矩阵的初等行变化

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,9/21/2024 1:48 PM,1 矩阵的初等行变换,目的要求,（3）掌握利用初等行变换解线性方程组的方法.,（1）理解矩阵的初等行变换含义；,（2）掌握利用初等行变换化矩阵为行最简形；,我们知道，对于方程个数与未知数个数相等、且,系数行列式不为零,这一类特殊的线性方程组，可以用,克莱姆法则,求解。,除此之外，在实际应用中大量存在的一般形式的线性方程组，不能用克莱姆法则求解，求解方法与理论必须进一步加以研究.,一、引例：,分析用消元法解下列方程组的过程,解,用“回代”的方法求出解：,小结：,1上述解方程组的方法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形，,（1）交换方程次序,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的,k,倍,用到如下三种变换:,3上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵,B,(方程组（1）的增广矩阵）的变换,二、矩阵的初等行变换,下面三种变换称为矩阵的,初等行变换,:,（1）对调,i，j,两行：,（2）,i,行乘以,非零数,k,：,（3）将,j,行的,k,倍加到,i,行：,用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：,B,与,B,1,所对应的线性方程组同解,于是经有限次初等行变换得：,B,与,B,5,所对应的线性方程组同解,对应的线性方程组为,于是,行阶梯形和行最简形,特点：,（1）可划出一条阶梯线，线的左方和下方,（有数的话）全为零；,（2）每个台阶只有一行，,台阶数即是非零行的行数；,（3）阶梯线的竖线后第一个元素非零，称为非零首元,称,矩阵,B,4,B,5,为,行阶梯形矩阵,特点：,除了行阶梯形的三个特点外，还有,（4）每个台阶的非零首元为1；,（5）每个台阶的非零首元1所在的列其他元素都为0.,行阶梯形矩阵,B,5,还称为,行最简形矩阵,小结,：,解线性方程组的消元法可以用矩阵的初等,行变换来实现；,行最简形对应的方程组的解就是所求方程组的解,.,利用矩阵的初等行变换，将增广矩阵化为,行最简形,;,三、利用初等行变换解方程组举例,行最简形对应的方程组的解就是所求方程组的解,.,利用矩阵的初等行变换，将增广矩阵化为,行最简形,;,方法：,三、利用初等行变换解方程组举例,解：,增广矩阵为,利用初等行变换化增广矩阵为行最简形：,行最简行,即得与原方程组同解的方程组：,解得：,解：,增广矩阵为,利用初等行变换化增广矩阵为行最简形：,第三行对应,矛盾,方程0=1，所以方程组无解.,解：,增广矩阵为,即得与原方程组同解的方程组为：,在,初等行变换,过程中这列0,没有变化，,因此可以,只对系数矩阵,做,初等行变换,解得：,四、,线性方程组的解法总结,（1）应用,克莱姆法则,（2）利用,矩阵的初等行变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法,（1）非齐次线性方程组：,将增广矩阵化为行最简形,（2）齐次线性方程组：,将系数矩阵化为行最简形,利用,矩阵的初等行变换,解线性方程组,思考题,本节课的引例及3个例题的解的存在情况（唯一解、无穷多解、无解）,与增广矩阵的行阶梯形矩阵有什么联系？,目的要求,（3）掌握利用初等行变换解线性方程组的方法.,（1）理解矩阵的初等行变换含义；,（2）掌握利用初等行变换化矩阵为行最简形；,