弯曲应力——材料力学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章,弯曲应力,1,5. 1 概述,在一般情况下, 梁的横截面上既有弯矩, 又有剪力; 因此, 横截面上既有正应力, 又有剪应力,两个概念:,横力弯曲, 纯弯曲,2,纯弯曲梁弯曲变形时，,横截面上只有弯矩而无剪,力（ ）。,横力弯曲梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又有剪力（ ）。,3,L,a,a,F,F,F,(+),(-),-F,Fa,(+),M-图,纯弯曲,横力,弯曲,横力,弯曲,4,一、纯弯曲时梁横截面上的正应力,5. 2 梁弯曲时横截面上的正应力,正应力分析方法,4. 应变分布与应力分布,6. 正应力表达式,3. 平面假定与变形协调方程,5. 应用静力学方程确定待定常数,1. 外力分析（确定约束反力）,2. 内力分析（绘剪力图、弯矩图）,5,1、研究对象：,等直细长对称截面梁,2、前提,:,(a)小变形在弹性变形范围内，,(b)满足平面弯曲条件，,（c）,纯,弯曲。,3、实验观察,:,M,M,凹边缩短,凸边伸长,长度保持,不变的纵,向纤维,横截面上只有正应力无剪应,力,纵向纤维间无挤压作用,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,6,中性层,杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不,缩短的曲面。,中性轴,中性层与横截面的交线。,4、平面截面假设,横截面变形后保持为平面，只是,绕中性轴旋转了一角度。,中性轴,中性层,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,7,5、理论分析,（1）变形分布规律,m,m,n,n,dx,a,b,y,变形后,o曲率中心，,y任意纵向纤维至,中性层的距离,中性层 的曲率半径，,纵向纤维ab:,变形前,变形后,o,b,a,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,8,所以纵向纤维,ab,的应变为:,横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律。,曲率,则,曲率,则,当,与实验结果相符。,(a),弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,9,（2）应力分布规律,在线弹性范围内，应用胡克定律,(b),对一定材料，,E=C,；,对一定截面，,横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。,当,与实验结果相符。,应力为零的点的连线。,M,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,10,（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式,z(,中性轴,),y(,对称轴,),x,M,M,dA,dA,由,得,=0,将(b)式代入，得,因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。,(c),弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,11,静力平衡条件,自动满足。,考虑平衡条件,y、z轴为截面的形心主惯性轴,(d),z,y,x,M,dA,dA,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,12,对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，,亦必须满足 。即y、z轴为截面的形心主惯性轴。所以,只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯曲。,中性轴的特点：,平面弯曲时梁横截面上的中性轴一定是形心主轴，它与外力作用面垂直，即中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。,z,y,x,M,dA,dA,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,13,考虑平衡条件,为截面对中性轴的惯性矩。,(e),z,y,x,M,dA,dA,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,14,可得挠曲轴的曲率方程：,为常数，挠,曲,轴,是一条圆弧线,抗弯刚度。,正应力的计算公式为,横截面上最大正应力为,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,15,截面的,抗弯截面系数,，反映了截面,的几何形状、尺寸对强度的影响。,矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面系数：,z,z,竖放：,b,h,h,b,平放：,若,hb,则,。,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,16,z,d,d,z,D,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,17,弯曲应力例题,例6-1 简支梁,求：,（1）11截面上1、2两点的正应力；,（2）此截面上的最大正应力；,（3）全梁的最大正应力；,（4）已知,E,= 200 GPa，求11截面的曲率半径。,q=,60kN/m,A,B,1m,2m,1,1,1,2,120,180,z,y,30,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,18,M,x,+,M,1,M,max,2 求应力,解：,1 画,M,图求有关弯矩,1,2,120,180,z,y,30,q=,60kN/m,A,B,1m,2m,1,1,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,19,3 求曲率半径,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,20,纯弯曲,的结果可推广到如下,横力弯曲,的梁：,(b) 对,R,/,h,5,的曲率梁，可使用直梁公式。,非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：,正应力计算公式为,(a) 横力弯曲的细长梁，即梁的跨高比:,L,/,h,5,时，,其误差不大；,h,R,二、,横力,弯曲时梁横截面上的正应力,曲率梁,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,21,注意,：,（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截,面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中,性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点的正应力，,并确定该点到中性轴的距离。,（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布,的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力,最大。,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,22,（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩,的计算式。,（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正,负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来,确定。,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,23,5.3 弯曲时梁,横截面上的,的剪应力,在有剪应力存在的情形下，弯曲正应,力公式依然成立,假 设,在横力,弯曲时,梁的横截面上有剪力; 因此, 横截面上有剪应力,24,剪应力方向与剪力的方向相同，并沿截面宽度方向切应力均匀分布,在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的,切应力，而无须,全面应用,“平衡，变形协调和物性关系”。,弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,（一）矩形截面,假 设,25,L,A,B,F,(+),(-),b,h,分析方法（截面法）：,1、沿,mm,nn,截面截开，,取微段dx。,m,m,n,n,dx,m,m,n,n,M,M+dM,m,m,n,n,k,l,(+),弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,26,m,n,k,l,2、沿,kl,截面截开，根据剪应力的互等定理：,dx,很小，在,kl,面上可认为,均布。,3、列平衡方程，由 ：,即,弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,27,而,代入得：,弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,28,（儒拉夫斯基公式）,式中符号意义：,：截面上距中性轴y处的剪应力,：y以外面积对中性轴的静矩,：整个截面对中性轴的惯性矩,b,：y处的宽度,b,h,z,y,对于矩形：,c,弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,29,而,因此矩形截面梁横截面上的,剪应力的大小沿着梁的高度按,抛物线规律分布。,并且,剪应力沿梁高分布规律,弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,30,实心截面梁的弯曲切应力误差分析,h,b,精确解,=,=,F,Q,S,z,*,bI,z,h/b,1.0,2/1,1.04,1/1,1.12,1/2,1.57,1/4,2.30,弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,31,（二）工字形,截面梁的弯曲切应力,翼缘,1、腹板,z,腹板,式中,(y),：截面上距中性轴y处的剪应力,：y处横线一侧的部分面积对中性轴的静矩,：整个截面对中性轴的惯性矩,：y处的宽度,y,弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,32,腹板上的剪应力呈抛物线变化，腹板部分的剪应力合力占总剪力的9597%。,弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,33,2、翼缘,翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪力形成“剪应力流” 。,翼缘部分的剪应力强度计算时一,般不予考虑。,腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角,上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使,这里的剪应力实际值接近以腹板剪应力公式所得到的,结果。,弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,34,(1) 边缘各点的切应力与圆周相切；,(2),y,轴上各点的切应力沿,y,轴。,假 设,(1),AB,弦上各点的切应力作用线通过同一点,p,；,(2),AB,弦上各点的切应力沿,y,轴的分量,y,相等。,所以，对,y,可用矩形截面梁的公式,（三）其它形状,截面梁的弯曲切应力,圆截面,切应力特点,弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,35,max,=,4,3,F,Q,A,弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,36,max,= 2.0,F,Q,A,圆环截面,z,y,弯曲应力 /,弯曲时横截面上的剪应力,37,5.4 薄壁梁横截面上的,切应力流与,弯曲中心,薄壁梁横截面上的切应力有以下特点:,(1),切应力方向必平行于截面周边的切线方向, 并形成,切应力流。,(2)切应力,沿,壁厚均匀分布。,38,弯,曲中心,定义：,梁横截面上弯曲切应力向某一点A简化时，若主矢不为零主矩为零（既合力作用点），则点A称为,弯曲中心。,弯曲中心与材料性质和载荷无关，是,截面的几何,性质之一。,切应力流与弯曲中心,39,弯曲中心,P,x,e,y,z,向C点简,化,主矢Q,主矩 M=Q,1,h+Qe,h,弯曲切应力流,C,e,Q,1,Q,Q,2,C,主矢Q,主矩M,主矢Q,主矩 M= Q,1,hQe0,向A点简,化,A,e,Q,1,Q,2,Q,切应力流与弯曲中心,40,如何确定弯曲中心的位置,弯心处，主矩,M= Q,1,hQe,0,切应力流与弯曲中心,腹板与翼缘处,切应力仍可应用公式:,41,根据切应力流确定弯心位置,思考题：,图示截面梁有无弯曲中心？若有，在何处？答案见书p101页表6-1。,切应力流与弯曲中心,42,5.5 梁的抗弯强度条件,43,一 弯曲正应力强度条件：,可解决三方面问题：,（1）强度校核，即已知 检验梁是否安全；,（2）设计截面，即已知 可由 确定,截面的尺寸；,（3）求许可载荷，即已知 可由,确定。,梁的抗弯强度条件,44,L=4m,A,B,q=0.5KN/m,例,6-2,一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面,的内外径之比 ，试选择截面直径D；若外径D增加,一倍，比值,不变，则载荷,q,可增加到多大？,(+),梁的抗弯强度条件,45,解：,由强度条件,若外径D增加一倍，则,仍由强度条件，得,梁的抗弯强度条件,46,例,6-3,已知 材料的 ，由M图知：,，试校核其强度。,16,28,14,4,8,解：,（1）确定中性轴的位置,（2）求,z,C,z,单位：cm,梁的抗弯强度条件,47,（3）正应力校核,所以结构安全。,问题：,若材料为铸铁，截面该怎样放置才合理,？,梁的抗弯强度条件,48,例6-4,外伸梁,T形梁截面，用铸铁制成，,校核梁的强度。,C,y,2,y,1,2m,q=10kN/m,A,D,B,E,P20kN,2m,2m,2m,q=10kN/m,A,D,B,E,P20kN,2m,2m,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,49,解：,（,1）,梁的内力分析，找出危险截面,q=10kN/m,A,D,B,E,P20kN,5kN,35kN,A,D,B,E,10kN*m,20kN*m,(-),(+),包含反力的,全部外载荷,画弯矩图：,危险截面：,B, D,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,50,（2,）,找出危险截面上的危险点,危险点：,a, b, d,C,y,2,y,1,A,D,B,E,10kN*m,20kN*m,(-),(+),B截面,D截面,压应力,拉应力,a,b,e,d,拉应力,压应力,弯曲应力/,梁弯曲时横截面上的正应力,51,（3,）计算,危险点应力,校核强度,最大压应力：,最大拉应力：,梁的强度符合要求,B截面,D截面,压应力,拉应力,a,b,e,d,拉应力,压应力,52,二,切应力强度条件,在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：,（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应,力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大,时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也,需要校核剪应力强度。,梁的抗弯强度条件,53,例如,L,A,B,F,0.9L,A,B,F,F,0.2L,0.2L,0.6L,(+),(-),0.9F,0.1F,(+),0.09FL,F,(+),(-),-F,0.2FL,(+),M-图,梁的抗弯强度条件,54,（2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处,的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴,上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各,点，同时存在正应力、剪应力。这些点的强度计,算，应按强度理论进行计算。,梁的抗弯强度条件,55,例,6-5,铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力为 ，许用压应力为 ， 。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？,A,B,2m,1m,3m,P=20KN,E,C,D,q=10KN/m,200mm,30,200mm,y,c,z,约束反力：,梁的抗弯强度条件,56,解：,（1）确定中性轴的位置,最大静矩：,200mm,30,200mm,y,c,z,梁的抗弯强度条件,57,由 、 知：,A,B,2m,1m,3m,P=20KN,C,D,q=10KN/m,（2）绘剪力图、弯矩图,约束反力：,(+),(-),(-),20KN,10KN,10KN,(+),(-),10KN.m,20KN.m,梁的抗弯强度条件,58,（3）正应力强度校核,对于A截面：,z,200mm,30,200mm,y,c,z,梁的抗弯强度条件,59,对于D截面：,z,z,200mm,30,200mm,y,c,z,梁的抗弯强度条件,60,正应力强度足够,。,因此,（4）剪应力强度校核,在A截面：,剪应力强度足够,。,梁的抗弯强度条件,61,（5）若将梁的截面倒置，则,此时强度不足会导致破坏。,y,c,z,z,梁的抗弯强度条件,62,5.6,提高弯曲强度的一些措施,弯曲正应力强度条件：,在,一定时，提高弯曲强度的主要途径：,（一）、选择合理截面,（1）矩形截面中性轴附近的材,料未充分利用，工字形截,面更合理。,1、根据应力分布的规律选择：,z,63,（2）为降低重量，可在中性轴附近开孔,弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,64,2、根据抗弯截面系数选择：,为了比较各种截面的合理性，以 来衡量。 越大，,截面越合理。,常见梁截面的,W,z,/A,值,弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,65,3、根据材料特性选择：,塑性材料：,宜采用中性轴为对称轴的截面。,脆性材料：,宜采用中性轴为非对称轴的截面，,例如T字形截面：,y,c,z,拉边,压边,即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。,弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,66,（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低 值。,1、载荷尽量靠近支座：,L,A,B,F,0.5L,(+),0.25FL,L,A,B,F,0.8L,(+),0.16FL,弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,67,L,A,B,F,0.9L,(+),0.09FL,L,A,B,F,弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,68,2、将集中力分解为分力或均布力,L,A,B,F,0.5L,(+),0.25FL,0.25L,A,B,F,0.5L,0.25L,0.125FL,(+),弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,69,3、合理安排支座位置及增加支座减小跨度，减小 。,0.025FL,(+),0.02FL,0.02FL,A,B,F,L,0.125FL,(+),A,B,F,0.6L,0.2L,0.2L,弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,70,A,B,F,0.5L,0.5L,(+),(+),增加支座,弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,71,（三）、选用合理结构,1、等强度梁,设计思想：按M(x)的变化来设计截面，采用 变截面梁横截面沿着梁轴线变化的梁。,弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,72,例如,矩形截面悬臂梁，设,h=const,b=b(x),则,F,L,x,h,b(x),x=0,时,，b=0,但要有足够的面积承受剪力。,因此,而,（沿梁轴线呈线性分布）,弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,73,2、桁架,整体桁架受弯构件,桁架中单个杆件受轴向拉压,弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,74,工程中的桁架结构屋盖,弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,75,弯曲应力/,提高弯曲强度的一些措施,76,