g4 主观概率和先验分布

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4,主观概率和先验分布,( Modeling uncertainty with probability,),詹文杰（教授/博导）,Office: 华中科技大学管理学院611室,Tel: 027-87556472,Email: wjzhanmail.hust.edu,风险性决策,风险性决策（随机性决策）,：指有多种未来状态和相应后果，但只能得到各种状态发生的概率而难以获得充分可靠信息的决策问题。,特点,：,状态的随机性；决策结果的效用特性。,决策的已知变量,：,状态空间的概率分布,=, ,后果的效用函数,(,或损失函数,),：,u,(c,ij,),，,c,ij,表示采取方案,a,i,时出现状态,j,的后果,解决问题的主要理论方法,：概率论与数理统计,4,主观概率和先验分布,( Modeling uncertainty with probability,),4.1 主观概率的基本概念,4.2 主观概率的估计方法,4.3 主观概率的系统偏差,4.4 主观概率的修正,4.5 拍卖成交概率的研究论文,4.1,主观概率的基本概念,一、客观概率的三种定义,二、客观规律,vs.,主观概率,三、主观概率的定义,四、主观概率的数学定义,一、客观概率的三种定义,古典概率的定义,：在相同条件下进行了,n,次试验（随机试验），其中事件,A,发生的次数,n,A,称为事件,A,发生的频数，比值,n,A,/,n,称为事件,A,发生的频率，记为,f,n,(A),，则古典概率的定义为：,p,(A)=,lim,n,f,n,(A),Laplace,的定义,：,p,(A)=,k,/,n,；其中,k,为事件,A,所包含的基本事件数，,n,为基本事件,e,i,的总数。（基本事件数有限，每个基本事件等概率）,公理化定义,：,E,是随机事件，,S,是,E,的样本空间，对,E,的每一事件,A,，对应有确定的实数,p,(A),，若,p,(A),满足：非负性：,p,(A)0,；规范性：,p,(S)=1,；可列可加性：对两两不相容事件,A,k,，有,p,(,k,A,k,)=,k,p,(A,k,),。,(A,i,A,j,=,i,j,),二、客观规律,vs.,主观概率,客观,(Objective),概率,：上述三种定义的概率是在,多次重复试验（随机试验）,中，随机事件,A,发生的可能性的大小的度量，称为客观概率。,主观,(Subjective),概率,：在实际管理决策中，许多事件的发生概率是无法通过随机试验获得的，或条件不允许，或事件本身不允许。因此需要一种方法,来人为设定事件发生的概率，称为主观概率,。,(1),有的自然状态无法重复试验,。如：明天是否下雨、新产品销路如何、明年国民经济增长率如何、能否考上研究生。,(2),试验费用过于昂贵、代价过大,。如：洲导弹命中率、战争中对敌方下一步行动的估计。,三、主观概率的定义,(subjective probability, likelihood),Savage(1954),的观点：主观概率是一种见解，是合理的信念的测度，,它是某人对特定事件会发生的可能性的信念,(,或意见、看法,),的度量，即某人相信或认为事件将会发生的可能性的大小,。,(1),明天下雨的概率为,60%,；,(2),某新产品在未来市场上畅销的概率为,80%,；,(3),我班研究生考取大概为,40%,。,主观概率：以个人,信念,为基础，根据,确凿有效的证据,对个别事件设计的概率。,这里所说的证据，可以是事件过去的相对频率的形式，也可以是根据丰富的经验进行的推测。比如有人说,:“,阴云密布，可能要下一场大雨,!”,这就是关于下雨的可能性的主观概率。,主观概率具有最大的灵活性，决策者可以根据任何有效的证据并结合自己对情况的感觉对概率进行调整。,三、主观概率的定义,(subjective probability, likelihood),主观概率的特点：,主观概率是一种心理评价，判断中具有明显的主观性。,对同一事件，不同人对其发生的概率判断是不同的。,主观概率的测定因人而异，受人的心理影响较大，谁的判断更接近实际，主要取决于市场趋势分析者的经验，知识水平和对市场趋势分析对象的把握程度。,问题：不同的决策人对同一事件会发生的可能性的度量会不同（如：能否考上研究生），决策分析时是否存在多种主观概率？,主观概率,vs.,主观臆测,主观概率,:,是根据经验、各方面的知识以及对客观情况的了解，利用相关信息进行分析、推理、综合判断而设定,(assignment),的。,主观概率的证据,(,先验信息,),主要来源：,1.,用,对立事件的比较,来确定主观概率；,2.,用,专家意见,来确定主观概率；,3.,用,历史数据,来确定主观概率。,主观臆测,:,完全凭自己的想象作决定，通俗的说就是你想啥就是啥，不以客观事实为依据的判断。,例子：日本大地震引发的武汉抢盐风波,中国日报,周五（,2011.3.25,）报导称，中国近期传言碘盐能防辐射，武汉一名姓郭的男子抢盐,6.5,吨，而如今这价值,2,万多元的食盐成了“烫手山芋”。,曾有传言称，中国国内将出现半年以上的盐荒，导致盐价一度上涨，郭某抢购食盐,260,包，用了三辆卡车运回家。,几天后，中国政府敦促消费者停止恐慌性抢盐，称国内不会遭到日本核辐射威胁，盐价随後大跌。,中国日报,称，郭某现在十分发愁，屋里一半多的空间放着食盐，购买加运费共花了他,2.7,万元。,问题：郭某认为盐会涨价的依据是什么？他的判断属于主观概率还是主观臆测？,三、主观概率的定义,(subjective probability, likelihood),由于历史原因，客观概率论者习惯使用概率,(probability),一词，采用记号多,p,(,),表示自然状态,的概率；,而主观概率论者习惯用似然率,(likelihood),，采用记号,(,),表示自然状态的,的似然率。在本书中对概率和似然率的用法不加严格区分，但尽可能用记号,(,),表示似然率。,三、主观概率的定义,(subjective probability, likelihood),在实际中，,主观概率,与,客观概率,的区别是相对的，因为任何主观概率总带有客观性。,例如：市场趋势分析者的经验和其他活信息是市场客观情况的具体反映。因此，,不能把主观概率看成为纯主观的东西,。,另一方面，任何客观概率在测定过程中也难免带有主观因素，因为实际工作中所取得的数据资料很难达到（大数）规律的要求。所以，,在现实中，既无纯客观概率，又无纯主观概率,。,四、主观概率的数学定义,注意：主观概率和客观概率有相同的定义。,小结,:,主观概率,1.,主观概率不是随意决定的，而是要求当事人对所考察的事件有较透彻的了解和丰富的经验，甚至是这方面的专家。并能对周围信息和历史信息进行仔细分析，在这个基础上确定的主观概率就能符合实际。所以应把主观概率与主观臆测、瞎说一通区别开来。,2.,主观概率要受到实践检验，要符合概率的三条公理，通过实践检验和公理验证，人们会接受其精华，去其糟粕。,3.,主观概率是频率方法和经典方法的一种补充，有了主观概率至少使人们在频率观点不适用时也能谈论概率，使用概率和统计方法。,4.,主观概率并不反对用频率方法确定概率，但也要看到它的局限性。,4.2,主观概率的估计方法,面临一个不确定性的事情时，人们通过回忆类似的事情，计算在以前的事情中，发生各个结果的数量，来预测当前不确定性问题的各种结果的概率。,在决策分析中，尚未通过试验收集状态信息时所具有的信息叫先验信息，由先验信息所确定的概率分布叫先验分布,(prior distribution),。,先验分布与先验假设,先验分布,(Prior Distribution),：根据,先验信息,所确定的概率分布叫先验分布，获得先验分布是贝叶斯分析的基础。,决策中先验分布的获得具有高度的主观性。,先验假设,：为使先验分布估计规范化，需要做一定的假设。,连通性假设,：指事件,A,和事件,B,发生的可能性是可比的，即,p,(A),p,(B),p,(A),p,(B),p,(A),p,(B),p,(B),p,(C),则,p,(A),p,(C),。（满足连通性和传递性的二元关系才能构成完全序）,部分与全体关系假设,：若事件,A,是事件,B,的一部分，则,p,(B),p,(A),。,4.2,主观概率的估计方法,一、概率转盘法,二、直方图法,三、累积概率法,四、参数确定法,五、专家咨询法,一、概率转盘法,(The probability wheel),A probability wheel is a device like that shown in the Figure , and it consists of a disk with two different colored sectors, whose size can be adjusted, and a fixed pointer.,一、概率转盘法,(The probability wheel),Example:,Let us suppose that a manager needs to assess the probability that a rival will launch a competing product within the next week.,We could adjust the wheel so that the white sector takes up,80%,of its area and ask her to choose between the following two hypothetical gambles:,Bet One,: If the rival launches the product within the next week you will win $100 000. If the rival does not launch the product you will win nothing.,Bet Two,: If, after spinning the wheel once, the pointer is in the white sector you will win $100 000. If it is pointing toward the black sector you will win nothing.,一、概率转盘法,(The probability wheel),If the manager says that she would choose,Bet Two,then this implies that she thinks that the probability of the rival launching the product in the next week is less than 80%.,The size of the white sector could then be reduced and the question posed again.,Eventually, the manager should reach a point where she is indifferent between the two bets.,If this is achieved when the white sector takes up 30% of the wheels area, this clearly implies that she estimates that the required probability is 0.3.,二、直方图法,(The histogram method ),直方图法,（适合于自然状态,在实轴某个区间,连续,取值,）,区间离散化,：把,的取值范围划分为若干子区间,1,n,；,赋值,：估计每个区间的似然率,(,i,),，据此作出直方图；,变换,：将直方图拟合为概率分布函数,F,(,x,)=,x,(),。,直方图法,1,：明年国民经济的增长率,缺点：,子区间的划分没有标准,赋值不易,尾部误差过大,图,2.3,明年国民经济的增长率的概率分布直方图,直方图法,2,：,决策分析,不同分数段的概率分布,2010-2011,年,决策分析,考试成绩直方图法,（共,223,个数据）,三、累积概率法,(Cumulative probability),概率累积曲线,亦称粒度概率图，是一种在概率坐标纸上作出的累积曲线。概率纸上的纵坐标是概率分度的百分数值，横坐标是算术分度的值，它通常是由若干直线段组成。,具体做法是 ：根据主观判断确定一些特殊点的概率以后，画出这条概率曲线，利用它近似估计其他点的概率。,三、累积概率法,(Cumulative probability),例如，求估某种新产品的未来市场需求的概率分布时，销售经理作了如下的估计：,（,1,）最高需求量,2400,（单位：万斤），最低,400,；,（,2,）在,400-1200,和,1200-2400,之间的 可能性各占一半；,（,3,）当需求小于,1200,时，需求在,400-900,与,900-1200,的可能性各半；,（,4,）当需求多于,1200,时，需求在,1200-1600,之间与在,1600-2400,之间的可能性相等；,（,5,）需求多于,1600,时，需求在,1600-1900,和,1900-2400,的可能性相等；,（,6,）当需求小于,900,时，需求在,400-700,与,700-900,的可能性各半；,（,7,）当需求多于,1900,时，需求在,1900-2100,与,2100-2400,的可能性各半；,（,8,）当需求小于,700,时，需求在,400-600,与,600-700,的可能性各半。,根据上述,8,个点的 主观判断，得出累积概率分布表。然后将可将上述累积概率点画成光滑的曲线。横轴表示需求，纵轴表示累积概率。根据累积概率曲线，即可以近似得到任一需求区间的主观概率。,需求区间,区间中点,累积概率,需求区间的概率,400-600,500,6.25,6.25,600-700,650,12.5,6.25,700-900,800,25,12.5,900-1200,1050,50,25,1200-1600,1400,75,25,1600-1900,1750,87.5,12.5,1900-2100,2050,93.75,6.25,2100-2400,2250,100,6.25,（,1,）最高需求量,2400,（单位：万斤），最低,400,；,（,2,）在,400-1200,和,1200-2400,之间的 可能性各占一半；,（,3,）当需求小于,1200,时，需求在,400-900,与,900-1200,的可能性各半；,（,4,）当需求多于,1200,时，需求在,1200-1600,间与在,1600-2400,间可能性相等；,（,5,）需求多于,1600,时，需求在,1600-1900,和,1900-2400,的可能性相等；,（,6,）当需求小于,900,时，需求在,400-700,与,700-900,的可能性各半；,（,7,）当需求多于,1900,时，需求在,1900-2100,与,2100-2400,的可能性各半；,（,8,）当需求小于,700,时，需求在,400-600,与,600-700,的可能性各半。,需求区间,区间中点,累积概率,需求区间的概率,400-600,500,6.25,6.25,600-700,650,12.5,6.25,700-900,800,25,12.5,900-1200,1050,50,25,1200-1600,1400,75,25,1600-1900,1750,87.5,12.5,1900-2100,2050,93.75,6.25,2100-2400,2250,100,6.25,四、参数确定法,对许多领域的实际问题，设定在相关的域上的事件的概率分布对于这些领域的专业人员来说已经是,常规性和标准化的工作,。,这种赋值通常是模型与经验相结合，而且许多,典型的问题,有其相应的概率模型，如二项分布，正态分布，泊松分布等可以使用。,对那些,不具备典型特征的事件,，要让两个人就同一个特定的概率分布的适用性取得一致意见通常都十分困难，这时概率的设定就有高度的主观性。,四、参数确定法,几种典型的分布类型：,二项分布,：,N,重伯努力试验中成功的次数 。比如：抛硬币，正面为成功两点分布,1,重伯努力试验中成功的次数只取,0,或,1,。,泊松分布,：单位时间（面积、产品）上某稀有时间发生的次数。,指数分布,：某一元件（设备、系统）遇到外来冲击时即失效，那么首次冲击到来的时间服从指数分布。,正态分布,：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素叠加的结果，那么这个变量一定为正态变量。,均匀分布,：区间（,A,B,）随机投点，落点坐标,X,服从均匀分布。,已知主观概率的分布中心是 ，销售预测值为1600台，,P（X 1600）=,12.5%，从标准正态分布表查得相应于,P=12.5%,的分布值,Z=1.15。,Z,P=87.5%,即：,， ，所以,Z,例如，某企业的某种商品月平均销售量为1400台。某专家判断下个月销售量将超过1600台，其概率为12.5%。试根据这位专家的主观概率分布，推断下月销售量不超过1150台的概率。,所以，该专家的主观概率正态分布为,N(1400,174)。,也就是说，他的主观概率分布是以1400台为平均值，174台为标准差的正态分布。根据这个规律，并采用公式,，可以预测有关销售量情况的主观概率。,如要预测,X1150,台的主观概率，只要将,X=1150，,代入 ，得,再查正态分布表，当,Z=1.4368,时，概率是0.924，即92.40%。,，,五、专家咨询法,用专家意见来确定主观概率的方法：,（,1,）向专家提的问题要设计好，既要使专家易懂又要使专家回答不是模棱两可。,（,2,）要对专家本人比较了解，以便做出修正，形成决策者自己的主观概率。,（,3,）通过向多位专家咨询后，经修正和综合获得主观概率，关键在于把问题设计好，便于往后综合，即在提出问题时，就要想到如何综合。,五、专家咨询法,例：某公司在决定是否生产某种新产品时，想估计该产品在未来市场上畅销（记为事件,A,）的概率是多少。为此，公司经理召集了设计、财务、营销和生产管理方面的主管人员座谈。经过仔细分析，大家认为此新产品质量好，只要定价合理，畅销的可能性很大。而影响销路的主要因素是市场竞争。据了解，还有一家工厂也有生产此新产品的想法，该厂的技术和设备都比本厂强。经理在听取大家的分析后，向在座的主管人员提出二个问题：,（,1,）假如竞争对手不生产此新产品，本公司的新产品畅销的概率有多大？,（,2,）假如竞争对手要生产此新产品，本公司的新产品畅销的概率有多大？,五、专家咨询法,在座人员根据自己的经验各自写了二个数，经理计算了二个数的平均值。,（,1,）假如竞争对手不生产此新产品，本公司的新产品畅销的概率的平均值,=0.9,。,（,2,）假如竞争对手要生产此新产品，本公司的新产品畅销的概率的平均值,=0.4,。,另据本公司的情报部门报告，竞争对手正忙于另一项产品的开发，很可能无暇顾及生产此新产品。公司经理据此认为，竞争对手将生产此新产品的概率为,0.3,，不生产此新产品的概率为,0.7,。,问：该厂新产品畅销的概率是多少？,五、专家咨询法,解答,:,A:,该公司新产品畅销,B:,竞争对手生产该新产品,得：,P(A|B)=0.9, P(A|B)=0.4,P(B)=0.7, P(B)=0.3,根据全概率公式，有：,P(A)=P(A|B),P(B)+,P(A|B),P(B),=0.90.7+0.40.3,=0.75,4.3,主观概率的系统偏差,主观概率的系统性偏差：,心理学发现，人的主观概率，会存在系统性的偏差。,这种偏差，是有规律的，而且与人的性格习惯，生长环境文化，没有关系，是人类的大脑自然结构思维方式导致的。,即使在面对已知的客观概率时，人对不同的概率有不同的感觉，心理上赋予它不同的权重，主观上对概率值的感觉变化，不符合客观概率本身的变化。,例,1,：坐飞机与空难事故,一个人准备坐飞机去旅行，突然看到新闻说,1,小时前发生了,1,起空难事故，机组人员乘客全部遇难。看完这个新闻后，这个旅行者对继续乘飞机旅行会重新考虑，如果他是一个很清醒理性的人，会依据“航空普遍比汽车火车安全”这个统计结果继续乘飞机。但是，他登机后肯定心情略微激动，比以前略微担心一点，最近发生的新闻事件在他心理肯定有影响，绝对不会是纷纷表示影响不大。,心理学解释：最近发生的事情，会让人们高估这个事件的概率，而无视历史上长期对它的统计结果。,例,2,：两人同一天生日问题,要保证一个群体里，一定有,2,人在同一天生日，这个群体至少该有多少人呢？,普通思路会感觉至少,366,（假设一年,365,天）人。如果要以,50%,的概率保证一定有,2,人同一天生日呢？普通思路会觉得，那就把,366,人概减半差不多吧。如果要以,90%,的概率保证一定有,2,人同一天生日呢？那就对,366,来个,9,折的计算，群体至少得有,330,人吧，差不多就这个范围上下。,正其实,23,人的群体，就有,50%,以上的概率保证会有,2,人同一天生日；,60,人以上的群体则,99%,可能性有,2,人同一天生日。,心理学解释：连续,N,个小概率事件，其最终成真全都发生的概率甚至是呈指数下降的。但是，人的大脑喜欢加减法，因为这样思维最简单，所以对于一个复合事件的概率，人们总是喜欢先预估单一事件的概率，然后再用加减法，在最初的概率基础上修正一下。,例,3,：,“埃尔斯伯格悖论”,(Ellsberg paradox),埃尔斯伯格（,Ellsberg,，,1961,）进行了如下的博彩实验。假设一个缸中有,100,个球，其中,33,个球为红色，其余,67,个为黑色或黄色，你若从中拿出一个球：,博彩,A,：若球为红色，你得到,1000,元；,博彩,B,：若球为黑色，你得到,1000,元。,然后再考虑下面的博彩：,博彩,C,：如果球不是红色的，你得到,1000,元；,博彩,D,：如果球不是黑色的，你得到,1000,元。,33,67,实验结果,实验结果表明，所有的人基本上严格偏好,A,而非,B,，严格偏好,C,而非,D,。,但是，这种偏好关系违背了标准的主观概率理论。,悖论推导,1,A,的期望效用,: p(red),u($1000),B,的期望效用,: p(black),u($1000),如果人们选择,A,，则有：,p(red),u($1000) p(black),u($1000),p(red), p(black),悖论推导,2,C,的期望效用,= p(black)+p(yellow),u($1000),=1- p(red) ,u($1000),D,的期望效用,=p(red)+p(yellow),u($1000),=1- p(black),u($1000),如果人们选择,C,，则有：,1- p(red),u($1000) 1- p(black) ,u($1000),1- p(red) 1- p(black),p(red),p(black ),“埃尔斯伯格悖论”的启示,埃尔斯伯格的实验表明：,人们通常有一个,主观直觉的概率估计,，这种主观概率不满足概率论中的“可加性”，常常出现概率之和小于,1,的现象。,4.4,主观概率的修正,一、前景理论,二、贝叶斯法则,三、灵敏度分析,一、前景理论,卡尼曼和特沃斯基,(Kahneman and Tversky,，,1979,）提出的,前景理论,(prospect theory),中的,决策权函数,(Decision Weighting Function),，用来代替,主观概率,。,决策权函数,(Decision Weight Function),决策权函数不是概率，不符合概率公理，也不能解释为个人预期的程度；,在,事件概率小,的时候，决策权函数大于概率，表示个人对概率小的事件的重视；,但是,当事件概率大,的时候，决策权相对小，说明人们往往忽视例行发生的事件。,小概率事件举例: 彩票中大奖,中国体育彩票的每注号码由一个六位数和一个特别号码组成，六位数号码范围是,000000-999999,，特别号码范围是,0-4,，因此，特等奖号码的各种可能总数为,10,6,5,，它的中奖客观概率是,:,p=1/ (10,6,5)=210,-7,特等奖金,500,万元（,510,6,元），每张彩票的价格是,2,元。如果有彩民愿意购买彩票，则有：,510,6,2, 2/,(10,6,5)=410,-7,(,注：假设彩民为风险中性,),二、贝叶斯法则,黔驴技穷的故事,黔无驴，有好事者船载以入。至则无可用，放之山下。虎见之，庞然大物也，以为神，蔽林间窥之。稍出近之，应应然，莫相知。他日，驴一鸣，虎大骇，远遁；以为且噬已也，甚恐。,然往来视之，觉无异能者；益习其声，又近出前后，终不敢搏。稍近，益狎，荡倚冲冒。驴不胜怒，蹄之。虎因喜，计之曰：“技止此耳！”因跳踉大喊，断其喉，尽其肉，乃去。,【,出自,】,：唐,柳宗元,三戒,黔之驴,黔驴技穷的决策模型,决策者：老虎,自然界的不确定性：驴厉害吗？,决策行为：吃驴,/,不吃,老虎,1,2,驴厉害,驴不厉害,驴厉害,驴不厉害,吃驴,不吃,Outcome 1,Outcome 2,Outcome 3,Outcome 4,老虎的先验概率：驴厉害吗？,“黔无驴，有好事者船载以入。”,说明老虎对驴完全不了解，在面临一个不确定性的事情时，老虎只能通过回忆类似的事情来判断驴是否厉害，即老虎对驴的先验概率。,“虎见之，庞然大物也，以为神，蔽林间窥之。稍出近之，应应然，莫相知。他日，驴一鸣，虎大骇，远遁；以为且噬已也，甚恐。”,老虎通过“观其形，听其鸣”，加上以前的经验得出了先验概率。,P(,驴厉害,)=0.9,（问题：,P(,驴厉害,)=1.0,可以吗？ ）,老虎先验概率的修正：,“然往来视之，觉无异能者；益习其声，又近出前后，终不敢搏。稍近，益狎，荡倚冲冒。驴不胜怒，蹄之。”,老虎不甘心，通过试探的方式，获取对驴的新的信息，以修正先去设定的先验概率。,P(,驴厉害,|,老虎靠近，驴不敢搏,)=?,P(,驴厉害,|,老虎冲撞，驴蹄之,)=?,老虎的后验概率：,“虎因喜，计之曰：“技止此耳！”,老虎的先验概率：,P(,驴厉害,)=0.9,老虎的后验概率：,P(,驴厉害,|,老虎多次试探后驴的反应,) 0.9,老虎的决策行为：,“因跳踉大喊，断其喉，尽其肉，乃去。”,三、灵敏度分析,通常，主观概率不容易估计准确，从而影响期望收益的准确性，因此有必要对,主观概率的变动是否影响最优方案的选择进行分析,，这种分析称为,灵敏度分析,。,如果最优方案对主观概率数据变动的反应是不敏感的，则说明决策的可靠性比较大，决策失误的可能性就比较小。,HP案例:主观概率的灵敏度分析,HP,Low,0.2,M,BD,BA,Medium,0.5,High,0.3,Fig.2-3 Completed decision tree (pay-off and probability),-15,10,55,10,30,25,5,20,40,Low,0.2,Medium,0.5,High,0.3,Low,0.2,Medium,0.5,High,0.3,The EMV for the decision of M is:,-15,0.2+ 100.5+ 550.3=18.5,The EMV for the decision of BD is:,10,0.2+ 300.5+ 250.3=,24.5,The EMV for the decision of BA is:,5,0.2+ 200.5+ 400.3=23,Sensitivity analysis,Suppose the probabilities of Natures states are P,L, P,M, and P,H,. We have:,P,L,+P,M,+ P,H,=1,For simplification, we suppose P,M,=P,L,+P,H,Thus: P,M,=0.5, P,H,=0.5-P,L,The EMV for the decision of M is:,M(P,L,)=-15,P,L,+ 10,0.5,+ 55(,0.5-P,L,)=32.5-70,P,L,The EMV for the decision of BD is:,BD(P,L,)= 10,P,L,+ 30,0.5,+ 25(,0.5-P,L,)=27.5-15,P,L,The EMV for the decision of BA is:,BA(P,L,)= 5,P,L,+ 20,0.5,+ 40(,0.5-P,L,)= 30-35,P,L,Sensitivity analysis,P,L,M(P,L,)=32.5-70 P,L,BA(P,L,)=30-35 P,L,BD(P,L,)=27.5-15 P,L,4.5,拍卖成交概率的研究论文,Jie Yang, Wenjie Zhan. Supply, Demand and Zero-Intelligence: Shape Matters J. Computational Economics, 2015(3): Vol.45: 435-467(SSCI).,Abstract:,This paper applies a simple sequential bargaining (SB) as a proxy for the continuous double auction (CDA) to study how the shape of supply and demand curves makes similar outcomes between the two markets populated by zero-intelligence (ZI) agents. At first, we derive analytical expressions for transaction probabilities of ZI pairs in the SB, as well as the three expected outcomes. Those are the allocative efficiency, the average trading price, and the trading volume. Then, we conduct simulations by transferring the identical supply and demand functions from the SB to the CDA because of the complexity of its period. They produce similar statistical results as in the SB although the allocative efficiency in the CDA is a little higher than that in the SB, while the trading volume is a little smaller than that in the SB. Statistical properties still hold for special shapes that make the long-run outcomes of CDA and the expected outcomes of SB deviate a lot from their corresponding competitive equilibriums. It is concluded that transaction probabilities or frequencies of ZI pairs help to explain how the principle of statistics determines both expected outcomes of a SB and long-run outcomes of a CDA populated by ZI agents.,Keywords,:,Zero-intelligence; Competitive equilibrium; Statistical property; Sequential bargaining; Continuous double auction,Supply, Demand and Zero-Intelligence: Shape Matters,1 Introduction,2 Market Mechanisms and ZI,3 The Model of SB,4 Simulations in CDA,5 Conclusion,1 Introduction,The zero-intelligence (ZI) is an interesting and important agent that gives offers randomly but generates high allocative efficiency (AE) in a continuous double auction (CDA) market (Gode and Sunder 1993a). It provides a useful model to separate the effect of the traders behavior from the outside environments, such as the market mechanism and the market environment; and becomes the benchmark to study the traders behavior both in competitive markets and in financial markets, e.g., Smith et al. (2003), Duffy and nver (2006), and Tubaro (2009). Ladley (2012) summarizes the application of ZI both in economics and finance.,1 Introduction,Gode and Sunder (1993a) conclude that the ZI can produce aggregate rationality from individual irrationality.,It generates a natural question about the foundation of economics: is intelligence necessary for the aggregate operation of law of supply and demand? (Brewer et al. 2002).,However, the competitive equilibrium (CE) does not predict long-run outcomes of a CDA market populated by ZI agents in some special situations. For instance, Gode and Sunder (1993b, pp.210) themselves demonstrate that 75% is the lower bound of AE for the shape with one intra-marginal buyer and seller each, and infinite extra-marginal buyers and sellers. They also find that AE is affected by the shape of demand and supply to the left, as well as to the right, of the equilibrium point (Gode and Sunder 2004). In addition, Cliff and Bruten (1997) prove by a priori probabilistic analysis that the average trading price (ATP) deviates significantly from its CE price in a CDA market with ZI agents if the magnitude of the gradient of linear supply and demand curves is quite different.,Moreover, the static CE analysis fails to explain the dynamics by which the convergence to CE happens (Rust et al. 1993). A possible theory is that the dynamic trading process follows the Marshallian path, through which the buyer with the mth highest value trades with the seller with the mth lowest cost (Easley and Ledyard 1993). However, Cason and Friedman (1993) find only weak evidence that high-value ZI buyers tend to trade before low-value ZI buyers, and that low-cost ZI sellers tend to trade before high-cost ZI sellers. Zhan et al. (2002) provide a parameter to measure the distance of ZIs actual transaction path deviating from the Marshallian path.,1 Introduction,This paper tries to provide an analytical model based on statistical analysis, not on CE analysis, which explains long-run outcomes of a CDA market populated by ZI agents for arbitrary supply and demand curves and considers the dynamics of its trading process as well. To represent the complexity of a CDA period, we use a series of rounds of sequential bargaining (SB) to replace the CDA in the model at first (for detail, see section 2.1). The main findings are:,(i) the transaction probability of each ZI pair is analytically tractable in the SB;,(ii) the three important statistics of SB can be derived from transaction probabilities and endowments of all ZI agents, such as expected values of the AE, the ATP, and the trading volume (TV). Then, we conduct computer simulations in the CDA by transferring the identical supply and demand functions from the SB. Obviously, a CDA works more intricately than a SB for the complexity of its trading process (for detail, see section 2.2). It is interesting to find that simulations produce similar statistical results as in the SB although the allocative efficiency in the CDA is a little higher than that in the SB, while the trading volume is a little smaller than that in the SB. In addition, statistical properties still hold for special shapes found by Gode and Sunder (1993b; 1997; 2004) and by Cliff and Bruten (1997).,1 Introduction,Our approach differs from models that are based on the game theory, such as the waiting game/Dutch auction (Wilson 1987) and the Bayesian game against nature (Friedman 1991). We base on the probability theory. In contrast with the previous work of Cliff and Bruten (1997), who study a priori probability of every trading price in a CDA market populated by ZI agents, we focus on transaction probabilities (or frequencies) of ZI pairs and how to derive the three outcomes by them.,The rest of the paper is organized as follows. Section 2 presents market mechanisms of the SB and the CDA, the mathematical description of ZI. Section 3 provides models to examine statistical properties of two types of SBs populated by ZI agents. Section 4 studies statistical properties of the CDA with ZI agents by simulations over large repeated periods. The last section gives conclusions. Appendix gives proofs of the lemma and propositions in section 3.,2. Market mechanisms and ZI,2.1 The sequential bargaining,2.2 The continuous double auction,2.3 Zero-intelligence,2. Market mechanisms and ZI,2.1 The sequential bargaining,For the purpose of finding a tractable way to approximate the behavior of ZI, we use a series of SB rounds to replace the complexity of a CDA period. There are only one active ZI buyer and one active ZI seller on each side of SB during every round of a period. Thus, the dynamics of its trading process becomes tractable. Two types of SBs are considered below.,2.1.1 SB with one offering chance for each ZI agent,Let SB1 be the first type of SB, in which each ZI agent has only one offering chance to bid o