内容欧氏空间等距变换的定义解析表达式重点等距变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,内容：欧氏空间等距变换的定义、解析表达式,重点：等距变换的解析表达式,1.4,等距变换,1,1.4,等距变换-,定义,设,a,= (,x,1,y,1,z,1,),，,b,= (,x,2,y,2,z,2,),是,R,3,中的任意两点，它们之间的距离为,如果,T,:,R,3,R,3,是一一对应，且,对任意,a,、,b,R,3,有,d(,a,b,) =,d(,T,(,a,),T,(,b,) ),，,则称,T,是,R,3,的,等距变换,，也叫,合同变换,、,保长变换,或,欧氏变换,2,1.4,等距变换-,正交矩阵,如果一个,3,阶矩阵,T,满足,TT,t,=,E,，则,T,是一个,3,阶正交矩阵，其中,T,t,表示,T,的转置矩阵，,E,表示,3,阶单位矩阵所有,3,阶正交矩阵关于矩阵的乘法构成群，叫,三阶,正交矩阵群，记为,O,(3),由线性代数知，对任意,3,阶矩阵,A,以及任意的向量,a,、,b,R,3,，有,(,aA,) ,b,=,a, (,bA,t,),，这里，,aA,表示,13,矩阵,a,与,33,矩阵,A,的积,，,bA,t,等也作同样的解释,3,1.4,等距变换-,解析表达式,定理,.,变换,T,:,R,3,R,3,是等距变换的充要条件是存在,T,O,(3),以及,p,R,3,，使,T,(,r,) =,rT,+,p,对任意的,r,= (,x,y,z,),R,3,成立,看证明,4,1.4,等距变换-,等距变换群,欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合构成一个群，叫,等距变换群,上面的定理说明等距变换一定是形如,rT,+,p,的变换，并且,T,O,(3),，,因此,T,的行列式等于,1,当,T,的行列式等于,+1,时，对应的等距变换叫,刚体运动,，简称,运动,；当,T,的行列式等于,1,时，对应的等距变换叫,反向刚体运动,刚体运动的全体也构成等距变换群的子群，叫,运动群,5,1.4,等距变换-,切向量,设,P,R,3,，,C,是过,P,点的曲线，我们把,C,在,P,点的切向量叫,R,3,在,P,点的,切向量,过,P,点可以作很多曲线，因此就有很多切向量,R,3,在,P,点的切向量的全体组成的集合记为,T,P,R,3,，叫做,R,3,在,P,点的,切空间,注意到,R,3,在,P,点的任一切向量是某条过,P,点的曲线在该点的切向量，所以,对任意,v,T,P,R,3,有如下形式,v,=,r,(,t,0,) = (,x,(,t,0,),y,(,t,0,),z,(,t,0,) ),切向量也可以看成是,R,3,的点，这样，,R,3,与,T,P,R,3,就自然等同起来了,6,1.4,等距变换-,幺正标架,R,3,的一个,标架,P,;,e,1,e,2,e,3,是由,R,3,的一个点,P,（叫标架的原点）和,P,点的,3,个线性无关的有序切向量,e,1,e,2,e,3,所构成如果这三个切向量是两两正交的单位向量，则称相应的标架为,正交标架,或,幺正标架,显然，,O,;,i,j,k,是,R,3,的一个幺正标架,O,e,1,e,3,e,2,P,7,1.4,等距变换-,正标架,设,P,;,e,1,e,2,e,3,是另一个标架，其中,e,i,=,a,i,i,+,b,i,j,+,c,i,k,i,=1,2,3,令,如果,det,A, 0,，,则称,P,;,e,1,e,2,e,3,是,正标架,或,右手标架,或,右手系,P,;,e,1,e,2,e,3,是正标架的充分必要条件是混合积,(,e,1,e,2,e,3,) 0,8,