流体流动微分方程

第,6,章 流体流动微分方程,本章任务：,在上一章微分法分析一维不可压流动的基础上，进一步将微元体分析方法推广应用于,三维微元控制体,。流体流动的微分方程包括连续性方程,(,质量守恒,),、运动方程,(,动量守恒,),和能量方程,(,能量守恒,),。本章主要研究连续性方程和动量方程的微分方程。,能量方程：,本课程不专门研究，原因如下：, 传热学与工程热力学课程将专门研究能量方程；,和,随温度变化不大时，温度对流场,(,速度和压力,),的影响很小，这时,可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。,能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导,相似，方程的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。,微分方程方法：,流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。,微元体分析方法的核心,：,将,雷诺输运定理,应用于流体,微元控制体,。,6.1,连续性方程,微元体及其表面的质量通量,连续性方程是任何流体流动都必须满足的方程，因此它是流体力学最基本的方程之一。,微元体内的,质量变化率,输入微元体,的质量流量,6.1.1,直角坐标系中的连续性方程,-,输出微元体,的质量流量,0,取,三维微元体,为,控制体,质量守恒,条件,(,第,4,章,):,+,1.,X,方向,:,dt,时间内沿从六面体,x+dx,处,(,输,出,),和,x,处,(,输,入,),的质量差：,Y,方,向 :,； Z方向：,输入微元体,的质量流量,-,输出微元体,的质量流量,2.,d,t,时间内, 整个六面体,中, “输,出,减,输,入,”,的质量差:,=,连续性方程,3.,d,t,时间内,，,微元体内的质量变化,整理得,连续性方程,(,微分形式的质量守恒方程,),：,连续方程物理意义：,流场中任一空间点的质量守恒。,矢量形式,：,导出过程未作任何假设，故适用于层流,/,湍流,/,牛顿流体,/,非牛顿流体。,4.,代入质量守恒条件，得：,连续性方程,对不可压缩流体流动,：,一维不可压流动的连续方程,:,或：,连续性方程,连续性方程,变为：,因为密度被当作常数，故对于不可压缩流动，无论稳态或非稳态，其连续性方程都一样。,可压缩流动的情况，稳态或非稳态，连续性方程不同。,柱坐标系中的连续方程,:,不可压缩流体流动：,连续性方程,y,x,z,r,dr,dz,柱,坐标系中微元体,6.1.2,柱坐标和球坐标系中,的连续性方程,球坐标系中的连续方程,:,不可压缩流体流动,:,y,x,z,r,dr,球,坐标系中微元体,6.2.1,作用于微元体上的力,基本思路：,对流场中的质点,(,微元控制体,),，应用,雷诺输运定理,推导建立微分形式的,动量方程,(,运动方程,),。,微元体上的表面力和体积力,应力下标的意义,每个应力有两个下标，,第一个下标,表示应力作用面的法线方向，,第二个下标,表示应力的作用方向。,应力正负的规定,应力与所在平面的外法线方向,相同为正，否则为负。,6.2,以应力表示的运动方程,体积力,(,质量力、彻体力,):,f,i,表面力,(,应力,):,ii,ij, ,运动方程,应力状态及切应力互等定律,微元体上,X,和,Z,方向的表面力,粘性流场中任意一点的应力有,9,个分量,，包括,3,个正应力,分量和,6,个切应力分量：,应力状态,切应力互等定律,在,6,个切应力分量中，互换下标的每一对切应力是相等的。,定理证明,?,运动方程,微元体表面力的总力分量,X,方向的表面力,y,方向的表面力,z,方向的表面力,运动方程,6.2.2,动量流量及动量变化率,y,x,z,dz,dx,dy,动量在微元体表面的输入与输出,动量,流,量,=,动,量通量,流通面积,=,uuA,动量,通,量,=,质,量通量,流动速度,=,uu,动量流量,:,输出,-,输入,X-,方向,:,Y-,方向,:,Z-,方向,:,微元体内的动量变化率,x,方向：,y,方向：,z,方向：,运动方程,6.2.3,以应力表示的运动方程,分别将微元控制体中,x-,y-,和,z-,方向的动量各对应项代入雷诺输运定理，可得三个方向的运动微分方程。,X,：,Y,：,Z,：,注：,推导过程无假设，故适用于层流、湍流、牛顿流体、非牛顿,流体等,任意情况,。,运动方程,运动方程的物理意义：,方程左边：,括号内是速度,v,x,的随体导数，是任意时刻,t,通过,考察点,A,的流体质点的加速度,.,整个左端项是流体密度,流体质点的加速度。,方程右边：,是作用在单位体积流体上的表面力和体积力,方程可简略表示成：,这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律,.,遗留问题：,已有三个动量方程和一个连续方程共,4,个方程，即使密度,和质量力,f,已知，但仍有,9,个未知数：三个速度分量和,6,个独立的应力分量，方程组不封闭。如需求解，还须补充方程。,以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。,Navier-Stokes,方程,回顾第,5,章中,一维流动,问题：,补充方程是,牛顿剪切定律,对粘性流体的任意,三维流动,问题：,补充方程是,广义的牛顿剪切定律,即,牛顿流体本构方程。,将,应力,从运动方程中,消去,，得到由,速度分量和压力,表示的粘性流体运动微分方程，即,N-S,方程,。,6.3,黏性流体运动微分方程,寻求流体,应力与,变形速率,(,可由速度分布算出,),之间,的关系。因此就是寻求,应力与速度,的关系。,目的,关键,什么是,变形速率,？,!,回忆,第,2,章,2.4,中，我们对任意流体微元的运动进行分解，学习过,变形速率,(,应变速率、应变率,),张量,：,包含点,O,的微元内任一点,A,的速度可以分解为三部分之和,:,:,流体微团的,平动速度,:,流体微团的,转动速度,:,流体微团变形引起的的速度，称做,变形速度。,:,应变速率,(,变形速率、应变率,，,strain rate), S,ij,具有对称性,;,3,个对角分量被称作,线变形速率,，表示沿空间三个方向的伸缩，它们的和就是速度的散度，对应,体积膨胀,；,其它,6,个分量称为,剪切变形速率,(,角变形率,),，代表流体微元的,剪切变形,.,亥姆霍兹,(Helmholtz),速度分解定理,N-S,方程,6.3.1,牛顿流体的本构方程,:,广义牛顿剪切定律,基本假设,为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，,Stokes,提出三个基本假设：, 应力与变形速率成线性关系,;, 应力与变形速率之间的关系各向同性；, 静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力。,牛顿流体的本构方程,应力与变形速率之内在关系 动力学与运动学之沟通桥梁,本构方程的讨论,正应力包含两部分：,流体静压产生的正应力,(,压应力,-,p,);,流体运动变形产生的,附加黏性正应力。,与三个方向的,线变形率,以及,体变形率,有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。,附加正应力与流体流动,正应力与线变形速率,( ),和体变形率,( ),附加黏性正应力,(,或,附加正应力,),附加粘性正应力的产生原因：,速度沿流动方向的变化所致。,线变形率,:,符号正负反映流体的流动是,加速,或,减速,；,体变形率,:,符号,正负反映流动过程中,流体体积,增加或减少。,N-S,方程,连续的真实流体不承受拉伸应力,即恒有：,正应力与压力,可见三个正应力的平均值总是与压力大小相等符号相反,切应力与角变形率,可见流体,切应力,与,角变形率,密切相关。,牛顿流体本构方程,(,广义牛顿剪切定律,),反映了流体应力与变形速率之间的关系，是,“,流体力学的虎克定律,”,。,N-S,方程, 静止条件下，全流场中 ，,此时流体的正应力数值上等于流体静压力，且为压应力：, 流动流体中，由于粘性正应力的存在，正应力在数值上,一般不等于流体静压力，但因为有：,所以有：,角变形率,:,S,ij,中的非对角线分量,(,教材中用,ij,表示,),而,6.3.2,流体运动微分方程,: Navier,Stokes,方程,只适用于牛顿流体！为何？,将牛顿流体的本构关系代入,6.2.3,以应力表示的运动方程,:,说明,:6.2.3,以应力表示的运动方程,适用于层流,/,湍流,/,牛顿流体,/,非牛顿流体等任意情况。补充牛顿流体本构关系后得到了,N-S,方程，消除了未知的应力，理论上就此可求出流场分布，但只适合于牛顿流体。如果在“以应力表示的运动方程”中补充其它流体的本构关系，同样也可使方程理论上可以求解，但适用的流体不同。,N-S,方程,:,适用于牛顿流体,常见的,N,S,方程表达形式,常粘度条件下,N,S,方程：,矢量形式：,对空间坐标的导数项都变为,0.,不可压缩流体的,N,S,方程,:,矢量形式,:,N-S,方程,:,适用于牛顿流体,(,为什么,?,),含有 及其空间导数的项变为,0.,通常情况下，不可压缩流体的黏度随温度的变化也很小，常常也可以视为常数，则,N-S,方程变为：,各项的物理含义,:,非定常项,定常流动,=0,静止流场,0,对流项,静止流场,=0,蠕变流时,0,单位质量流,体的体积力,单位质量流,体的压力差,扩散项,(,粘性力项,),静止或理想流体,=0,高速非边界层问题,0,N-S,方程,:,适用于牛顿流体,不可压缩流体的,N,S,方程的展开式：,理想流体的运动微分方程,(,欧拉方程,),：,N-S,方程,:,适用于牛顿流体, 流体静力学,方程：,关于,N-S,方程的小结与几点说明,2) N-S,方程是运动方程的完整形式，以前学过的理想流,/,不可压流,/,稳态流,/,静力学方程等，都可视为,N-S,方程的特例。,3),教科书上还列出了圆柱坐标系和球坐标系中的,N-S,方程和牛顿,流体本构方程的形式。,4) N-S,方程适合牛顿流体；非牛顿流体的运动方程可由,6.2.3,以应力表示的运动方程,并结合,非牛顿流体的本构方程组成。,5),理论上，,N-S,方程与连续方程、能量方程结合，即可求出流场,的分布。但实际中只有极个别的情况下可以求出,N-S,方程的解,析解。绝大部分情况下，只能,采用数值计算的方法求解,N-S,方,程,，这一新兴的研究领域称为,“,计算流体动力学,”,，,C,ompu-,tational Fluid Dynamics,，简称,CFD,。这是一门奥妙无穷、充,满生机、令人振奋的前沿科学。,N-S,方程常指牛顿流体的运动方程,(,动量方程,),，但也有很多学,者和教科书把包括动量方程和连续性方程的整个黏性流体流动的控制方程组叫作,N-S,方程。本课程使用前一种叫法。,连续方程和,N,S,方程分别是粘性流体流动应遵循的质量守恒和动量守恒的数学表达式。,6.4.1 N-S,方程应用概述,封闭条件：,理论上方程是封闭的，但若要考虑到物性参数的变化，应将物性变化的关系作为补充方程。,方程求解：,N,S,方程无普遍解；特殊条件下，有可能获得准确或近似的分析解；通常通过数值计算获得离散解。,应用条件：,只适用于牛顿流体,6.4,流体流动微分方程的应用,6.4.2 N-S,方程应用举例,例,6,1:,圆管内的,一维,稳态,流动分析。（见,P140,）,不可压缩流体在水平,圆管内作一维稳态层流流动。试写出该条件下的连续性方程和运动微分方程。并证明管道截面上任一点的总势能和轴向压力梯度为常数。,一维,:,只有,v,z,不为,0,稳态,:,时间偏导数项为,0,例,6-2:,同心圆通壁面间的切向流动分析。（见,P141,）,例,6-3:,无限大平板突然启动引起的流动,（见,P143,）,例,6-4:,根据,N-S,方程导出沿流线的伯努利方程（见,P145,）,作 业,P146,：,思考题：,6-1,6-2,7,习题,:,6-3,