带权图的最短路径

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定义,设 G (V, E)是简单图，若对于每一个e，均有一正实数W(e)与之对应，则称W是G的权函数，并称G为带权图，记为 G (V, E, W)。,我们研究带权图，一个重要的内容就是寻找某类具有最小（最大）权的子图，其中之一就是最短路问题，例如：给定一个连接各城市的铁路网络（连通的带权图），在这个网络中的两个指定的城市之间确定一条最短路。,定义,设,G (V, E, W),是带权图，,(e,i1,e,i2,e,ik,),是,G,中的一条路，,的路长为,W()W(e,i,),。,从u到v的最短路P是指满足下列条件的路,W(P) minW()|为从u到v的路,由上述定义可以看到，如果每条边的权函数值为1，则带权图的路长与一般图的路长是一致的。, 带权图的最短路径,1,求最短路长的算法是,E.W.Dijkstra,于1959年提出来的，这是至,今公认的求最短路长的最好算法，我们称它为,Dijkstra,算法。,Dijkstra算法,功能：在连通的带权图中，求从v,0,到v的最短路的路长。,No1. p,0, v,0,；P v,0,；T Vv,0,; d(p,0,) 0；,(,tT)(d(t) )；,No2. (,tT)(d(t) min(d(t)，d(p,0,)+W(p,0,t)；,No3. 在T中选取t,0, 使(,tT)(d(t,0,)d(t)；,No4. p,0, t,0,；P P,t,0,；T Tt,0,；,No5. if p,0, v then goto No2 else end。,2,例1.,求图1中从v,0,到v,5,的最短路径.,1. p,0, v,0, P v,0, T v,1,v,2,v,3,v,4,v,5,d(p,0,) 0, d(v,1,) d(v,2,) d(v,3,) d(v,4,) d(v,5,) .,2. d(v,1,) 1, d(v,2,) 4, d(v,3,) d(v,4,) d(v,5,) .,3. t,0, v,1,4. p,0, t,0,v,1, P v,0,v,1, T v,2, v,3,v,4,v,5,.,5. p,0,v,5, GoTo 2.,2. d(v,2,) 3, d(v,3,) 8, d(v,4,) 6, d(v,5,) .,3. t,0, v,2,4. p,0, t,0,v,2, P v,0,v,1,v,2, T v,3,v,4,v,5,5. p,0,v,5, GoTo 2.,v,0,v,2,v,1,v,3,v,4,v,5,1,4,2,5,7,1,3,2,6,3,2. d(v,3,) 8, d(v,4,) 4, d(v,5,) .,3. t,0, v,4,.,4. p,0, t,0, v,4, P v,0,v,1,v,2, v,4, T v,3, v,5,.,5. p,0,v,5, GoTo 2.,2. d(v,3,) 7, d(v,5,) 10.,3. t,0, v,3,4. p,0, t,0, v,3, P v,0, v,1, v,2, v,3, v,4, T v,5,5. p,0, v,5, GoTo 2.,2. d(v,5,) 9.,3. t,0, v,5,.,4. p,0, t,0, v,5, P v,0,v,1,v,2,v,3,v,4,v,5, T .,5. p,0, v,5,.,4,Dijkstra算法的基本思想是：将图 G 中结点集合 V 分成两部分，一部分称为具有 P 标号的集合，另一部分称为具有 T 标号的集合。所谓结点的 P标号是指从 v,0,到的最短路的路长，而结点的标号是指从 v,0,到的某条路径的长度。Dijkstra算法中首先将 v,0,取为 P 标号结点，其余的点均为 T 标号结点，然后逐步地将具有 T 标号的结点改为 P 标号结点，当结点 v 也被改为 P 标号时，就找到了从 v,0,到v 的最短路径的长度。,5,6 Euler图,Euler,图的来历为,konigsberg,七桥问题,。,定义1,设 G (V, E) 是无向连通图。,1) 若存在一条路 P，此路通过 G 中每条边且仅一次，则称此路为Euler路。,2) 若存在一圈 C，此圈通过 G 中每条边一次且仅一次，则称此圈为Euler圈。,3),若,G,中有,Euler,圈，则称,G,为,Euler,图。,这类通过各边恰好一次的问题就是通常所说的一笔画,问题（即笔不离纸，线不重复）。,6,定理1,设 G (V,E) 是无向连通图，那么，G是Euler图当且仅当G中每个结点都是偶结点。,例1,图G如图所示，问图G是否为Euler图，若是，求,出其Euler圈。,由于G中的六个结点均为偶结点,且G连通，根据Euler定理可知，G,为Euler图，仿照定理证明的办法，,可得到G中的Euler圈。具体步骤如,下：,1,2,3,4,5,6,7,在图中任意找一简单圈C(1,2,3,1)，发现还有7条边不在此圈中，边3,4不在C中且与圈中的结点3相关联。由结点3出发经过边3,4可得一简单圈C,(3,4,5,3)，将C,并入C得到一个新的更长的简单圈 C(1,2,3,4,5,3,1)。此时仍有4条边不在C中，边4,6不在C中且与结点4关联。由结点4出发经过边4,6又可得到一简单圈C,(4,6,5,2,4)，将C,并入C得到一个更长的简单圈C(1,2,3,4,6,5,2,4,5,3,1)。由于G中所有的边都已在C中，故知此圈C为G中的一个Euler圈。,例2在哥尼斯堡七桥问题中，,由于每个结点均为奇结点，故由,Euler定理的充要条件知，该图中,不存在经过每条边一次且仅一次,的Euler圈。即该问题无解。,A,B,C,D,8,推论,设G为连通无向图，G中有Euler路的充要条件为G中恰有两个奇结点 。,证,：,由条件知G中有一条Euler路，除了Euler路的起点和终点外，其余的结点都是此路中所经过的点，将Euler路的起点和终点连一条边，则得到一个新的图G,，,G,连通且是Euler图，故G,中每个结点为偶结点，将G,中添入的边删去，则G中恰有两个奇结点。,若G中恰有两个奇结点，将这两个奇结点连一条边就得到一个新图G,，,G,连通且无奇结点，则G,是Euler图，即G,中有Euler圈,。,在G,中将新添的边删去，就得到G且G,中,有一条Euler路,。,9,定义2,设G(V,E)是无向图，eE，若W(Ge) W(G)。则称e为G的割边，其中W(G)表示G的连通支数。,如何在恰有两个奇结点的连通图中寻找,Euler,路，可参考下面的方法。,Fleury算法，从一个奇结点出发走到另一个奇结点：,1）,从一个奇结点出发，每走一边抹去一边；,2）,在走边的过程中，除非没有其它选择时才走割边。,例3,在右图中，恰有两个奇,结点,4,和,9,，故存在,Euler,路，,按照,Fleury,算法可得其中一条,Euler,路为(,9,7,8,9,10,11,12,10,3,2,1,3,4,5,6,4)。,1,2,7,8,9,3,4,5,6,11,12,10,10,定理2,设 G(V,E) 是强连通的有向图，G中有Euler圈当且仅当G中每个结点的出度等于入度。,定理,3,设 G(V,E) 是强连通的有向图，G中有Euler路当且仅当G中有一个结点的入度比出度多1，有一个结点的出度比入度多1，其余每个结点的出度等于入度。,11,7. Hamilton 图,Hamilton,爵士（,1805,1865,）在,1859,年发明了一种游戏，用一个正实心的十二面体，它的二十个顶点标有二十个城市的名字，要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶点一次且仅一次的闭合回路，即绕行世界问题。,Hamilton,以,25,个金币的代价将他的设计卖给了一个玩具商。,由于正十二面体是由,12,个相同的正五边形组成，且有,20,个顶点，该问题为怎样才能沿着,12,面体的棱旅行，经过每个城市恰好一次，然后回到家中。,Hamilton,给出了这个问题的肯定的答复。,12,定义1,设 G(V,E) 是无向连通图,1）若存在一条路,此路通过G中每一个结点一次且仅一次,则称此路为H路。,2,）若存在一圈，此圈通过G中每个结点一次且仅一次，则称此圈为H圈。,3）若G中有圈，则称G为H图。,要指出的是，尽管从表面上看,Hamilton问题和Euler问题似乎很相似，但它们之间并无必然的联系。,例,是Euler图,不是Hamilton图,是Hamilton图,不是Euler图,13,定理1,设G(V,E)是H图，那么对于V的任一非空子集S，有W(GS)|S|，其中W(G)表示G的连通支数。,例,在图(a)中，有9个结点。当将中间层上的三个,结点,删去时，此时图2(a)变为图2(b)，而图2(b) 的连通支数为4，由定理知它不是图。,图2(b),图2(a),14,定理,设G(V, E)是具有n个结点的简单,无向,连通图，若对任意u,vV，均有 deg(u)+deg(v)n1，则中有一条路。,容易看出，定理2中的条件对图中是否存在H路是充分的而不是必要的。如图 5中的六边形G虽然不满足定理2中的条件，但G中有H路。,定理3,设G(V, E)是n个结点的简单无向连通图。若对于任意的u,vV，均有deg (u)+deg (v)n， 则G是H图。,定理4,设G(V, E)是个竞赛图(即G中任两点间有且只有一条有向边)，则G中存在一条H路。,15,8 二分图（二部图，偶图）,二分图的来历是各委员会选主任委员的问题。,现有l个委员会，这l个委员会共有m个成员，要在这m个成员中选出各委员会的主任委员，其条件为：,1),每个委员会只能有一个主任委员；,2),每个委员会的主任委员必须是该委员会的成员；,3)每个人最多只能担任一个委员会的主任委员（不能兼职）。,问在什么条件下该问题有解，并求解。,要想一般性地解决这类问题，通常分成三步来完成:,1) 建立数学模型；,2) 找出解的存在条件；,3),求解。,16,现在为选举主任委员问题建立一个数学模型。,令各委员会以及各委员会的成员为结点。,若某个人是某个委员会的成员，则该两结点间有边相连，否则无边相连。于是就得到了用图论方法表示的这个问题的数学模型。,V,1, c,1,c,2,c,3,c,4, c,5,c,6,c,7, 为委员会的集合，,V,2, m,1,m,2,m,3,m,4,m,5,m,6,m,7,m,8,m,9,为各委员会成员的集合。,V,1,中每个结点的度数表示每个委员会有多少个成员,V,2,中每个结点的度数代表每个人参加了多少个委员会,这个图的特点是委员会之间无关系，各成员之间无关系，只有在委员会和成员之间才可能有关系。,C,1,C,2,C,3,C,4,C,5,C,6,C,7,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8,m9,17,定义1,设G(V, E)是简单无向图，若存在V的一个划分V,1,V,2,，使得E,V,1,&V,2,，则称G是二分图，同时称V,1,，V,2,是V的互补结点集合。,当,E,V,1,&V,2,时，称,G,是完全二分图，记为,K,m,n 。,其中,m,|,V,1,|，,n,|,V,2,|,。,例1,令V,1, v,1,v,2,v,3,V,2, v,4,v,5,v,6,EV,1,&V,2,这是一个完全二分图，记为,K,3,3,。,例2,判断下图是否为二分图。,令V,1, 标号为A的结点 ,V,2, 标号为B的结点,E,V,1,&V,2,由二分图的定义知该图是二分图。,v,1,v,2,v,3,v,4,v,5,v,6,A,A,A,B,B,B,B,18,定理1,设G(V,E)是简单无向图，G是二分图的充要条件为G中每个圈的长度为偶数。,由定理1的充要条件知此图不是二分图，因为存在长度为奇数的圈。,19,我们注意到，此问题的解中，任意两边均不衔接。因为若有两边在,V,1,中衔接，,则该委员会有两个主任委员，不合题意,。,若有两边在,V,2,中衔接，则有人成为两个委员会的主任委员，不合题意。为了解决解的存在性问题，先引入解的概念。,定义2,设G(V, E)是二分图。E,V,1,&V,2, M,E且M,。,1),若 M 中任意两边均不衔接, 则称 M 是 G 中的一个匹配。,Matching.,2),具有边数最多的匹配称为最大匹配。,Maximum Matching.,3),若,|,M,|,|,V,1,|，,则称 M 是从V,1,到V,2,的匹配。,Matching from V,1,to V,2,.,4),若|,M,|,|,V,1,|,|,V,2,|,则称,M,是完美匹配。,Perfect Matching .,20,要解决各委员会主任委员的问题就是要找出从,V,1,到,V,2,的匹配。,定理2,设G(V, E) 是二分图。G 中有从V,到V,的匹配的充分必要条件是V,中的任意 k 个结点至少连通V,中的 k 个结点。,定理,3,设,G(V,E),是二分图,。,若存在正整数,t ,使得,1),对于V,中的每个结点, 至少有t条边与之关联；,2),对于,V,中的每个结点,至多有,t,条边与之关联；,则,G,中有从,V,到,V,的匹配。,21,因此，当给出一个二分图后。先找出,V,中的每个结点的度数，令,rmin,v,V1,d(v)。,再找出,V,中的每个结点的度数，令,Rmax,v,V2,d(v)。,若,r,R，,则问题有解，取,t,为,r,即可。但这只是充分条件，若不满足，则还要用充要条件来判断。,由定理,3,可知，若存在,t,0，,每个委员会至少有,t,个成员，每个成员至多参加,t,个委员会，则问题一定有解。,由定理,2,可知，若任意k个委员会至少有k个成员，则问题有解。否则无解。,这就将问题解的存在性问题解决了。,最后看一下求解过程。,22,求二分图中从V,到V,的匹配可采用逐步调整的方法。先在图中随便找一个匹配M,，然后将M,调整为一个新的匹配M,。 调整的原则是使|M,| |M,|。不断进行调整,直到无法调整为止,。,第一次选边,M,u,v,u,v,u,v,u,v,u,v,张,u1,王,u2,李,u3,赵,u4,孙,u5,周,u6,v1,数,v2,化,v3,物,v4,英,v5,程,v6,语,23,从v,6,开始找一条路(v,u, v, u, v, u,)。 在此路中,边序列交替出现在M,中或不出现在M,中，而且首尾两条边不在M,中，称这样的路为M,一增广路。 在此增广路中，使用不在M,中的边，删去在M,中的边，得到一个新的匹配M,且|M,|M,|。于是有,M,u,v,u,v,u,v,u,v,u,v,，u,v,由于|M,|V,|，故M,是从V,到V,的一个匹配。,24,9,平面图,Planar Graph,平面图的来历是公用设备问题。,现有三座楼房，三条管道，问这三条管道是否能不交叉地在一个平面内通向这三座楼房。,25,定义1,设 G(V, E) 是无向连通图。如果存在 G 的一种图示，使得任意两条边不相交，则称 G 为平面图。,定义2,在平面图的图示中，一个极小的初级圈所包围的部分称为平面图的一个区域。称该初级圈的边为此区域的边界。平面图中最大的初级圈之外的部分称为平面图的无穷域。该初级圈的边称为无穷域的边界。,所谓极小初级圈是指:在此圈内不再含有其它更小的初级圈，但不排斥圈内可以有其它结点。此外，当图中无圈时，整个平面即为无穷域。一个图有且只有一个无穷域。,26,例1,下图是一个平面图,图中共有,4,个区域,它们的边界为,:,区域1 - (a, b, f, a),区域2 - (b, d, f, b),区域3 - (b, c, d, b),区域4-(a, b, c, d, f, a),区域4为,无穷域,1750,年，,Euler,提出凸多面体的顶点数，棱数及面数之间有如下关系：,nmr2,此关系称为,Euler,公式。有趣的是,Euler,公式同样刻划了平面图中结点的个数，边的条数及区域数之间的数量关系。,a,b,c,d,e,h,i,g,f,1,2,3,4,27,定理,(Euler 1750). 设G(V, E)是连通平面图，|V|n, |E|m, 则nmr2。,Euler公式是平面图应满足的必要条件，利用它可以判断一个图为非平面图，但对于某些图其区域数 r 不易从图示中看出，这给Euler公式的使用造成了一定的困难，为此给出下面的推论。,推论,设G(V,E)是简单连通的平面图，|V|n, |E|m，若G中每个区域至少由三条边围成，则m3n6。,例,利用推论可以判断出5个结点的完全图 K,5,不是平面图，此时n5，m10，于是有 m103569. 即推论1中的条件不满足，故 K,5,不是平面图。,例,然而用推论的结论却判断不出K,3,3,是否是平面图。,28,推论,设G(V, E)是简单连通平面图，|V|n, |E|m，若G中每个区域至少由4条边围成，则m2n,4。,证,：由条件知G中每个区域至少由4条边围成，故诸区域的边数总和4r，又因为每条边至多是两个区域的公共边，故诸区域的边数总和2m，于是有4r2m，即rm/2，代入Euler公式得,n,mm/22,即m2n,4。,由推论2知,K,3,3,不是平面图，,因为,在,K,3,3,中n,6，m,9 ,于是有,9124,8,。,由上面的讨论可以看到：,K,5,和 K,3,3,是非平面图的最小模型。1930年，波兰数学家kuratowski 给出了判别一个图是否是平面图的充分必要条件。,29,先介绍 K-技术：,1. 当两点间已有边时，在两点间增加重复边或删去重复边。,2. 当两点间已有边时，在边上增加一个结点，使一条边变成两条边。,3. 当两个结点都与第三个结点相邻，而第三个结点的度数为，删去第三个结点使两条边合为一条边。,对一个图使用 K-技术不会使图的平面性有所改变，即原来是平面图使用 K-技术后仍为平面图，而本来不是平面图的，使用 K-技术后也不会成为平面图。,定义,设G,1, G,2,是两个无向图，若G,1,与G,2,同构，或G,1,与G,2,通过K技术同构，则称G,1,与G,2,K-同构。,定理,(Kuratowski) 设G(V,E)是无向图，G是平面图的充要条件是G中不含有与 K,5,或 K,.,K-同构的子图。,30,例,下面的,petersen,图不是平面图。,去掉结点10和与之关联的边，再使用K-技术得到一个与,K,.,同构的子图。故由kuratowski定理知petersen图不是平面图。,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,31,10,无向树(自由树)Undirected Tree,定义1,设G( V, E ) 是无向图，若G 连通且无圈，则称 G 为无向树。树中度数为1的结点称为树叶，树中度数大于1的结点称为分支点。,定理1,设G( V, E ) 是无向图，| V |n，| E |m，则下面六种说法是等价的。, G 是树(连通，无圈) 。, G 无圈，且 mn1。, G 连通, 且 mn1。, G 无圈且若给G中任一对结点间加一条边，则G中恰有一圈。, G 连通且若在 G 中删去任一边，则 G 成为两个连通分图。, G 中任一对结点间有且只有一条路可达。,32,定义2,设G( V, E ) 是无向图，,G( V, E ),是 G的生成子图，若,G,是树，则称,G,是G 的生成树。,定理2,设G( V, E ) 是无向图，G中有生成树的充要条件为G是连通图。,定义2是生成树的数学模型，定理2是G中有生成树的存在性条件，下面是生成树的求解方法。, 破圈算法(管梅谷) (在连通的无向图G中寻找生成树), 若G中无圈，结束。, 在G中任取一圈，删去其一条边e,i,，GG e,i, ，GoTo 。, 避圈算法 (Kruskal)(在连通的无向图G中寻找生成树), k0，T,。, 若kn1，则结束。, 在G中任取一边 e，若T e 无圈，则T,T e ，,k,k1，GoTo 。, 删除边 e ，,GG e，GoTo,。,33,管梅谷算法是求 G 的一个连通无圈的生成子图。,Kruskal 算法是求 G 的一个无圈且 mn1 的生成子图。,由生成树的定义可知，这两种算法求出来的生成子图都是G 的生成树。,定义3,设G(V, E, W) 是无向带权图，| V |n . 若,Te,1,e,2,e,n-1,是 G 的一棵生成树且 W ( e,i,)在诸生成树中最小，则称 T 是G 的最小生成树 (Optional Tree ) 。,在一个无向带权图 G 中，存在一棵最小生成树的充要条件为 G是连通的。,34,由于最小生成树是在带权图中产生的，故前面两个求最小生成树的算法要相应地修改一下。, 破圈算法(管梅谷) (在连通的无向带权图中寻找最小生成树), 若G中无圈，结束。, 任取一圈，删去圈中具有最大权值的边e，GG e ，,GoTo 。, 避圈算法 (Kruskal)( 在连通的无向带权图中寻找最小生成树), 先将 G 中的边按权值由小到大排队，,即：Ee,1, e,2, , e,m,。,k0; T,;,i,0。, 若 kn1，则结束。, i,i1; 若T e,i,无圈，则T,T e,i,; k,k1;,GoTo,。, 删除边e,i,;,GG ,e,i,; GoTo, 。,35,11,有根树 Rooted tree,定义1,设G(V, E)是有向图，若,1）G中有一个特殊结点r, deg(r)0；,2) 对于G中其它任何结点,v,r, 均有 deg(,v,)1；,3) r 到 G 中任何结点均有路可达；,则称G为有根树。其中，,1）入度为零的结点称为根，,2）出度为零的结点称为叶子，,3）出度不为零的结点称为分支点。,36,定义2,设 T 为有根树，若给 T 的每一层结点规定了顺序，则称 T 为有序树。,定义3,设T为有根树，若对于任意结点,v,，有 deg(,v,) m, 则称此有根树为m叉树。如果对每个结点,v,有deg(,v,)m或者deg(,v,)0, 则称此有根树为完全m叉树。,定义4,设 T 为 m 叉有序树，而且 T 的每一层上诸结点都有规定的位置，则称 T 为 m 叉位置树。,在 m 叉位置树中最重要的一种是二叉位置树，它在计算机科学中有着十分重要的应用。,37,qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8Gz)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnWkShPdMF3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXhQeMbJ7G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4Dv&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoW,38,