矩阵论_第1_2章_线性空间与线性变换 2 矩阵分析简明教程 曾祥金 张亮

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矩阵论,by,张亮,Email: thanleon,Tel: 13437257566,About textbook,教材：,矩阵分析简明教程，曾祥金，张亮，科学出版社，2010,参考文献：,矩阵分析，Horn R A著，杨奇 译，机械工业出版社,高等工程数学，于寅，华中理工大学，1995,A short history,Such is the advantage of a well-constructed language that its simplified notation often becomes the sourse of profund theories.-P.S. Laplace,这就是结构好的语言的好处，它的,简化的记法,常常是深奥理论的源泉.,A short history,4000年前，Babylonians已经会解决2,2的线性方程组,200 B.C. 九章解决了3,3的线性方程组,自此之后发展缓慢！,A short history：遇到障碍,言辞数学符号数学,丢番图(Diophantus of Alexandria), 约250A.C. 代数学之父,上帝让他的童年时代占一生的六分之一，又过了一生的十二分之一，他开始长胡子，再过一生的七分之一，上帝为他点燃婚礼的烛光，婚后第五年，赐给他一个儿子。天哪，这真是一个晚生的孩子，孩子活到他父亲一半的年龄时，残酷的命运之神就把他带走了；他花了四年的时间用数的科学抚慰自己的悲伤，之后也就去世了。,A short history：开始发展,符号数学,韦达(Viete, 1540-1603), 引入符号,笛卡尔(Descartes, 1596-1650), 解析几何，方法论，我思故我在,费马(Fermat, 1601-1665), 解析几何，数论，微积分，费马猜想,牛顿(Newton,1643-1727),莱布尼兹(Leibniz,1646-1716),.,科学加速发展！,A short history：,线性方程组的解,1693，Leibniz创造了行列式；,1760，Cramer提出Cramer法则；,1815，Cauchy(1789-1857)第一次系统定义行列式；,1811，Gauss(1777-1855)提出高斯消元法；,A short history,：,matrix，创始人,Arthur Cayley (1821-1895),17岁入剑桥大学三一学院,20岁写了13篇文章，明确一生的研究方向,28岁入律师行，做了14年律师，其后入剑桥大学,主要贡献：矩阵论，代数不变量，高维几何（相对论的理论基础之一）,James Joseph Sylvester (1814-1897),15岁入皇家学院，17岁剑桥大学；曾任保险精算,62岁入约翰. 霍普金斯大学；创立美国数学杂志（Mathematics Magazine）,南丁格尔，喜欢诗歌、发明数学名词,矩阵理论论的应用,Cayley正在为未来的一代物理学家锻造武器- Tait,量子力学的最佳语言,Matlab=Matrix Liboratory,几乎所有的工程数学、科学计算,预备知识：线性代数,1. 矩阵的运算；逆矩阵；,2. 线性方程组的Gauss消元；,3. 矩阵的秩；,4. n维向量。,第,1,章：线性空间与线性变换,内容,：,线性空间的一般概念,重点：空间结构和其中的数量关系,线性变换,重点：其中的矩阵处理方法,特点,：,研究代数结构具有线性运算的集合。,看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。,研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。,学习特点：具有抽象性和一般性。,1.1,线性空间(Linear Spaces),一、线性空间的概念,线性空间,=,集合,+,两种运算（所成完美集合）,Example,R,3,=,x=,（,x,1,，,x,2,，,x,3,）,T,：,x,i,R,=,空间中所有向量,定义向量的加法，数与向量的乘积。,运算封闭,八条运算律成立,1.1,线性空间(Linear Spaces),一、线性空间的概念,线性空间,=,集合,+,两种运算（所成完美集合）,Definition:(线性空间或向量空间),要点：,集合,V,与数域,F,向量的加法和数乘向量运算,（,运算之后的结果跑不出去,）,八条运算律,（,能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美,）,常见的线性空间,F,n,=,X=,（,x,1,，,x,2,，,，,x,n,）,T,：,x,F,运算,：向量加法和数乘向量,F,m,n,= A=,a,ij,m,n,：,a,ij,F,；,运算,：矩阵的加法和数乘矩阵,R,m,n,；,C,m,n,。,F,t,n,=,f,(x)=,a,0,+,a,1,x+,a,2,x,2,+.+,a,n-1,x,n,-1,：,a,i,R,运算,：多项式的加法和数乘,C,a,，,b,=f,（,x,）：,f,（,x,）在,a,，,b,上连续,运算,：函数的加法和数乘,Example：,V=R,+,，,F=R,，,a,b,=,ab,， ,a=a,F=R,或,C,不是线性空间的集合,V,=,X=,（,x,1,，,x,2,，1）,T,：,x,i,R,运算,：向量加法和数乘向量,要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以攻击。,线性空间的一般性的观点：,线性空间的简单性质（共性）：,（1）,V,中的零元素是惟一的。,（2）,V,中任何元素的负元素是惟一的。,（3）数零和零元素的性质：,0,=0，,k0=0,，,k,=0 =0,或,k=,0,（,4,） = （,1,）,数0,向量0,二、向量组的探讨（,Review),向量的线性相关与线性无关：,向量,可由,1,，,2,，,，,s,线性表示;（其工作可由多人合力完成）,向量组,1,，,2,，,，,s,线性无关,任何一个向量不能由其余向量线性表示,要使,k,1,1,+k,2,2,+,+k,s,s,=0,只有系数都为0,向量组,1,，,2,，,，,s,线性无关,其中一个向量可以由其余向量线性表示,要使,k,1,1,+k,2,2,+,+k,s,s,=0,必须有非零系数,二、向量组的探讨（,Review),向量组的极大线性无关组：,1,，,2,，,，,s,为向量组,A,的一个部分组,（,精英组合,）,满足,向量组,1,，,2,，,，,s,线性无关,（,彼此工作不可替代,）,任意A的向量可以由,1,，,2,，,，,s,线性表示,（,公司的任何人的工作可由精英组合完成,）,向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数,三、线性空间的基和维数,抽象的线性空间的元素称之为向量(,vector,),所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和,R,n,一样：,定义形式和向量空间,R,n,中的定义一样。,有关性质与定理和,R,n,中的结果一样。,因此，要研究线性空间，只需要研究它的最大线性无关组-即为基(,basis,),三、线性空间的基和维数,基(basis)：线性空间的极大无关组；,维数(dimension)：基中向量的个数；,常见线性空间的基与维数：,F,n,，自然基,e,1,，,e,2,，,e,n,，,dim,F,n,=n,R,m,n,，自然基,E,ij,，,dim,R,m,n,=,m,n,。,F,t,3,，,自然基1，t，t,2,，,dim,F,t,3,=,3,Ca,，,b,， 1，,x,，,x,2,，,x,3,x,n-1,Ca,b,，,dim,Ca,，,b=,约定：,本书主要研究有限维线性空间。,四、坐标,坐标的来历：,设,1,，,2,，,，,n, 是空间V,的一组基，, V, 可以由基,1,，,2,，,，,n,唯一线性表示,=,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,n,n,则,x,1,，,x,2,，,，,x,n,是,在基,i,下的坐标。,例1,：,求,R,2,2,中向量 在基,E,ij,下的坐标。,要点：,坐标与基有关,坐标的表达形式,例2,设空间F,x,4,的两组基为：,1，,x,，,x,2,，,x,3,和,1，（,x,- 1）,1,，（,x - 1,）,2,，（,x - 1,）,3,求,f,（,x,）,=2+3x+4x,2,+x,3,在这两组基下的坐标,。,归纳,：,有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个实际的 元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。,*例3,设,R,2,2,中向量组,A,i,1,讨论,A,i,的线性相关性,.,2求向量组的秩和极大线性无关组,.,3把其余的向量表示成极大线性无关组的,线性组合,.,五、基变换和坐标变换,讨论：,不同的基之间的关系,同一个向量在不同基下坐标之间的关系,1 基变换公式,设空间中有两组基：,过渡矩阵,C,的性质：,C,为可逆矩阵,C,的第,i,列是,i,在基,i,下的坐标,则,过渡矩阵,2,坐标变换公式,已知,空间中两组基：,满足:,: ;,讨论,X,和,Y,的关系,X=CY,例,已知空间,R,中两组基,（,I,）,E,ij,（,II,）；, ,求从基（,I,）到基（,II,）的过渡矩阵,C,。,求向量 在基（,II,）的坐标,Y,。,线性空间,V,与,F,n,的同构,坐标关系,V,F,n,V的,基,1,，,2,，。,n,由此建立一个一一对应关系, ,V,，,X,F,n,， （）,=X,（,1,+,2,）,=,（,1,）,+,（,2,）,（,k,）,=k,（）,在关系下，线性空间,V,和,F,n,同构。,同构的性质,定理1.3,:,V,中向量,1,，,2,，,n,线性相关,它们的坐标,X,1,X,2,X,n,在,F,n,中线性相关。,同构保持线性关系不变。,应用,：,借助于空间,F,n,中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。,1.,2,子空间,概述：,线性空间,V,中，向量集合,V,可以有集合的运算和关系：,W,i,V,，,W,1,W,2,，,W,1,W,2,，,问题：,这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间 ？,1,、 子空间的概念,定义：,设非空集合,W,V,，,W,，如果,W,中的元素关于,V,中的线性运算为线性空间，则称,W,是,V,的子空间,。,判别方法：,Important Theorem,W,是子空间,W,对,V,的线性运算封闭,。,子空间本身就是线性空间。,子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法,子空间和非子空间的例子：,V,=x=(,x,1,，,x,2,，,0,R,3,，是子空间,V=x=(,x,1,，,x,2,，,1,R,3,，不是子空间,矩阵,A,R,mn,，,齐次线性方程组,AX=0,的解集：是子空间,S,=,X,：,AX=0,R,n,，,非齐次线性方程的解集： 不是子空间,M,=,X,：,AX=,b,重要的子空间：,生成子空间,设向量组,1,，,2,，,m,V,，由它们的一切线性组合生成的子空间：,Span,1,，,2,，,，,m,=L(,1,，,2,，,，,m,),=,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,m,m,|,k,i,生成子空间的重要的性质：,1）如果,1,，,2,，,，,m,线性无关，则其为生成子空间Span,1,，,2,，,，,m,的一组基；,2）如果,1,，,2,，,，,r,是向量组,1,，,2,，,，,m,的最大线性无关组，则,Span,1,，,2,，,，,m,1,，,2,，,，,r,是Span,1,，,2,，,，,m,的一组基,2,、,子空间的“交空间”与“和空间”,讨论：,设,W,1,V,，,W,2,V,，且都是子空间，则,W,1,W,2,和,W,1,W,2,是否仍然是子空间？,（1）,交空间,交集：,W,1,W,2,=,W,1,而且,W,2,V,n,（,F,）,W,1,W,2,是子空间，被称为“交空间”,（2）和空间,和的集合：,W,1,W,2,=,=X,1,X,2,X,1,W,1,，,X,2,W,2,，,W,1,W,2,W,1,W,2,W,1,W,2,是子空间，被称为“和空间”，,W,1,W,2,不一定是子空间，,W,1,W,2,W,1,W,2,例,设,R,3,中的子空间,W,1,=Le,1,，,W,2,=Le,2,求和空间,W,1,W,2,。,比较：集合,W,1,W,2,和集合,W,1,W,2,。,如果,W,1,=,Span,1,，,2,，,，,m,，,W,2,=,Span,1,，,2,，,，,k,，,则,W,1,W,2,=,Span,1,，,2,，,，,m,，,1,，,2,，,，,k,3,、维数公式,子空间的包含关系,：,dim,W,1,W,2,dim,W,i,dim,W,1,W,2,dim,V,。,维数定理,：,dim,W,1,dim,W,2,=,dim,（,W,1,W,2,）,dim,（,W,1,W,2,）,证明：,4,、子空间的直和,分析,：,如果,dim,（,W,1,W,2,）,0,，则,dim,（,W,1,W,2,）,dim,W,1,dim,W,2,所以：,dim,（,W,1,W,2,）,=,dim,W,1,dim,W,2,dim,（,W,1,W,2,）,=0,W,1,W,2,=0,直和的定义,：,若,dim,（,W,1,W,2,）,=0,，则和为直和,W=W,1,W,2,=W,1,W,2,，,子空间的“和”为“直和”的充要,条件,：,Theorem,设,W=W,1,W,2,，则下列各条等价：,（1）,W=W,1,W,2,（,2,）,X,W,，,X=X,1,X,2,的表,是惟一的,（3）,W,中零向量的表示是惟一的,（4）,dim,W,=,dim,W,1,dim,W,2,例,设在,R,nn,中，子空间,W,1,=A,A,T,=A ,，,W,2,=B,B,T,=,B ,，,证明,R,nn,=W,1,W,2,。,13,线性变换,(Linear Transformations),一、,线性变换的概念,1. 线性变换的来历；,Definition,：,（,i,）,T,是V上的映射：,T,：,V,V,。,(ii) T,具有线性性：,T,（,）,=T,（,）,T,（,）,(,保持加法的三角形法则,),T,（,k,）,=kT,（,）,(,保持比例关系,),2 线性变换的性质：,（,i,）,T,(,0,),=0,（,ii,）,T,(,),=,T,(,),（,iii,）T(,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,m,m,)=,k,1,T(,1,)+,k,2,T(,2,)+.+,k,m,T(,m,),3 线性变换的象空间和零空间,设线性变换,T,：,V,V,，,象空间 Im,(,T,),=,：,V,，,=T,(,),零空间 Ker(,T,),=,：,V,，,T,(,),=0,定义：,T,的秩=,dim,R,（,T,）；,T,的零度=,dim,N,（,T,）,线性变换保持线性相关性不变！,例,(P018),R,n,中的变换,T,：设,A,R,nn,是一个给定的 矩阵，,X,R,n,，,T,(,X,),=AX,。,(1)T是线性变换；,(2)Ker(T)是AX=0的解空间；,(3)Im(T)=Span,a,1,，,a,2,，,，,a,n, 其中,a,i,是矩阵A的列向量；,(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n,4,线性变换的运算,设,T,1,，,T,2,都是空间,V,中的线性变换，常见的用它们构成的新的变换：,（,i,）,T,1,T,2,V,，,（,T,1,T,2,）（,）,=T,1,（,）,T,2,（,）,（,ii,）,T,1,T,2,V,，,(,T,1,T,2,),（,）,=T,1,（,T,2,（,）,（,iii,）,k,T,V,，,（,k,T,）（,）,=,k,（,T,（,）,（,iv,）,若,T,1,是可逆变换，,T,1,T,1,(,),=,当且仅当,T,(,),=,。,定义,二、 线性变换的矩阵,1 线性变换的矩阵与变换的坐标式,Purpose:将抽象的线性变换与矩阵对应起来,T的矩阵,二、 线性变换的矩阵,总结：,V,上线性变换的特点分析：,定义变换,T,确定基中向量的象,T,（,i,）。,定义,T,（,i,）,确定它在基下,i,的坐标,A,i,。,定义变换,T,确定矩阵,A=A,1,，,A,2,，,，,A,n,例,已知,定义映射,T,：,(1)证明T是V上的线性变换；,(2)求V的一组基，并求T在这组基下的矩阵。,Step1. 确定基中向量的象,T,（,i,）。,Step2.,确定它在基下,i,的坐标,A,i,。,Step3.,确定矩阵,A=,a,1,，a,2,，,，a,n,Key point:,2 线性变换运算的矩阵对应：,设,V,上的线性变换,T,1,，,T,2,，它们在同一组基下的矩阵：,T,1,A,1,；,T,2,A,2,（,i,） （,T,1,T,2,）,（,A,1,A,2,）,（,ii,） （,T,1,T,2,）,A,1,A,2,（,iii,） （,kT,）,kA,（,iv,）,T,1,A,1,3 不同基下的变换矩阵,两组基,1,，,2,，,n,，,1,，,2,，,n,，,（,1,2,n,）,=,（,1,2,n,）,C,T,（,1,2,n,）,=,（,1,2,n,）,A,T,（,1,2,n,）,=,（,1,2,n,）,B,同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的,B=C,1,AC,1,2,3,*例 （,P,0,2,5， 例1.4.6）,*例,设单位向量,u=,（,2/3,，,-2/3,，,-1/3,）,，定,R,3,上的线性变换,P,（,x,）,=,x,-,（,x,，,u,）,u,，,求,P,在自然基,e,1,，,e,2,，,e,3,下的变换矩阵。,求,P,在标准正交基,u,，,u,2,，,u,3,下的变换矩阵。,2.1,内积与欧氏空间,Inner Product & Euclidian Spaces,内积的作用：,研究高维空间中的几何问题,。,1,Example: R,3,上的内积定义,2,内积的公理化定义,Definition：要点,内积,(,，,),是二元运算：,V,V,R,(,，,),的公理性质,(,，,),是任何满足定义的运算。,讨论,(,，,1,2,),(,，,k,),3 常见的内积空间：,R,n,；,Remark,: 对于同一个线性空间，可以定义不同的内积成为不同的欧氏空间,R,m,n,；,4 向量的长度,定义：,|,|,=,5,欧氏空间中向量的夹角：,定义：,0，,0，夹角,定义为：,cos,=,性质：,|,k,|,=,k,|,|,；,三角不等式(Cauchy不等式)：,，,V,|,(,，,),|,|,|,|,|,。,|,|,|,|,|,|,和,正交,（,，,）=0,6 线性空间的内积及其计算：,设,1,，,2,，,n,是内积空间,V,的基，,，,V,，则有,=,x,1,1,x,2,2,x,n,n,=,(,1,2,n,),X,；,=y,1,1,y,2,2,y,n,n,=,(,1,2,n,),Y,(,，,),= =,Y,H,AX,，,定义内积,在一个基,1,，,2,，,n,中定义内积,定义一个度量矩阵,A,。,度量矩阵,A,度量矩阵的性质：,2.2 标准正交基,Orthogonal Basis,1,正交的向量组：,定义：,1,，,2,，,n,为正交组,(,i,，,j,),=0,性质： 不含零向量的正交向量组线性无关。,2,标准正交基,基,1,，,2,，,n,是标准正交基,(,i,，,j,),=,要点,：,是基，,两两正交，,每一个向量是单位向量,标准正交基的优点：,度量矩阵是单位矩阵，即,A=I,=,(,1,2,n,),X,，,=,(,1,2,n,),Y,，,(,，,),=Y,H,X,=,x,1,1,x,2,2,x,n,n,，,x,i,=,(,，,i,),和,正交,其坐标,X,和,Y,正交,坐标空间,F,n,的,内,积,标准正交基的存在性：求标准正交基的步骤,：,Step1.,Schmidt,正交化,Step2. 标准化,例,已知,(1)证明(X,Y)是V上的内积；,(2)求W的一组标准正交基。,Key point:,1. 找到V的一组基；,2. 将这组基正交化，单位化,“正交补”子空间,(,i),集合的,U,的正交集：,U,=,V,：,U,，,(,，,),=0,(ii),U,是,V,的子空间,U,是,V,子空间,(,iii),V=U,U,。,U,的正交补子空间,四、 正交变换和酉变换,讨论欧氏空间,V,中最重要的一类变换。,1,正交变换的定义；,2,正交变换的充要条件：,（Theorem,P,042,）,T,是内积空间,V,上的线性变换，则下列命题等价：,T,是正交变换,T,保持向量的长度不变,T,把,V,的标准正交基变成标准正交基,T,在标准正交基下的矩阵是正交矩阵,3 正交矩阵的性质,正交矩阵,C,：,C,T,C=I,正交矩阵的判定：,A是正交矩阵,每个行（列）向量是单位向量；,每两行（列）正交。,常见的基本正交变换,：,平面上的旋转,几何描述：,绕坐标原点，逆时针旋转一个,角。,变换矩阵：在自然基下，,R,3,空间中的镜像变换,定义：,S,（,x,）,=,x,2,（,x,，,u,）,u,。,变换矩阵与几何意义,空间中的旋转,几何描述：绕空间中过原点的 一根直线,L,，,旋转一 个,角。,变换矩阵,五、 酉空间和酉变换,把内积空间中的数域换成复数域C, 复内积空间(酉空间),1,酉空间内积和欧氏空间内积的定义的区别；,2,酉变换和正交变换,3 正规变换与正规矩阵的定义；,4 Schur Lema;,5 Hermite矩阵的性质；,6 矩阵的奇异值。,推荐练习题：第一、二章,P,026：,4；5；6；10；11；13；14,P053：,2；5；10,