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单击此处编辑母版标题样式,第五章 相似矩阵及二次型,向量的内积,矩阵的特征值与特征向量的概念及计算,实对称矩阵的对角化,二次型及其标准型,正定二次型,5.1 向量组的正交化,一、向量内积,三、正交矩阵,二、正交向量组,空间解析几何向量运算回顾,一、向量内积,1. 内积的定义,【定义】,设,a,=,(,a,1,a,2,a,n,),T,及,b,=,(,b,1,b,2,b,n,),T,是,R,n,中的两个向量，则它们对应分量乘积之和称为向量,a,和,b,的内积。记作,即,例如，,设,a,=,(,-,1, 1, 0, 2),T,，,b,=,(2, 0,-,1, 3),T,。,则,a,和,b,的内积为,=,(,-,1),2,+,1,0,+,0,(,-,1),+,2,3,=,4,设,a,，,b,，,g,为,R,n,中的任意向量，则,(1),a,，,b,= ,b,，,a,；,(2),k,a,，,b,=,k,a,，,b,；,(3) ,a,+,b,，,g,=,a,，,g, + ,b,，,g,；,(4),a，a,0，当且仅当,a,=,0时，有,a，a,=,0。,下页,2. 内积的性质：,3. 向量的模：,【定义】,对,R,n,中的向量,a,=,(,a,1,a,2,a,n,),T,，数,称为向量,a,的模（长度），也称为向量范数。,例如，,a,=,(,-,3, 4),T,的长度为：,(1)|,a,|,0，当且仅当,a,=0时，有|,a,|=0；,(2)|,ka,|=|,k,|,|,a,| (,k,为实数)；,(3) |,a,+,b,| |,a,| |,b,|。,(4)对任意向量,a,，,b,，有| （,a,，,b,）,|,|,a,|,|,b,|。,下页,向量模的性质：,长度为1的向量称为单位向量。,记为：,0,4. 单位向量：,如果向量,a,与,b,的都不是零向量，它们的夹角定义为：,5. 两个非零向量的夹角：,二、正交向量组,1. 几个概念,对于n维向量,、 ，,若,a,，,b,=0，则称向量,与是互相正交(垂直)的。如 零向量与任意向量正交。又如,正交向量,：,正交向量组,：,若,R,n,中，s个,非零,n维向量,a,1,，,a,2,，,，,a,s,两两正交,，即,(,a,i,a,j,),=,0(,i,j,)，则称该向量组为,正交向量组,。,如：,R,n,中的单位坐标向量组,e,1,，,e,2,，,，,e,n,，是两两正交，(,e,i,e,j,),=,0(,i,j,)，且均为单位向量。,下页,正交规范向量组,：,如果正交向量组,a,1,，,a,2,，,，,a,s,的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为,标准正交向量组,。,例1,、,已知两向量,解、,例2,(例1的一般化, 也称,正交基的扩张定理,),设 是 中的一个正交向量组, ,证明必可找到 个向量 使 构成 的正交基.,都正交.,证,只需证必可找到 使 与,记,必有非零解.,其任一非零解即为所求的,证明：,设,a,1,，,a,2,，,，,a,s,为正交向量组，且有数,k,1,，,k,2,，,，,k,s,，,使,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,+,k,s,a,s,=,0。,【定理】,R,n,中的正交向量组是线性无关的向量组,。,2.,正交向量组与线性无关向量组,K,i,a,i,a,i,=,0，,上式两边与向量组中的任意向量,a,i,作内积，,a,i,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,+,k,s,a,s,=,0,(1,i,s,)，,可得,于是,a,1,，,a,2,，,，,a,s,是线性无关的向量组。,但,a,i,0，,有,a,i,a,i,0。,所以,k,i,=,0,(1,i,s,)，,正交,向量组,线性无关向量,组,？,对任意一个线性无关向量组可以找到一个与它等价的正交向量组，即向量组的正交化。,五、施密特正交化过程,设 是一组线性无关的向量, 它就是它生成的向量空间,的一个基(坐标系), 如何在向量空间,L,中建立正交的基(坐标系)?,这个问题就是,找与 等价的正交向量组,以三个向量 为例, 从几何直观上去求.,上式两边与 做内积, 注意 得,从而,我们已求得 已正交, 再求构造,(1)式两边与 内积, 注意,得,(1)式两边再与 内积, 类似可得,从而,对于,R,n,中的线性无关向量组,a,1,，,a,2,，,，,a,s,，令,b,1,=,a,1,，,向量组,b,1,，,b,2,，,，,b,s,是正交向量组，并且与向量,组,a,1,，,a,2,，,，,a,s,可以相互线性表示。,并且这两个向量组等价。,下页,3. 施密特正交化方法,例2,试用施密特方法化向量组为正交向量组,解,令,1,2,3,是正交向量组,1,0,2,0,3,0,是正交规范向量组,三、正交矩阵,1. 定义,如果,n,阶实矩阵,A,满足,A,T,A,=,E,，则称,A,为正交矩阵。,例如，单位矩阵,E,为正交矩阵；,（4）.若,A,为正交矩阵，则,A,T,（,A,1,，A,*,）也是正交矩阵,（2）若,A,为正交矩阵，则,A,可逆，且,A,-,1,=,A,T,（3）若,B,、,A,都是正交矩阵，则,BA,也是正交矩阵,事实上(,A,T,),T,A,T,=,A,A,T,=E,(,A,*,),T,A,*,=(|,A,|,A,-,1,),T,(,|,A,|,A,-,1,)= |,A,|,2,（,A,-,1,）,T,A,-,1,=E,2. 正交矩阵的性质,（,A,-,1,）,T,A,-,1,=,（,A,-,1,）,T,A,T,=,（,A A,-,1,）,T,=E,（1）,若,A,为正交矩阵，则其行列式的值为1或,-,1；,A,T,A,=,E,，,|A,T,|A|,=|,E|=,1，,|A|,2,=,1,证明,定理,为正交矩阵的充要条件是 的行(列)向量都,是单位向量且两两正交,正交矩阵与正交规范向量组,例,解,1将一组基规范正交化的方法：,先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将,其单位化,五、小结,2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,施密特正交化公式,正交矩阵的特征,作业,：,P,137：,1,（2）,， 3，4,要求：,
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