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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 转动群,continuous),:,群元可由一组独立实参量描述, 其中至少有一个参量在一定区域是连续变化的.,设连续参量的数目为,r(1rn),记为,r,称为该连续群的阶.,r,个独立实参量的变化区域称为群参数空间,4.1 一些基本概念,G,的群元,g,可由,r,个连续实参量表征, 即,1,设一个集合,G,的元素,g,可由,r,个实参量来表征, 即,如果,g(,),满足下列条件:,1) 集合,G,中存在一个单位元素,e=g (,0,),对任意元素,g(,),G,有,李群,2) 逆元: 对任意,存在 , 使,通常取,0,=0,0, , 0,即对于任意元素,g(,),G,存在逆元素,2,3) 封闭性: 对于任意两个元素,g(,), g(,),G,其乘积仍属于,G.,即在参数空间中能够找到一个参数, 使,4) 结合律: 对任意, , , 有,是,的实函数, 即,则连续群,G,称为李群.,或,5),=,f(,),是,的解析函数(连续可微), 是的解析函数.,称为李群的结合函数.,3,连通性,:如果从连续群的任意一个元素出发, 经过,r,个参量的连续变化, 可以到达单位元素, 或者说如果连续群中的任意两个元素可以通过,r,个参量的连续变化连结起来, 则称此连续群是连通的. 这样的李群称为简单李群, 否则称为混合李群.,紧致李群:,如果李群的参数空间由有限个有界的区域组成, 则称该李群为紧致李群, 否则称为非紧致李群.,1) 所有实数以数的加法为群的乘法构成一个一阶李群.,群参数为群元本身. 结合函数为,=+. 一阶非紧致简单李群,例:,2)空间平移群: 三维实空间中的所有平移变换,构成一个李群, 群元由三个独立的实参量,表征.,三阶非紧致简单李群.,4,3) 二维特殊酉群,SU(2):,所有行列式为+1的二维酉矩阵构成,的群. 即,SU(2),是一个三阶紧致简单李群,其中,为实参量.,满足条件,SU(2),的群元可写为,或写为,5,4) 三维实正交群,O,(,3,):,所有三维实正交矩阵构成的连续群. 群元由3个实参数标记. 群元满足正交条件,三维实特殊正交群,SO,(,3,):,所有行列式为 +1 的3维实正交矩阵构成的连续群, 群元由3个实参数标记.,O,(,3,),保持实二次形,不变,SO,(,3,),群对应于三维实空间保持原点不变的三维转动群,群元为转动矩阵 , 由三个实参量0, 0, 0,2,来表征. 三阶紧致简单李群.,三维实正交群,O,(,3,)=SO(3),E,I,.,由行列式分别为,1的互不连通的两叶构成, 其参数空间包含两个互不连通的区域, 是三阶紧致混合李群.,6,空间转动群:,三维实坐标空间,R,3,保持原点不变的所有转动变换构成的群, 对应于特殊实正交矩阵群,SO(3).,1),SO(3),群的群元可用绕过原点方位角为(,)的转动轴,k,的转过,角的转动变换,C,k,(),表示.,在笛卡尔坐标系中, 绕三个坐标轴,x,y,z,的转动元素分别为,SO(3),群的参数化:,4.2 转动群,SO(3),与二维特殊酉群,SU(2),7,2),SO(3),群的群元也可用三个欧拉角,来标记.,SO(3),转动元素由相继三个转动变换生成: (1) 绕,z,轴转,角,02; (2)绕新的,y,轴(,y,轴)转角, 0; (3)绕新的,z,轴(,z,轴)转角, 0 2. 即,8,二维特殊酉群,SU(2):,所有行列式为+1的二维酉矩阵构成,的群. 三阶紧致简单李群, 群元由三个实参数表示,或,9,SU(2),群与,SO(3),群的关系:,对于,SU(2),中的任意一个元素,u,SU(2),可定义一个三维实坐标,空间中一个变换,R,u,如下:,为泡利矩阵. 是三个独立二阶零迹厄米矩阵.,定义:,则,R,u,满足,1),R,u,是三维实坐标空间中实正交变换, 即,10,2),det(R,u,),是,a,b,的连续函数,det(R,u,)=1.,则,SU(2),中任意一个元素都对应于,SO(3),中一个元素,R,u,3) 上述映射关系保持乘法规律不变,4) 上述映射关系是,SU(2),到,SO(3),的同态映射, 即对于,SO(3),中任何一个元素, 都能在,SU(2),中找到一个元素与之对应.,11,SO(3),中一个元素,R(,),都能在,SU(2),中找到一个元素与之对应, 存在,SU(2),群到,SO(3),群的同态.,5) 同态核由,组成, 对应,SO(3),中单位元素.,SU(2),群到,SO(3),群的同态映射是二对一的同态,SU(2),中两个元素,u,-u,对应于,SO(3),中同一元素.,12,4.3,SU(2),群的不可约表示,SU(2)群元是二维复向量空间上的酉变换,有序复数(,)是二维复向量空间中任意向量.,考虑,和的2,j,次齐次函数构成的2,j+1,维函数空间,以,j,为基底生成一个2,j+1,维的线性复函数空间,13,在,SU(2),群元作用下, (,)变为,(,).,构造一个映射, 将,利用二项式定理,变为,根据负整数的阶乘为无穷, 并进行变量代换,=,j-k-k,14,得到SU(2)群元u的表示矩阵,A,j,保持,SU(2),的乘法规律不变,表示,A,j,是,SU(2),的酉表示:,15,如果对角矩阵,A,对角元素各不相同, 则与之对易的矩阵,必是对角矩阵.,表示,A,j,是,SU(2),的不可约表示:,2) 如果对角矩阵A矩阵B对易, 且B中有一列不含一个零,则A必为常数矩阵.,与,SU(2),表示矩阵,A,j,(u),对易的,SU(2),的矩阵必为常数矩阵:,当,SU(2),元素中参数取,a=exp(,i,/2), b=0,时,2),A,j,(u),第一列,16,SU(2),元素,SU(2)的类结构和特征标:,本征值,可将本征值取为,参数a实部相同的所有元素本征值相同.本征方程,本征值只与Re(a)有关, Re(a)相同的所有元素本征值相同,通过相似变换联系, 相互等价, 互为共轭元素.,17,2) 取SU(2)元素,SU(2)的类结构和特征标:,表示,A,j,的特征标为,u(,),与,u(,),属于同一类, 则可用,u(,),标记,SU(2),群的类.,18,4.4,SO(3),群的不可约表示,SU(2),群有,到,SO(3),群的同态映射是二对一的同态, 保持乘法规律,不变.,SU(2),中两个元素(,u,u),对应于,SO(3),中同一转动元素,R,u,.,对于,SU(2),的表示,A,j,当,j,为整数时, 有,A,j,(,u)=,A,j,(,u),SU(2),中两,个元素(,u,u),对应于同一表示矩阵. 则,D,j,(,R,u,)=,A,j,(,u),是,SO(3),的一个表示, 称为单值表示.,对于,SU(2),的表示,A,j,当,j,为半整数时, 有,A,j,(,u)=,A,j,(,u),根据同态,关系, 有两个矩阵,A,j,(,u),对应于,SO(3),中一个元素,D,j,(,R,u,)=,A,j,(,u),不是,SO(3),的表示.,SO(3),群中具有相同转角的元素属于同一类. 可用,C,k,(,),标记.,特征标为,19,4.5 李群的无限小生成元,设李群由,r,个实参量来表征,恒元由零参量标记0, 恒元附近的无穷小元素由无穷小参量,将结合函数作泰勒展开,结合函数为,描述.,是群元,g(,),邻域的元素.,20,定义,考虑,的任意一个解析函数,F(,)的变化, 即,则,则,称为李群的无限小生成元.,21,例:,SO(2)为绕固定轴z转动群, 群元可参数化为,1) SO(2)的无限小生成元,无限小生成元,结合函数为,则,22,例:,SO(3),群元可参数化为绕,k,轴的转动,C,k,(,),2) SO(3)的无限小生成元,无限小转动将空间一点变到,任意函数变为,23,
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