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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,1了解平面向量的基本定理及其意义,2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,4理解用坐标表示的平面向量共线的条件,第2课时 向量的坐标表示,【命题预测】,平面向量的坐标运算是向量运算的关键，平面向量的坐标是代数与几何联系的桥梁，它融数、形于一体，具有代数形式与几何形式的双重身份，也是中学数学知识的一个重点交汇，使数学问题的情景新颖别致、自然流畅单独命题时，题型一般以填空题的形式出现，属于容易题经常利用平面向量的灵活性，与平面几何、三角函数等知识点综合出现，此类型的题一般出现在解答题中，综合性比较强，难度较大,1在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量,a,，点,A,的位置被向量,a,唯一确定，此时点,A,的坐标与,a,的坐标统一为(,x,，,y,)，但应注意其表示形式的区别，如,A,(,x,，,y,)，向量,a,(,x,，,y,)把点的坐标与向量的坐标区别开来两向量相等的充要条件是它们对应的坐标相等，即相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量，但相等的向量起点、终点坐标却可以不同向量的坐标揭示并描述了向量的终点相对于起点的位置关系，与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关,【应试对策】,2,(,t,R),A,，,B,，,P,三点共线，这是直线的向量参数方程式，应结合平面向量基本定理加以理解特别地，在,t, 时，,P,为线段,AB,的中点，这就是线段,AB,的中点向量表达式，此公式在用向量解决平面几何问题时经常用到，要熟练掌握,【知识拓展】,线段的定比分点,如果点,P,满足,，,点,P,叫做有向线段 的定比分点当,P,1,、,P,2,的坐标分别为,(,x,1,，,y,1,),和,(,x,2,，,y,2,),且,1,时，则,P,的坐标,(,x,，,y,),可由下面的公式求,出,这个公式叫做线段的定比分点公式,1平面向量基本定理及坐标表示,(1),平面向量基本定理,定理,：,如果,e,1,，,e,2,是同一平面内的两个,的向量，那么对于这一平面内的任意向量,a,，,一对实数,1,，,2,，,使,a,.,其中,，,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,不共线,有且只有,1,e,1,2,e,2,不共线的向量,e,1,、,e,2,(2)平面向量的正交分解,一个平面向量用一组基底,e,1,、,e,2,表示成,a,1,e,1,2,e,2,的形式，我们称它为向量,a,的,当,e,1,，,e,2,所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量,a,的,(3)平面向量的坐标表示,对于向量,a,，当它的起点移至原点,O,时，其终点坐标(,x,，,y,)称为向量,a,的,，,记作,a,分解,正交分解,坐标,(,x,，,y,),2平面向量的坐标运算,(1),加法、减法、数乘运算,向量,a,b,a,b,a,b,a,坐标,(,x,1,，,y,1,),(,x,2,，,y,2,),(,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),(,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),(,x,1,，,y,1,),(2)向量坐标的求法,已知,A,(,x,1,，,y,1,)，,B,(,x,2,，,y,2,)，则,(,x,2,x,1,，,y,2,y,1,)，,即一个向量的坐标等于该向量,的坐标减去,的坐标,(3)向量平行的坐标表示,设,a,(,x,1,，,y,1,)，,b,(,x,2,，,y,2,)，其中,b,0，,则,a,与,b,共线,a,.,终点,始点,x,1,y,2,x,2,y,1,0,b,1,(2010南京市第九中学高三调研测试),已知向量,a,(1,2)，,b,(2,3)，,若(,a,b,),(,a,b,)，则,_.,解析：,(,a,b,)(,a,b,)(,2,2,3)(1，1)0.,22,30，,答案：,2.,已,知点A（2，3），B（-1，5），且,则点,C,，,D,的坐标分别是_，_.,解析：,(3,2)，设,C,(,x,，,y,)，则由,得：(,x,2，,y,3) (3,2)，,x,1，,y, ，,C,(1， )同理得,D,(7,9),答案：,(1， )(7,9),3,(2010盐城中学高三上学期期中考试),已知向量,a,(3,1)，,b,(1,3)，,c,(,k,7)，若(,a,c,),b,，则,k,_.,解析：,a,c,(3,k,，6)，由题知(3,k,),360，,k,5.,答案：,5,4已知2,a,b,(4,3)，,a,2,b,(3,4)，则向量,a,，,b,的坐标分别是,_，_.,解析：,2,a,b,(4,3)，,4,a,2,b,(8,6)，,a,2,b,(3,4)，,5,a,(5,10)，,a,(1,2)，,b,(4,3)2,a,(4,3)2(1,2)(2，1),答案：,(1,2)(2，1),5,(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查),已知向量,(0,1)，,(,k,，,k,)，,(1,3)，且,，则实数,k,_.,解析：,(,k,，,k,1)，,(1,2)，,2,k,(,k,1)0，,k,1.,答案：,1,1由平面向量基本定理知，平面内的任一向量都可以用一组基底表示，,基底不同，表示的方法也不同,2利用基底表示向量，主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行,向量的线性运算,【例1】,如右图,，,在平行四边形,ABCD,中,，,M,，,N,分别为,DC,，,BC,的中点,，,已知,试用,c,，,d,表示,思路点拨：,直接用,c,，,d,表示,有难度，可换一个角度，,由 表示 ，进而求,解：,解法一,：,设,则,，,b,，,将,代入,得,a,，代入,得,b,c,解法二：,设,.因,M,，,N,分别为,CD,，,BC,中点，,所以,，,因而,即,变式,1,：,如上图所示,，,在,ABC,中,，,点,M,是,BC,的中点,，,点,N,在,AC,上,，,且,AN,2,NC,，,AM,与,BN,相交于点,P,，,求,AP,PM,的值,解：,设,，则,3,e,2,e,1,，,2,e,1,e,2,.,因为,A,、,P,、,M,和,B,、,P,、,N,分别共线，,所以存在实数,、,，使,3,e,2,e,1,，,2,e,1,e,2,，,(,2,),e,1,(3,),e,2,.,另外,2,e,1,3,e,2,，,AP,PM,4,1.,1向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知,有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意,方程思想的运用,2利用向量的坐标运算解题主要是根据相等的向量坐标相同这一,原则，通过列方程(组)进行求解,3利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示,向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数,4向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现,了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几,何问题的解答转化为我们熟知的数量运算,【例2】,已知,A,(2,4)、,B,(3，1)、,C,(3，4),且,，,求点,M,、,N,及,的坐标,思路点拨：,由,A,、,B,、,C,三点的坐标易求得,的坐标，,再根据向量坐标的定义就可求出,M,、,N,的坐标,解：,A,(2,4)、,B,(3，1)、,C,(3，4)，,(1,8)，,(6,3)，,设,M,(,x,，,y,)，则有,(,x,3，,y,4)，,M,点的坐标为(0,20)同理可求得,N,(9,2)，因此,(9，18)，,故所求点,M,、,N,的坐标分别为(0,20)、(9,2)，,的坐标为(9，18),变式2：,已知,A,(2,1)，,B,(3,5)，,C,(3,2)，,若,(,t,R)，,试求,t,为何值时，点,P,在第二象限？,解：,设点,P,的坐标为(,x,，,y,)，则,(,x,，,y,)(2,1)(,x,2，,y,1),(3,5)(2,1),t,(3,2)(2,1)(1,4),t,(1,1),(1,4)(,t,，,t,)(1,t,4,t,)，,由,，得(,x,2，,y,1)(1,t,4,t,)，,若点,P,在第二象限，则,5,t,3，即当5,t,3时，点,P,在第二象限,1,平面向量,a,与,b,(,b,0),共线的充要条件是,a,b,，用坐标表示为：,a,b,x,1,y,2,x,2,y,1,0(,a,(,x,1,，,y,1,),，,b,(,x,2,，,y,2,),且,b,0 ),2,向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为,点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法解题时要注意共线向,量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方,程，以便用函数与方程的思想解题,【例3】,向量,(,k,12)，,(4,5)，,(10，,k,)，,当,k,为何值时，,A,、,B,、,C,三点共线,思路点拨：,根据向量共线的充要条件，若,A,、,B,、,C,三点共线，,只要 满足,(或,)，就可以列方程求出,k,的值,或利用向量平行的充要条件求出,k,的值,解：解法一：,(4,5)(,k,12)(4,k,，7)，,(10，,k,)(4,5)(6，,k,5),A,、,B,、,C,三点共线，,，即(4,k,，7),(6，,k,5)(6,，(,k,5),),解得,k,11或2.,解法二：,接解法一，,A,、,B,、,C,三点共线，(4,k,)(,k,5)6(7)，,解得,k,11或2.,变式3：,如图所示,，,已知点,A,(4,0)，,B,(4,4)，,C,(2,6)，,求,AC,和,OB,交点,P,的坐标,解：,解法一,：,设,t,(4,4)(4,t,4,t,)，则,(4,t,4,t,)(4,0)(4,t,4,4,t,)，,(2,6)(4,0)(2,6),由,共线的充要条件知(4,t,4),64,t,(2)0，解得,t,(4,t,4,t,)(3,3),P,点坐标为(3,3),解法二：,设,P,(,x,，,y,)，,则,(,x,，,y,)，,(4,4),，,共线，,4,x,4,y,0.,又,(,x,2，,y,6)，,(2，6)，,且向量,、,共线,6(,x,2),2(6,y,),0.,解,组成的方程组，得,x,3，,y,3，,点,P,的坐标为(3,3).,1向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向量的基,本定理是平面向量坐标表示的基础,2利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，其具体过程大致为：,(1)适当选择基底(两个彼此不共线向量)；,(2)用基底显示几何问题的条件和结论；,(3)利用共线向量的充要条件、向量垂直的充要条件，通过向量的运算解决平行、,垂直、成角和距离的证明和计算等问题,【,规律方法总结,】,【例4】,已知向量,a,(1,2)，,b,(2,1)，,k,，,t,为正实数,，,x,a,(,t,2,1),b,，,y,(1),若,x,y,，,求,k,的最大值,；,(2),是否存在,k,，,t,，,使,x,y,？,若存在，求出,k,的取值范围,；,若不存在，请说明理由,.,本题最易出错的是向量的坐标运算，如计算向量,x,，,y,时，对数与向量的乘积只乘向量的一个坐标；以坐标形式的向量加减运算时，漏掉其中的某个坐标；当向量,x,，,y,垂直时数量积的运算错误，向量,x,，,y,平行时，向量的坐标之间的关系用错等如把,x,y,的条件是两个向量坐标交叉相乘之差等于零写成交叉之积的和等于零，即： ，其结果是,k,这样只要给正数,t,一个大于 的值，就得到一个正数,k,，其结果就是存在的,【,错因分析,】,解：,x,(1,2)(,t,2,1)(2,1)(2,t,2,1，,t,2,3)，,y,(1),若,x,y,，,则,x,y,0，,即,整理得,，,k,，,当且仅当,t, ，,即,t,1,时取等号,，,k,max,(2),假设存在正实数,k,，,t,，,使,x,y,，,则,化简得,0，,即,t,3,t,k,0.,(2)因为,k,、,t,为正实数，故不存在正数,k,使上式成立，从而不存在,k,、,t,，使,x,y,.,【,答题模板,】,向量的模与数量积向量的模与数量积之间有关系式|,a,|,2,a,2,a,a,，这是一个简单而重要但又容易用错的地方，由这个关系还可以得到如|,a,b,|,2,|,a,|,2,2,a,b,|,b,|,2,，|,a,b,c,|,a,|,2,|,b,|,2,|,c,|,2,2,a,b,2,b,c,2,c,a,等公式，是用向量的数量积解决向量模的重要关系式在解决与向量模有关的问题时要仔细辨别题目的已知条件，用好向量的模与数量积之间的关系.,【,状元笔记,】,1如图，在平行四边形,ABCD,中，,A,(1,1)，,(6,0)，,点,M,是线段,AB,的中点，线段,CM,与,BD,交于点,P,.,(1)若 =(3,5)，求点C的坐标；,(2)当 时，求点P的轨迹方程,分析,：(1)可根据两个向量相等，对应的坐标相等求出C的坐标；,(2)设出点P的坐标，用坐标表示两个对角线所表示的向量，根据,菱形的对角线互相垂直，求出P的轨迹方程,解：(1),设点,C,的坐标为,(x,0,，y,0,) =(9,5)，,(,x,0,-1，,y,0,-1)=(9,5)，,x,0,=10，,y,0,=6，,即点,C,的坐标为,(10,6),(2),设点P的坐标为,(,x,，,y,)，,则,=(,x,-7，,y,-1)，,= =(3,x,-9,3,y,-3), ，ABCD,为菱形,，,从而有(,x,-7，,y,-1)(3,x,-9,3,y,-3)=0，,(,x,-7)(3,x,-9)+(,y,-1)(3,y,-3)=0，,x,2,+,y,2,-10,x,-2,y,+22=0(,y,1),即点P的轨迹方程为,x,2,+,y,2,-10,x,-2,y,+22=0(,y,1),
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