第四章《高等数学(上册)》ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高等数学,第四章,不定积分,高等数学,第四章,不定积分,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,一、,原函数和不定积分的概念,定义,1,设,f,(,x,),是定义在区间,(,a,b,),上的已知函数，如果存在一个函数,F,(,x,),，使得在,(,a,b,),上的任意一点,x,有,或,则称函数,F,(,x,),是,f,(,x,),在该区间上的一个,原函数,定理,1,如果函数,f,(,x,),在区间,I,上有原函数,F,(,x,),，则,F,(,x,)+,C,(,为任意常数,),也是,f,(,x,),在区间,I,上的原函数，并且,f,(,x,),的任一原函数均可表示成,F,(,x,)+,C,的形式,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,定义,2,在区间,I,内，函数,f,(,x,),的全体原函数,F,(,x,)+,C,称为,f,(,x,),在区间,I,上的不定积分，记为,f,(,x,)d,x,，其中，,称为积分号，,f,(,x,),称为,被积函数，,f,(,x,)d,x,称为被积表达式，,x,称为被积变量，,C,称为,积分常数,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,1,求,解,由于,，所以，,x,3,是,3,x,2,的一个原函数，因此,例,2,求,解,由于,，所以，,cos,x,是,sin,x,的一个原函数，因此,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,3,求,解,当,时，,；,当,时，,因此,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,二、,不定积分的几何意义,当积分常数,C,取不同值时，不定积分表示的不是一个函数，而是一族函数从几何上看，它们代表一族曲线，称为函数,f,(,x,),的,积分曲线族,，如图,4-1,所示,图,4-1,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,积分曲线族具有以下两个显著的特点：,（,1,）积分曲线族中所有的曲线都可以由其中任意一条曲线沿着,y,轴方向上下平移得到；,（,2,）对应同一横坐标,x,的点，其所有切线互相平行,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,4,求经过点,（,1,3,）,且切线的斜率为,2,x,的曲线方程,解,设所求曲线方程为,y,=,F,(,x,),，由题意知,F,(,x,)=2,x,，而,即,2,x,的积分曲线族为,y,=,x,2,+,C,将,x,=1,y,=3,代入，得,C,=2,故所求曲线方程为,y,=,x,2,+2,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,三、,不定积分的性质,性质,1,或,性质,2,或,性质,3,性质,4,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,四、,基本积分公式,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,（,6,）,（,7,）,（,8,）,（,9,）,（,10,）,（,11,）,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,5,求,解,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,6,求,解,例,7,求,解,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,8,求 ,解,例,9,求 ,解,本题不能直接运用基本积分公式,可由公式,得,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,10,求 ,解,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,11,已知物体以速度,v,=2,t,2,+1(m/s),沿,Ox,轴做直线运动，当,t,=1s,时，物体经过的路程为,3 m,，求物体的运动方程,解,设物体的运动方程为,x,=,x,(,t,),，于是有，,x,(,t,)=,v,=2,t,2,+1,，所以,将已知条件,t,=1s,时，,x,=3m,，代入上式有,，即 ,于是，所求物体的运动方程为,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,一、,第一换元积分法,定理,1,（第一换元积分法）,设函数,f,(,u,),具有原函数,F,(,u,),，且,u,=,(,x,),可导，则函数,F,(,x,),是函数,f,(,x,),(,x,),的原函数，即有换元公式,这个公式称为,第一换元积分法,，也称为,凑微分法,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,1,求 ,解,将,d,x,进行配凑，因为,，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,2,求 ,解,将,d,x,进行配凑，因为,，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,3,求 ,解,将,d,x,进行配凑，因为,，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,4,求 ,解,将,d,x,进行配凑，因为,，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,（,6,）,（,7,）,（,8,）,（,9,）,（,10,）,一些常用的凑微分形式,:,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,5,求 ,解,因为,，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,6,求 ,解,因为,，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,7,求 ,解,因为,，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,8,求 ,解,因为,，其中 ，所以,同理，可求得,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,9,求 ,解,因为,，所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,二、,第二换元积分法,例,10,求 ,解,因为被积函数含有根号，不容易凑微分，为了去掉根号，可先换元,令,，则,，,，于是有,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,最后回代,，得,定理,2,（第二换元积分法）,设,f,(,x,),连续，,x,=,(,t,),是单调、可导的函数，且,(,t,),0,，则有换元公式,其中，,t=,1,(,x,),为,x=,(,t,),的反函数,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,11,求 ,解,求这个积分的主要困难是,，所以令,，则,，显然,，于是,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,12,求 ,解,被积函数中含有,和,两个根式，作变换,，可同时将两个根号去掉，,，则,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,三,、,补充的积分公式,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,设函数,u,=,u,(,x,),v,=,v,(,x,),具有连续导数，则这两个函数乘积的导数为,即,对上式的两边求不定积分，有,即,上式简记为,此公式为,分部积分公式,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,1,求 ,解,设,，则,，于是,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,2,求 ,解,设,，于是,所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,3,求 ,解,设,，于是,所以,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,4,求 ,解,设,，于是,所以,对,再进行一次分部积分，由例,1,得,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,5,求 ,解,设,，于是,所以,对于积分,，再设,，,于是,，所以,从而,故,高等数学,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,01,02,03,高等数学,01,02,03,不定积分的概念与性质,换元积分法,分部积分法,例,6,求 ,解,高等数学,谢谢,THANK YOU,高等数学,