圆内接四边形的性质与判定

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,选修,4-1,几何证明选讲,第二讲,直线与圆的位置关系,（二）,一知识回顾,：,1,圆的定义：,2,圆周角定理：,3,圆心角定理：,推论,1,：,推论,2,：,4,点与圆的位置关系：,第二节：圆内接四边形的性质与判定定理,圆内接多边形,-,所有顶点都在一个圆上的多边形叫圆内接多边形,.,这个圆称多边形的外接圆,.,二新知：,思考,:,任意三角形都有外接圆,.,那么,任意正方形有外接圆吗,?,为什么,?,任意矩形有外接圆吗,?,等腰梯形呢,?,一般地,任意四边形都有外接圆吗,?,A,B,C,D,O,A,B,C,D,A,D,B,C,D,A,B,C,如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征,?,探究：,观察下图，这组图中的四边形都内接与圆。你能从中发现这些四边形的共同特征吗,?,D,A,B,C,如图（,1,）连接,OA,OC.,则,B= . D=,（,1,）,分析：一般地，我们可以从四边形的边的关系角 的关系等来考察这些图形的共同特征。下面我们考察四个角的关系,。,性质定理,1,圆内接多边形的对角互补,将线段,AB,延长到点,E,得到图（,2,）,性质定理,2,圆内接多边形的外角等于它的内 角的对角。,D,A,B,C,E,（,2,）,性质定理,1,圆内接四边形的对角互补,性质定理,2,圆内接边形的外角等于它的内角 的对角。,如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆,.,如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆,.,性质定理的逆命题成立吗？,假设,：四边形,ABCD,中，,B+D=180,求证,：,A,B,C,D,在同一圆周上（简称四点共圆）,.,证明：,(1),如果点,D,在,O,外部。,C,A,B,D,E,O,（,1,）,则,AEC+B=180,因,B+D=180,得,D=AEC,与“三角形外角大于任意,不相邻的内角”矛盾。故点,D,不可能在圆外。,A,B,C,D,E,O,（,2,）,(2),如果点,D,在,O,内部。,B+ADC=180E=ADC,同样矛盾。点,D,不可能在,O,内。,综上所述，点,D,只能在圆周上，四点共圆。,则,B+E=180,圆内接四边形判定定理,：,如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆,.,当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法,-,穷举法,推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆,.,D,A,B,C,E,例,1,如图， 圆,o,1,与,圆,o,2,都经过,A,B,两点。经过点,A,的直线,CD,与圆,o,1,交于点,C,与,圆,o,2,交与点经过点,B,的直线,EF,与圆,o,1,交于点,E,与,圆,o,2,交与点,F.,A,C,D,E,B,F,证明：连接,AB,BAD=E.,BAD+F=180,E+F=180,CE/DF .,求证：,CE/DF.,四边形,ABEC,是圆,o,1,的内接,四边形。,四边形,ADFB,是,o,2,的内接四边形。,例,2,如图，,CF,是,ABC,的,AB,边上的高，,FPBC,FQAC.,求证,：,A,B,P,Q,四点共圆,证明：连接,PQ,。,在四边形,QFPC,中，,FPBC FQAC.,FQA=FPC=90,.,Q,F,P,C,四点共圆。,QFC=QPC.,又,CFAB,QFC,与,QFA,互余,.,而,A,与,QFA,也互余,A=QFC.,A=QPC.,A,B,P,Q,四点共圆,A,F,B,P,Q,C,练习：,1.AD,BE,是,ABC,的两条高，求证：,CED=ABC.,C,A,B,E,D,o,2.,如图，已知四边形,ABCD,内接于圆，延长,AB,和,DC,相交于,E,EG,平分,E,且与,BC,AD,分别相交于,F,G.,求证： ,CFG=DGF.,A,B,E,F,G,D,C,小结:,你都弄懂了吗,？,1,圆内接四边形具有哪些性质？,2,判定四点共圆的方法有哪些？,3,利用,圆内接四边形的性质定理与判定定理时要注意什么？,作业,：,P,课本,30,习题,2.2,第,1,，,2,题,感谢各位老师指导!,