专升本高等数学课件知识归纳大全

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,专升本高等数学课件知识归纳大全,2.函数关系两要素:,(1)对应关系f; (2)定义域D(f),例求 ,第一章函数,极限,连续,2.函数关系两要素:,(1)对应关系f; (2)定义域D(f),例,求,（,08,）下列函数中，定义域为,的函数是（ ）,（,B,）,（,C,）,（,D,）,（,A,）,（模,C,）,(,二,),函数特性,1.,单调性,2.,奇偶性,3.,周期性,4.,有界性,例,偶函数,奇函数,周期函数,（,10,）,（,08,） 是（,D,）,（,A,）,（,B,）,（,C,）单调增函数,（,D,）,奇函数,偶函数,非单调函数,（,07,） 均为奇函数，,则下列为偶函数的是 （ ）,（,A,）,（,B,）,（,C,）,（,D,）,（,07,）,eg,(,三,),反函数,1.,反函数定义,.,特点,2.,举例,（,05,）,(,四）复合函数,1.,定义,2.,分解标准,-,分解到每一步都是基本初等函 数的和,差,积,商为止,.,3.,复合函数定义域求法,注意：并非任何两个函数都可以复合,（,03,）,（,07,）,（,08,）,(,五,),基本初等函数 常用的有六类,14,个,(,六）初等函数由基本初等函数（）经过有限次的和,差,积,商运算，（）有限次的复合运算，（）且可用一个公式表示的函数,.,非,初等函数举例,:,二,.,极限,(,一,),极限定义,(,二,),性质,单调有界数列必有极限,.,夹逼定理,3.,4.,四则运算,(,有极限,;,有限个,),(,三,),求极限,1.,两个重要极限,(06),(03),(09),(10),2.,其他,举例,3.,罗必塔法则,三,.,无穷小,.,无穷大,1.,定义,2.,性质,例题,(,性质,),3.,无穷小阶的比较,(,教材,P27),设,例题,(,阶比较,),(05),（,07,）当,时，下列函数中能成为,的等价无穷小的是（,D,）,（,B,）,（,C,）,（,D,）,（,A,）,（,09,）,当,时，下列四组函数中为等价,无穷小的是 （,B,）,（,A,）,（,B,）,（,C,）,（,D,）,4.,等价无穷小代换定理,(,教材,P27,）,定理,结论,例题,(,等价无穷小代换,),四,.,连续与间断,(,一,),连续,1.,2,.,连续三要素,3.,左右连续,(,二,),间断点分类,第一类（ 都存在的间断点）,(1),可去间断点,(2),可去间断点,(3),跳跃间断点,第二类（ 至少一个不存在的间断点）,(4),无穷间断点,(5),振荡间断点,（,07,）,（模,A,）,eg,(,三,),闭区间上连续函数的性质,定理,1,定理,2,定理,3(,介值定理） （教材,P3132),定理,4,（根值定理）,（模,B,）,eg,（模,C,）,第二章导数与微分,一,.,导数的概念,1.,定义,2.,几何意义,3.,左右导数,4.,可导与连续的关系,（,10,）,二,.,求导数归纳,2.,四则运算,3.,反函数求导,例,1.,基本导数公式,（,04,）,(06),4.,复合函数求导,(10),(10),计算题,5.,隐函数求导,显函数,-,隐函数,-,（,09,）,对数求导法,(1),例,6.,参数方程求导,(1),(2),(3),(4),(6),（,09,）,(5),（,08,）,7.,高阶导数,例,例,(,高阶导数,),8.,分断函数求导,例题,(,分断函数求导,),讨论 在 的连续性；,讨论 在 的可导性；,求,9.,从定义求导,定义,例题,(,从定义求导,),(05),(10),则,2,（模,B,）,三,.,微分,(,一,),概念,1.,定义,2.,几何意义,3.,微分两个特性,4.,微分形式的不变性,(,二,),计算,1.,公式,2.,四则运算,第三章 中值定理,.,导数应用,一,.,中值定理,(,一,) Rolle Th,若,则至少,使,注意,:(1),条件是充分条件,; (2),条件不成立,结论未必成立,.,例,不求 的导数,验证 必有根,验证,对,的正确性,Rolle Th,不求 的导数,说明 有几个实根,并指出 根所在区间,.,(10),(,二,)Lagrange Th,若,则至少,使,推论,:,若在,则在,例题,(,Lagrange Th,),证明,:,例题,(,Lagrange Th,),验证 在 对,Lagrange Th,的正确性,;,验证 在 对,Lagrange Th,的正确性,;,证明,:,对,恒有,证明,:,当 恒有,(,三,)Cauchy Th,若,则至少,使,二,.,罗必塔法则,定理,:,若,则,罗必塔法则几种形式,例题,(,罗必塔法则,),注意,(1),只有,才可考虑用,Th,(2),每次用,Th,后,必须化简,不能断定 不存在,.,只能说明,Th,失效,（,4,）还原例子,例题,(,罗必塔法则,),（,03,）,三,.,单调性,.,极值,.,凹凸,.,拐点,.,作图,(,一,),单调性,Def1,Th1,例题,(,单调性,),(10),讨论单调性,极值步骤,1.,求,2.,求驻点与不可导点,3.,由两种点分,D(f),为若干区间,由,Th,判别单调性,极值,.,例题,(,单调性证明不等式,),(,二,),极值,Def2.,定义在,在,例题,(,极值,),求极值,求极值,求极值,极值判别法,在,可导,在 连续,.,Th2,极值判别法,Th3,极值存在的必要条件,Th4,极值点可从,驻点,与,不可导点,找,1.,可导函数的极值点 驻点,2.,不可导点也可能取得极值,举例,驻点取得极值,驻点不取得极值,不可导点不取得极值,不可导点取得极值,(,三,),最大值,.,最小值,1.,一般情况,只有一个,极大,(,小,),值,而无极小,(,大,),值,则,例题,(,最大值,.,最小值,),例题,(,最大值,.,最小值,),无盖圆柱形水池,体积定值,V,底造价是侧面造价的,2,倍,.,问,:,半径,r=?,高度,h=?,用费最省,?,(,四,),凹凸,.,拐点,1.,凹凸定义,2.,凹凸判别,3.,拐点判别,4.,两种特殊情况,讨论曲线凹凸与拐点步骤,1.,求,2.,求使 与 不存在的点,3.,由两种点分,D(f),为若干区间,由,Th,判别曲线凹凸与拐点,.,（,10,）,eg,eg,(,五,),渐近线,.,作图,1.,水平,渐近线,2.,垂直渐近线,3.,作图步骤,(1),求,D(f),Z(f),(2),奇偶性、周期性,(3),单调性、极值,(4),凹凸性、拐点,例,3.,作图步骤,(5),渐近线,(6),特殊点,(7),描图,第四章 不定积分,概念,.,性质,换元积分法,分部积分法,几种特殊类型函数的积分,概念,.,性质,一,.,原函数,Def1,若,说明,:1.,2.,则称,二,.,不定积分,不定积分的几何意义,Def2,三,.,基本积分公式,P88,四,.,不定积分的性质,1.,2.,3.,4.,例题,换元积分法,换元积分法,特点,Th,(,一,),凑微分举例,1.,形如,凑微分举例,2.,凑微分举例,3.,凑微分举例,4.,凑微分举例,5.,凑微分举例,6.,(,二,),特殊三角函数积分举例,换元积分法,Th,特点,类型,1.,三角置换,类型,2.,含,类型,3.,类型,3(,续,),分部积分法,设,类型,一,.,二,.,三,.,(,分部,2,次,要移项,),例题,(,分部积分法,),例题,(,分部积分法,),几种特殊类型函数的积分,一,.,有理函数积分,1.,有理真分式的分解,2.,待定系数,(1),比较法；（,2,）代入法,例,3,有理真分式的积分,例,二,.,三角函数有理式的积分,1.,万能置换,则,例题,(,万能置换,),2.,凑微分,三,.,简单无理函数的积分,第五章 定积分,定积分的概念,定积分的性质,微积分的基本公式,定积分的换元积分法,定积分的分部积分法,广义积分,定积分的概念,一,.,引例,1.,曲边梯形面积,2.,变速直线运动的路程,二,.,定积分的,Def,注,(1)2,个有关,; (2) 3,个无关,;,(3),注,(4),充分条件,三,.,几何意义,定积分的性质,定积分的性质,例题,(,概念,.,性质,),1.,比较大小,. 2.,估值,.,微积分的基本公式,一,.,变上限积分,二,.,牛顿,-,莱布尼兹公式,定积分的换元积分法,注意：,1,换元法实质：,换元同时换限,2,遇到被积函数含有偶次根式，,注意取算术根,结论,定积分的分部积分法,广义积分,一,.,积分区间为无穷的广义积分,二,.,被积函数含无穷间断点的广义积分,第五章 定积分,定积分的元素法,平面图形的面积,体积,平面曲线的弧长,定积分的物理应用,定积分的几何应用,(,一,),一个量,Q,可用定积分计算的条件,(1)Q,是,a,b,上的定量,(2)Q,对,a,b,具有可加性,(3)x,x+dx,上部分量 可近似表为,简记为,(,二,),元素法步骤,(1),建立坐标系,确定积分变量,(2),求 上部分量 的近似值,(3),定限积分求总量,定积分的几何应用,一,.,平面图形的面积,二,.,体积,三,.,平面曲线的弧长,(,模,A)29.,求由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积；且求上述平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。,(eg).,求由曲线 与它的过原点的一条,切线及 轴所围成的平面图形的面积；,且求上述平面图形绕 轴旋转一周所得,旋转体的体积。,(03).(1),求曲线 在点 的切线方程；,（,2,）由曲线、切线及 轴所围成的平面图形,的面积；,（,3,）求上述平面图形绕 轴旋转一周所得,旋转体的体积。,(eg).,求正劈锥的体积。,定积分的物理应用,一,.,变力作功,二,.,液体静压力,第七章,.,向量代数与空间解几,7.1,空间直角坐标系,.,一,.,空间直角坐标系,.,八个挂限,点的坐标符号,1(+,+,+) 2(-,+,+) 3(-,-,+) 4(+,-,+),5(+,+,-) 6(-,+,-) 7(-,-,-) 8(+,-,-),2.,空间中点的坐标,二,.,空间两点间的距离,设点,则,向量代数,一,.,向量概念,与 同方向的单位向量,二,.,向量加法,平行四边形法则,三角形法则,三,.,数乘向量,向量代数,四,.,向量在坐标轴上的投影,1.,两向量夹角,2.,向量在轴上的投影,向量代数,五,.,向量分解,.,向量坐标,.,向量的模,.,方向余弦, 点,向径,坐标表达式,分量表达式,向量代数,五,.,向量分解,.,向量坐标,.,向量的模,.,方向余弦, 点,向量,坐标表达式,分量表达式,向量的模,向量代数,五,.,向量分解,.,向量坐标,.,向量的模,.,方向余弦,向量的方向余弦,向量代数,六,.,两向量的数量积,1.Def,性质,向量代数,六,.,两向量的数量积,2.,公式,向量代数,六,.,两向量的数量积,3.,两向量的夹角,例题,(,数量积,),(1),例题,(,数量积,),(05),单位向量,满足,则,(3)(04),向量代数,六,.,两向量的向量积,1. Def,性质,六,.,两向量的向量积,性质,(3),基本单位向量性质,(4),向量代数,六,.,两向量的向量积,2.,公式,向量代数,六,.,两向量的向量积,3.,结论,例题,(,向量积,),(1),求与,垂直的单位向量,(2),例题,(,向量积,),(3) (07),满足,则,(,答案,.6),曲面与方程,一,.,曲面与方程,1.Def,若,(1),纯粹性,(2),完备性,则称 为曲面,S,的方程,曲面,S,是方程 的图形,.,曲面与方程,2.,建立轨迹方程步骤,(1),设,M(x,y,z),为轨迹上的任一点,依轨迹条件建立等式,(2),以,M,点坐标代入等式得方程,(3),化简方程,(4),证明,(,略,),曲面与方程,3.,曲面研究两个问题,(1),已知曲面作为点的几何轨迹，,求其方程 ；,(2),已知曲面方程 ，,研究曲面性质。,曲面与方程,二,.,柱面,Def,动直线 平行 轴,动直线,沿,定曲线,平行移动,(,母线,) (,准线,),说明,:,三元方程,少一个字母,则表示柱面,柱面 准线 母线,母线,/Z,轴,母线,/X,轴,母线,/Y,轴,柱面,(,例题,),(1),圆,柱面,(2),抛物,柱面,(3),椭圆,柱面,(4),双曲,柱面,曲面与方程,三,.,旋转曲面,旋转曲面,(,例题,),(1),(2),平面与方程,一,.,点法式,平面与方程,二,.,一般式,讨论,平面与方程,三,.,截距式,四,.,两平面夹角,平面与方程,五,.,点到平面的距离,平面与方程,(,例题,),(1),说明平面特点,(2),(3),(4),平面与方程,(,例题,),(5),求两平面,夹角,(6),求,P,到 距离,平面与方程,(,例题,),(7),求过 的平面,(8),过三点,求,7.5,空间曲线,一般方程,注,:,空间曲线方程不唯一,7.5,空间曲线,例题,(1),(2),(3),与,空间直线,一,.,一般式方程,空间直线,二,.,点向式,(,对称式,),空间直线,三,.,参数式,空间直线,四,.,两直线夹角,空间直线,两直线的关系,空间直线,五,.,直线与平面的夹角,空间直线,五,.,直线与平面的夹角,空间直线,直线与平面的关系,例题,(,空间直线,),(1),求过,且过点 的平面方程,(2),求过 的直线,(3),求过点,且垂直,所在平面的直线方程,例题,(,空间直线,),(4),直线,化为点向式,(5),求两直线夹角,例题,(,空间直线,),(6),求过点,与,都平行的直线,二次曲面,一,.,椭球面,截痕法,二次曲面,二,.,双曲面,1.,单叶双曲面,2.,双叶双曲面,二次曲面,三,.,抛物面,1.,椭圆抛物面,2.,双曲抛物面,例题,(,二次曲面,),(1),指出图形名称,例题,(,二次曲面,),(2),指出截痕表示什么曲线,第六章,.,微分方程,微分方程的概念,引例,:,曲线上任一点 的切线斜率为,且曲线过点,求曲线方程,.,基本概念,:,常微分方程 偏微分方程,微分方程的通解 微分方程的特解,微分方程的初始条件,微分方程的阶,微分方程的概念,举例,例题,(,微分方程的概念,),(1),验证函数是否为微分方程的解,若是,则指出是通解或特解,.,例题,(,微分方程的概念,),(2),物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比,试以微分方程描述这物理现象,.(,设空气温度为,),线性微分方程的含义,可分离变量的微分方程,形式,方法,-,分离变量法,例题,(,分离变量法,),齐次微分方程,形式,方法,(1),例题,(,齐次微分方程,),(1),(2),一阶线性微分方程,一,.,方法,-,分离变量法,通解,一阶线性微分方程,二,.,方法,-,常数变易法,通解,例题,(,一阶线性微分方程,),(1),(2),(3),例题,(,一阶线性微分方程,),(4),(5),(6),(7),（,07,）,下列方程为,一阶线性非齐次,微分方程的是 （ ）,特殊高阶微分方程,一,.,例,方法,-,降阶法,特殊高阶微分方程,二,.,特殊高阶微分方程,三,.,例题,(,特殊高阶微分方程,),(1),(2),(3),(4),二阶线性常系数齐次微分方程,形式,方法,-,特征根法,二阶线性常系数齐次微分方程,Th1,Th2,二阶线性常系数齐次微分方程,特征方程,微分方程通解,例题,( ),二阶线性常系数非齐次微分方程,形式,Th,二阶线性常系数非齐次微分方程,特解形式,一,.,二阶线性常系数非齐次微分方程,特解形式,二,.,二阶线性常系数非齐次微分方程,特解形式,三,.,例题,( ),例题,( ),例题,( ),总归纳,补缺漏,总归纳,.,补缺漏,(1),(2),(3),总归纳,.,补缺漏,(4),(5)(03),(6),曲线,y=f(x),在,(a,b),单调减,且凹,.,则,总归纳,.,补缺漏,(7),(8),（研）,(9),断点个数为,下面,在,x=2,连续而不可导的函数是,总归纳,.,补缺漏,(10),(11),(12),(13),在 处的导数存在的,最高阶数是,B,(14),(15),定,总归纳,.,补缺漏,总归纳,.,补缺漏,(16),极值点是,拐点是,(17),(18),总归纳,.,补缺漏,(19),(20),总归纳,.,补缺漏,(21),在 取得极大值,则必有,(22),(24),(23),(25),总归纳,.,补缺漏,(26),(27),总归纳,.,补缺漏,(29),(28),(30),总归纳,.,补缺漏,(31),(32),总归纳,.,补缺漏,(34),(33),总归纳,.,补缺漏,(35),(36),总归纳,.,补缺漏,(37),(38),(39),总归纳,.,补缺漏,(40),总归纳,.,补缺漏,(41),总归纳,.,补缺漏,谢谢！,