理论力学3—平面任意力系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,1,1,力线平移定理,定理：,可以把作用在刚体上点A的力,F,平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力,F,对新作用点B的矩。,力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。,23平面任意力系向作用面内一点简化,A,B,M,A,B,F,F,F,F,A,B,F,2,力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶,力平移的条件是附加一个力偶,m,，且,m,与,d,有关，,m=Fd,力的平移定理是力系简化的理论基础。,说明,：,3,O,x,y,i,j,O,O,x,y,F,1,F,2,F,n,F,1,F,2,F,n,M,n,M,2,M,1,M,O,F,R,2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,4,2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,平面汇交力系,力，,F,R,(主矢，作用在简化中心),平面力 偶 系,力偶，,M,O,(,主矩，作用在该平面上),平面任意力系,平面汇交力系+平面力偶系,向一点简化,其中平面汇交力系的合力为,平面力偶系的合成结果为,5,平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的,主矢,。,主矢与简化中心的位置无关,。,2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,6,原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的,主矩,。一般来说，,主矩与简化中心的位置有关。,2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,结论：平面任意力系向作用面内任一点,O,简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心,O,。这个力偶的矩等于该力系对于点,O,的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。,7,固定端（插入端）约束,在生活中常见的有：,雨 搭,8,静力学,固定端（插入端）约束,说明,认为,F,i,这群力在同一,平面内;, 将,F,i,向,A,点简化得一,力和一力偶;,R,A,方向不定可用正交,分力,Y,A,X,A,表示;,Y,A,X,A,M,A,为固定端,约束反力;,Y,A,X,A,限制物体平动,M,A,为限制转动。,9,0,M,O,=0,即简化为一个作用于简化中心的,合力,。这时，简化结果就是合力,（,这个力系的合力）,。,（此时简化结果与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）,3 平面任意力系的简化结果,=0,M,O,0,即简化结果为一,合力偶,M=M,O,此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心,O,无关。, =0，,M,O,=0,，则力系,平衡,下节专门讨论。,简化一般结果：主矢 ，主矩,M,O,，下面讨论简化最后结果：,一、简化最后结果,10,0,M,O,0,为最一般的情况。此种情况还,可以继续,化为一个合力,。,合力 的大小等于原力系的主矢,合力 的作用线位置,11,平面任意力系的简化结果,：合力偶,M,O,；,合力, 结论,即：,平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。,合力矩定理,12,简化中心,：,A点,主矢,思考：三角形分布载荷处理？,主矩,简化最终结果,y,x,m,A,d,x,l,R=,分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称,分布荷载,。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为,平行分布线荷载,，简称,线荷载,。,13,结论：,1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。,2、合力的方向与线荷载的方向相同。,3、合力的作用线通过荷载图的形心。,3.1.5 平行分布线荷载的简化,1、均布荷载,2、三角形荷载,3、梯形荷载,l,/2,l,/2,q,Q,Q,q,q,2,q,1,可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加,14,6,3,4,A,B,C,例, 图示力系，已知：,P,1,=100N,P,2,=50N,P,3,=200N,图中距离,单位cm。,求：1、力系主矢及对,A,点之矩？,2、力系简化最后结果。,解：,1、建立坐标系,x,y,2、,X=,F,x,=P,3,=200N,Y,=,F,y,=P,1,+,P,2,=100+50 =150N,主矢, =36.9,15,A,B,C,x,y,2、简化最终结果,L,A,=,m,A,h,主矢,主矩,最终结果,合力,大小：,方向:, =36.9,位置图示：,方向：, =36.9,在A点左还是右？,16,24,平面任意力系的平衡条件和平衡方程,1、 平衡条件,平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零,。即,17,2 、,平衡方程,即：,平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零,。上式称为,平面任意力系的平衡方程,。,由于,所以,24,平面任意力系的平衡条件和平衡方程,18,解：以刚架为研究对象，受力如图。,解之得：,例1,例1 求图示刚架的约束反力。,A,P,a,b,q,A,P,q,F,Ay,F,Ax,M,A,19,例2,例2 求图示梁的支座反力。,解：以梁为研究对象，受力如图。,解之得：,A,B,C,P,a,b,q,m,A,B,C,P,q,m,F,B,F,Ay,F,Ax,20,(1) 二矩式,其中,A,、,B,两点的连线,AB,不能垂直于投影轴,x,。,由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若,AB,连线不垂直于,x,轴,(或,y,轴）,，则力系必平衡。,3 平衡方程的其它形式,21,(2) 三矩式,其中,A,、,B,、,C,三点不能在同一条直线上。,注意：,以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数,。,由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过,A、B,两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过,A、B、C,三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，则力系必平衡。,22,例3,例3 悬臂吊车如图所示。横梁,AB,长,l,2.5 m，重量,P,1.2 kN，拉杆,CB,的倾角,a,30，质量不计，载荷,Q,7.5 kN。求图示位置,a,2 m时拉杆的拉力和铰链,A,的约束反力。,23,例3,解：取横梁,AB,为研究对象。,A,B,E,H,P,Q,F,T,F,Ay,F,Ax,a,a,从(3)式解出,代入(1)式解出,代入(2)式解出,24,例3,C,A,B,E,H,P,Q,F,T,F,Ay,F,Ax,a,a,如果再分别取,B,和,C,为矩心列平衡方程得,有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,4,5 ；3,4,5,25,力的作用线在同一平面且相互平行的力系称,平面平行力系,。,平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则,F,x,0,自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：,平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：,其中,AB,连线不能与各力的作用线平行。,4,平面平行力系的平衡方程,F,2,F,1,F,3,F,n,26,例4 已知：塔式起重机,P,=700kN,W,=200kN (,最大起重量)，尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块,Q,=？ 当,Q,=180kN时，求满载时轨道,A、B,给起重机轮子的反力？,27,限制条件：,解： 首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的Q：,空载时，W=0,由,限制条件为：,解得,因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：,解得:,28,求当,Q,=180kN，满载,W,=200kN,时，,N,A,N,B,为多少,由平面平行力系的平衡方程可得：,解得：,29,2-5 静定与静不定问题的概念,物体系统的平衡,一、静定与静不定问题的概念,我们学过：,平面汇交力系 有两个独立的平衡方程，只能解两个未知量。,一个独立方程，只能解出一个未知量。,三个独立方程，只能解出三个未知量。,平面力偶系,平面,任意力系,当：未知量数目独立方程数目时，是静定问题（可求解）,未知量数目独立方程数目时，是静不定问题（超静定问题）,30,例,物体受平面汇交力系作用,未知量数 2,= 独立平衡方程数 2,静定问题,未知量数 3, 独立平衡方程数 2,静不定问题,31, 物体受平面平行力系作用,未知量数 2,= 独立平衡方程数 2,静定问题,未知量数 3, 独立平衡方程数 2,静不定问题,32,静不定问题在变形体力学,（,材力,结力,弹力）中，除列出静力学平衡方程外，还需考虑变形谐调条件，列出补充方程来联合求解,。,静定问题,未知量数 3,= 独立平衡方程数 3,静不定问题,未知量数 4,独立平衡方程数 3, 物体受平面一般力系作用,33,判断各图的超静定次数,34,例,二、物体系统的平衡问题,外力,：外界物体作用于系统上的力叫外力。,内力,：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。,物体系统（,物系,）：由若干个物体通过约束所组成的系统,称为物体系统。, 物体系统,35, 解物系问题的一般方法,由整体 局部 或 由局部 整体, 物系平衡的特点, 物系平衡, 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方,程，整个系统可列3,n,个方程（设物系中有,n,个物体,每个物体都,受有平面一般力系作用）, 由,n,个刚体组成的物系，其中,n,1,个刚体为二力体或受有,平,面力偶系作用，,n,2,个刚体受有平面汇交力系或平行力系作用，,n,3,个刚体受有平面一般力系作用，且：,n = n,1,+,n,2,+,n,3,，则整个系统,可列出,m,个独立的平衡方程，而,m = n,1,+,2,n,2,+,3,n,3,，可求解,m,个未,知量。,36,例5,例5 求图示三铰刚架的支座反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,可解得：,C,B,q,a,a,a,A,F,F,Ax,F,Ay,q,C,B,A,F,F,Bx,F,By,37,例5,再以,AC,为研究对象，受力如图。,解得：,F,Ax,F,Ay,F,Cx,F,Cy,A,F,C,C,B,q,a,a,a,A,F,38,例6,例6求图示多跨静定梁的支座反力。,解：先以,CD,为研究对象，受力如图。,再以整体为研究对象，受力如图。,C,B,q,2,2,F,A,D,1,3,F,Cx,F,Cy,F,D,q,F,F,Ax,F,Ay,F,D,F,B,q,解得,C,D,C,B,A,D,39,例7,例7 求图示结构固定端的约束反力。,解：先以,BC,为研究对象，受力如图。,再以AB部分为研究对象，受力如图。,求得,C,B,q,F,A,M,b,a,a,F,B,M,C,B,F,C,F,B,F,Ay,q,F,B,A,M,A,F,Ax,40,例9,例8,图示结构，各杆在,A,、,E,、,F,、,G,处均为铰接，,B,处为光滑接触。在,C,、,D,两处分别作用力,P,1,和,P,2,，且,P,1,P,2,500 N，各杆自重不计，求,F,处的约束反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,解得,：,2m,2m,2m,2m,2m,2m,A,D,E,F,G,B,C,P,1,P,2,P,1,P,2,A,D,E,F,G,B,C,F,Ax,F,Ay,F,B,41,例9,再以,DF,为研究对象，受力如图。,解得：,最后以杆,BG,为研究对象，受力如图。,解得：,P,2,D,E,F,F,Ey,F,Fy,F,Fx,F,Ex,F,Gy,F,B,F,G,B,F,Gx,F,Fy,F,Fx,2m,2m,2m,2m,2m,2m,A,D,E,F,G,B,C,P,1,P,2,42,A,B,C,D,例10,例10 三根等长同重均质杆(重,W,)如图在铅垂面内以铰链和绳,EF,构成正方形。已知：,E,、,F,是,AB,、,BC,中点，,AB,水平，求绳,EF,的张力。,解1：取,AB,分析，受力如图。不妨设杆长为,l,。,再以整体为研究对象，受力如图。,A,B,C,D,F,By,F,Bx,A,B,F,Ax,F,Ay,W,F,T,W,W,W,F,Ax,F,Ay,F,Dx,F,Dy,43,例10,最后以,DC,为研究对象，受力如图。,联立求解(1)、(2)、(3)得：,F,Cy,F,Cx,D,C,F,Dx,F,Dy,W,A,B,C,D,44,解2：先以,BC,为研究对象，受力如图。,再以,DC,为研究对象，受力如图。,F,Cx,F,Cy,F,Bx,F,By,B,C,W,F,T,A,B,C,D,45,例10,联立求解(4)、(5)、(6)即可的同样结果。,最后以整体为研究对象，受力如图。,A,B,C,D,W,W,W,F,Ax,F,Ay,F,Dx,F,Dy,A,B,C,D,解2：先以,BC,为研究对象，受力如图。,再以,DC,为研究对象，受力如图。,46,例11,例11 三无重杆,AC,、,BD,、,CD,如图铰接，,B,处为光滑接触，,ABCD,为正方形，在,CD,杆距,C,三分之一处作用一垂直力,P,，求铰链,E,处的反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,解得：,P,l,D,l,2,l,/3,C,A,B,E,P,D,C,A,B,E,F,Ax,F,Ay,F,B,47,E,P,D,2,l,/3,C,B,例11,下面用不同的方法求铰链,E,的受力。,方法1：先以,DC,为研究对象。,再以,BDC,为研究对象。,类似地，亦可以,DC,为研究对象，求,F,Dy,，再以,ACD,为研究对象求解。,P,D,2,l,/3,C,F,Dx,F,Dy,F,Cx,F,Cy,F,B,F,Ex,F,Ey,F,Cx,F,Cy,48,例11,方法2：分别以,ACD,和,AC,为研究对象。,联立求解以上两方程即得同样结果。,类似地，亦可以,BDC,和,BD,为研究对象，进行求解。,P,2,l,/3,D,C,A,E,F,Ex,F,Ey,F,Dx,F,Dy,F,Ax,F,Ay,C,A,E,F,Ax,F,Ay,F,Ex,F,Ey,F,Cx,F,Cy,49,例12,例12 两根铅直梁,AB,、,CD,与水平梁,BC,铰接，,B,、,C,、,D,均为光滑铰链，,A,为固定支座，各梁的长度均为,l,2 m，受力情况如图所示。已知水平力,F,6 kN，,M,4 kNm，,q,3 kN/m。求固定端,A,及铰链,C,的约束反力。,A,B,C,D,F,2,l,/3,l,/2,M,q,0,M,B,C,F,By,F,Bx,F,Cx,F,Cy,解: (1) 取,BC,分析,求得结果为负说明与假设方向相反。,50,例12,(2) 取,CD,分析,F,C,D,F,Cx,F,Cy,F,Dx,F,Dy,求得结果为负说明与假设方向相反。,A,B,C,D,F,2,l,/3,l,/2,M,q,0,51,例12,M,q,0,F,Cx,F,Cy,F,Ay,M,A,F,Ax,B,C,A,(3) 取,AB,、,BC,分析,求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。,A,B,C,D,F,2,l,/3,l,/2,M,q,0,52,A,B,E,D,a,x,1,2,3,4,E,A,C,B,D,例13,例13 编号为1、2、3、4的四根杆件组成平面结构，其中,A,、,C,、,E,为光滑铰链，,B,、,D,为光滑接触，,E,为中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅垂向下的力,F,，试证明无论力,F,的位置,x,如何改变，其竖杆 1 总是受到大小等于,F,的压力。,F,解：本题为求二力杆（杆1）的内力,F,A,1,或,F,C,1,。为此先取杆2、4及销钉,A,为研究对象，受力如图。,F,F,A,1,F,Ey,F,Ex,F,N,D,b,上式中,F,N,D,和,F,N,B,为未知量，必须先求得；为此再分别取整体和杆2为研究对象。,F,N,B,53,例13,A,B,F,F,Ay,F,Ax,取整体为研究对象，受力如图。,F,N,B,x,a,1,2,3,4,E,A,C,B,D,b,取水平杆2为研究对象，受力如图。,代入（a）式得,F,A,1,为负值，说明杆1受压，且与,x,无关。,F,F,N,D,F,Cy,F,Cx,54,例14（,习题3-32）,F,2,F,1,A,B,C,D,4.5,4.5,3,4,2,2,习题332,构架尺寸如图所示(尺寸单位为m)，不计各杆件自重，载荷,F,1,=120 kN,F,2,=75 kN。求,AC,及,AD,两杆所受的力。,F,2,F,1,A,B,C,F,CD,F,Ax,F,Ay,F,AD,解：1.取三角形,ABC,分析，其中,A,、,C,处应带有销钉：,4,3,CD,杆受压力。,（教材参考答案是87.5 kN,),55,例14（,习题3-32）,F,2,F,1,A,B,C,D,4.5,4.5,3,4,2,2,F,1,B,C,F,Bx,F,By,F,CA,F,CD,2. 取,BC,分析，注意在,C,处应带有销钉。,56,由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统,桁架,2-6 平面简单桁架的内力分析,工程中的桁架结构,57,工程中的桁架结构,58,桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。,桁架的特点：直杆，不计自重，均为二力杆；杆端铰接；,外力作用在节点上。,力学中的桁架模型,基本三角形,静 力 学,59,力学中的桁架模型,简化计算模型,节点,杆件,静 力 学,60,桁架是由杆件彼此在两端用铰链连接形成的几何形状不变的结构。,桁架中所有杆件都在同一平面内的桁架称为,平面桁架,。桁架中的铰链接头称为,节点,。,为简化桁架计算，工程实际中采用以下几个假设：,(1)桁架的杆件都是直杆；,(2)杆件用光滑铰链连接；,(3)桁架所受的力都作用到节点上且在桁架平面内；,(4)桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。,这样的桁架，称为,理想桁架,。,26 平面简单桁架,61,桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为研究对象，求桁架杆件内力的方法即为,节点法,。,1,节点法,62,例14 平面桁架的尺寸和支座如图，在节点,D,处受一集中荷载,F,= 10 kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,1,节点法,2m,F,2m,A,B,C,D,30,1,3,4,2,5,A,B,30,1,3,4,D,C,F,F,By,F,Ay,F,Ax,63,再分别以节点,A,、,C,、,D,为研究对象，受力如图。,1,节点法,F,Ay,F,Ax,F,1,F,2,A,F,F,3,F,2,F,5,D,F,3,F,4,F,1,C,节点,A,节点,C,节点,D,解上述5个议程得,其中1，4杆受压。,64,三杆节点无载荷、其中两杆在,一条直线上，另一杆必为零力杆。,四杆节点无载荷、其中两两在,一条直线上，同一直线上两杆,内力等值。,两杆节点无载荷、且两杆不在,一条直线上时，该两杆是零力杆。,特殊杆件的内力判断,65,例13,已知,P d,求：,a.b.c.d,四杆的内力？,解,：由零杆判式,研究,A,点：,66,用假想的截面将桁架截开，取至少包含两个节点以上部分为研究对象，考虑其平衡，求出被截杆件内力，这就是,截面法,。,2,截面法,67,例15,F,Ay,F,Ax,F,By,例14 图示平面桁架，各杆长度均为1m，在节点,E,，,G,，,F,上分别作用荷载,F,E,10 kN，,F,G,7 kN，,F,F,5 kN。试求杆1、2、3的内力。,解：取整体分析,解得,A,B,C,D,E,F,G,F,E,F,G,F,F,1,2,3,A,B,C,D,E,F,G,F,E,F,G,F,F,1,2,3,A,B,C,D,E,F,G,F,E,F,G,F,F,1,2,3,68,A,B,C,D,E,F,G,F,E,F,G,F,F,1,2,3,A,F,E,C,D,E,解得,为求1、2、3杆的内力，可作一截面,m, n将三杆截断，选定桁架左半部分为研究对象。假定所截断的三根杆都受拉力，受力如图所示，为一平面任意力系。,求得1杆受力为负值，说明1杆受压。,例15,F,1,F,Ay,F,Ax,F,2,F,3,69,例15截面法思考题,思考题：求下列各桁架指定杆件的轴力。,70,3,截面法与节点法的综合应用,例16,悬臂式桁架如图所示，试求杆件GH，HJ和HK的内力。,2m,2m,2m,2m,1.5m,1.5m,A,B,E,H,K,D,G,J,C,F,I,L,P,71,解:,取mm截面把桁架分为两部分.,2m,2m,2m,2m,1.5m,1.5m,A,B,E,H,K,D,G,J,C,F,I,L,P,m,m,72,取右半桁架为研究对象画受力图。,m,I,(,F,i,) = 0,3S,HK,- 6P = 0,S,HK,= 2P,2m,2m,2m,A,B,E,H,D,G,J,C,F,I,P,m,m,S,HK,S,HJ,S,GI,S,GJ,n,n,再取nn截面截断,桁架并取右半桁架为研究对象画受力图。,73,m,F,(F,i,) = 0,n,2m,2m,A,B,E,D,G,C,F,P,S,EH,S,EG,S,DF,S,CF,n,3S,EH,- 4P = 0,取节点H为研究对象画受力图。,F,x,= 0,S,HK,H,S,HJ,S,HE,S,HG,cos, = 0.8,sin, = 0.6,S,HE,- S,HK,+ S,HG,cos,= 0,F,y,= 0,- S,HJ,- S,HG,sin,= 0,74,本章结束,75,