,L,-,jX,C,P=UIcos,=22049.2cos26.5,o,=9680,W,P=I,1,2,R,1,+ I,2,2,R,2,=44,2,3+ 22,2,8=9680,W,P=UI,1,cos53,o,+UI,2,cos(-37,o,)=9680,W,（,2,）,功率,P,的计算,例3,R,1,R,2,jX,L,-,jX,C,2.6.2 功率因数的提高,在直流电路中，功率仅与电流和电压的乘积有关；即：,P=UI,上式中的,cos,是电路中的,功率因数,。其大小决定于,电路（负载）的参数,。对纯阻负载功率因数为,1,。对其他负载来说，其功率因数均介于,0,和,1,之间。,1.,提高功率因数的意义,在交流电路中，功率不仅与电流和电压的乘积有关，而且还与电压与电流之间的相位差,有关；即：,P=UIcos,当电压与电流之间的相位差不为,0,时，即功率因数不等于,1,时，电路与电源之间就会发生能量互换，出现无功功率,Q=UIsin,。这样就引起了下面几个问题：,1),发电设备的容量不能充分利用,P=U,N,I,N,cos,2.6.2 功率因数的提高,co,s,小，,sin,大,；则,P,小，,Q,大。电路中能量互换的规模越大，则发电机发出的能量就不能充分利用，其中有一部份在发电机与负载之间进行互换。,2),增加线路和发电机绕组的功率损耗,当发电机的电压和输出的功率一定时，电流与功率因数成反比，而线路和发电机绕组上的功率损耗,P,则与功率因数的平方成反比。,式中的是发电机绕组和线路的电阻。,2.6.2 功率因数的提高,由上述可知，提高电网的功率因数对国民经济的发展有着极为重要的意义。功率因数的提高，能使发电设备的容量得到充分利用，同时也能使电能得到大量节约。也就是说，在同样的发电设备的条件下能够多发电。,2.6.2 功率因数的提高,功率因数不高的根本原因是由于感性负载的存在，电源与负载之间存在能量互换。而,感性负载的功率因数之所以不高，是由于负载本身需要一定的无功功率。,按照供用电规则，高压用电企业的平均功率因数为,0.95,以上。,低压用电企业的平均功率因数则不低于,0.8,。,2.,功率因数提高的方法,提高功率因数就是设法减小无功功率,Q,。,具体的方法是,在感性负载两端并联适当大小的电容器,2.6.2 功率因数的提高,并联电容后线路有功功率未变。,如果负载的原有功率因数为,cos,1,，提高后的,功率因数为,cos,，问应并联多大的,C,？,下面就讨论这个问题。,并联电容后的总电流要减小。,2.6.2 功率因数的提高,+,u,-,i,R,L,i,1,C,i,C,1,2.6.2 功率因数的提高,+,u,-,i,R,L,i,1,C,i,C,有一电感性负载功率,P=10KW,，功率因数,cos,1,=0.6,，接在,U=220V,的电源上，电源频率为,50HZ,。如要将功率因数提高到,cos,=0.95,，应并联多大的电容？电容并联前后的线路电流是多大？,cos,1,=0.6,，,即,1,=53,o,cos,=0.95,，,即,=18,o,例,解,