函数及其表示

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案,1,函数及其表示,返回目录,1.,函数的基本概念,(1),函数定义,设集合,A,是一个非空的,如果按照某种确定的对应关系,f,使对于集合,A,中的任意一个数,x ,在集合,B,中都有,的数,f(x,),和它对应,那么就称,f : AB,为从集合,A,到集合,B,的一个函数，记作,.,数集,唯一确定,y=,f(x),xA,考点分析,返回目录,(2),函数的定义域、值域,在函数,y=,f(x),xA,中，,x,叫做自变量，,x,的取值范围,A,叫做函数的,；与,x,的值相对应的,y,值叫做函数值，函数值的集合,f(x)|xA,叫做函数的,.,显然,值域是集合,B,的子集,.,(3),函数的三要素,:,、,和,.,(4),相等函数,:,如果两个函数的,相同，并且,完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据,.,2.,函数的表示法,表示函数的常用方法有,:,、,和,.,定义域,值域,定义域,值域,对应法则,定义域,对应关系,解析法,图象法,列表法,3.,映射的概念,设,A,B,是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系,f,使对于集合,A,中的任意一个元素,x,在集合,B,中都有唯一确定的元素,y,与之对应,则称对应,f:AB,是集合,A,到集合,B,的一个,.,4.,由映射的定义可以看出,映射是,概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合,A,B,必须是,.,非空数集,返回目录,映射,函数,疑难点、易错点剖析,1,、映射是特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是“一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对多”的对应，故判断一个对应是否是映射的方法是：首先检验集合,A,中的每一个元素是否在集合,B,中都有像；然后看集合,A,中每个元素的象是否唯一。另外映射是有方向性的，即,A,到,B,的映射与,B,到,A,的映射是不同的。,问题一：以下对应中，哪些是映射？,1,-1,2,-2,1,4,f,：平方,1,2,3,4,1,9,6,4,张三,李四,王五,赵高,刘邦,关公,A,B,B,B,A,A,图,1,图,2,图,3,5,7,4,3,1,9,4,A,B,图,4,问题二：判断下列对应是否为从集合,A,到集合,B,的映射。,要弄清映射定义中如下几点：,1,、“对应法则”重在效果，未必要写出，可以“尽在不言中”；对应法则未必都有能用解析式表达。,2,、,A,中的第一个元素都有象，且唯一；,B,中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一。,3,、若对应法则为,f,，则,a,的象记为,f,（,a,）。,4,、映射是特殊的对应：“多对一”，“一对一”的对应是映射；“一对多”的对应不是映射。,2,、函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合,A,与集合,B,只能 是非空数集。即函数是非空数集,A,到非空数集,B,的映射。,问题三：以下映射中。哪些是函数？,1,2,3,4,1,9,6,4,B,A,图,1,张三,李四,王五,赵高,刘邦,关公,B,A,图,2,（,1,）,（,2,）,（,3,）,A=,平面,内的三角形,，,B=,平面,内的圆,，,f,：三角形 该三角形的内切圆,对函数要注意：,1,、函数是映射，映射不一定是函数，只有两非空数集之间的映射才是函数；,2,、要克服“函数就是解析式”的片面认识，有此对应法则很难甚至于无法用解析式表达（可用列表法图象法表示出来）,3,、定义域,=,原象集合,A,，值域,C,象集合,B,。,3,、对函数符号,f,（,X,）的涵义的理解：,f,（,X,）是表示一个整体符号，而记号“,f”,可,看作是对“,x”,施加的某种法则（或运算）,“,f”,可看作一部机器，把“,x”,输入“,f”,中，输出函数值。,4,、函数有三要素：定义域、值域、对应法则。只有当两个函数的三要素相同时，它们才是同一函数。,5,、定义域优先原则：函数定义域是函数的灵魂，它是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则，之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时，优先考虑定义域还会解题带来很大的方便。,返回目录,考点一 函数的概念,下列四组函数中,f(x,),与,g(x,),是否为同一函数,为什么,?,(1),f(x,)=,lgx,g(x,)= lgx,2,;,(2),f(x,)=x,g(x,)= ;,(3),f(x,)= ,g(x,)=,log,a,a,x,;,(4),f(x,)=lgx-2,g(x,)=,lg,.,【,分析,】,判断两个函数是否为同一函数,关键是判断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同,.,如果有一个不同,它们便不是同一函数,.,题型分析,返回目录,【,解析,】,(1)f(x),的定义域为,(0,+),g(x),的定义域为,(-,0)(0,+),定义域不同,故,f(x,),与,g(x,),不是同一函数,.,(2),函数,f(x,),的值域为,(-,+),g(x,),的值域为,0,+),值域不同,故,f(x,),与,g(x,),不是同一函数,.,(3),因为,f(x,)=,x(x,0),g(x)=,x(xR,),定义域不同,故,f(x,),与,g(x,),不是同一函数,.,(4),因为,f(x,)=lgx-2(x,0),g(x)=,lg,=lgx-2(x,0),所以,f(x,),与,g(x,),的对应法则、定义域和值域都分别相同,故它们是同一函数,.,【,评析,】,(1),只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是,:,定义域不同,两个函数也就不同,.,对应法则不同,两个函数也是不同的,.,即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数 的定义域和值域 不能唯一地确定函数的对应法则,.,(2),函数的对应法则可以化简,例如题型一,(3) (4),中的函数,再比如函数,f(x,)=|x|,和,g(x,)=,从表面上看它们的对应法则不同,但实质上是相同的,.,(3),当一个函数的对应法则和定义域给定后,它的值域便随之确定,所以,函数的三要素可简化为定义域、对应法则两要素,.,返回目录,返回目录,对应演练,判断下列各组函数是否为同一函数,.,(1),f(x,)=x,2,+2x-1,g(t)=t,2,+2t-1;,(2),f(x,)= ,g(x,)=x+1;,(3),x+1 (-1x0),x-1 (0x1),g(x,)=f,-1,(x).,(4),f(x,)=,返回目录,(1),两函数的定义域 、值域 、对应法则均相同 ，所以它们是同一函数,.,(2)y= =x+1,但,x1,而,y=x+1,中,xR,所以它们不是同一函数,.,(3),函数,f(x,)=,的定义域为,x|x0 ;,而函数,g(x,)=,的定义域为,x|x-1,或,x0 ,它们的定义域不同,所以不是同一函数,.,x-1,(0x1),x+1,(-1x0,1,x=0,- ,x0,x=,0,x,0,段上的图象,如图所示,作法略,.,(2)f(1)=1,2,=1,f(-1)=-,=1,f,f(-1),=f(1)=1.,返回目录,对应演练,如图，,OAB,是边长为,2,的正三角形，直线,x=t(0t2),截这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为,f(t,).,(1),求函数,y=,f(t,),的解析式，,并指明它的定义域,;,(2),求函数,y=,f(t,),的值域,.,返回目录,（,1,）当,0,t1,时，所截图形是一个直角三角形，其面积,f(t,)= t,2,tan60= t,2,;,当,1,t,2,时，所截图形是一个四边形 ，它的面积可由正三角形,OAB,的面积减去一个直角三角形的面积来计算，即,f(t,)= 2 - (2-t)(2-t)tan60 = - (2-t),2,;,当,t=2,时，所截图形即,OAB,，,f(t,)= .,t,2,，,0,t1.,-,（,2-t,）,2,1,t2.,此函数的定义域为,(0,2,.,综上,f(t,)=,返回目录,（,2,）当,0,t1,时，,0,t,2, ;,当,1,t2,时， ,- (2-t),2, .,故函数,f(t,),的值域为,(0,.,返回目录,正确理解函数的概念是掌握好本学案内容的关键,.,函数的本质是一种特殊对应关系，它的特殊性在于,:(1),它是非空数集到非空数集的对应,;(2),定义域中的每个元,素只有一个函数值；（,3,）定义域中的每个元素一定有,函数值,.,确定一个函数需要三个要素,:,定义域；对应法则 ； 值域,.,对应法则是规定元素对应关系的法则，它不一定能够用解析式表示 ，如列表法和图象法表示的函数,.,对于,f(x,),，可以理解为根据对应法则,f,，自变量,x,对应的,高考专家助教,函数值；也可以理解为根据对应法则,f,产生的函数,f(x,).,表示函数时，前面一般加“函数”二字,.,列表法、图象法,和解析法是函数最常用的三种表 示方法， 函数的图 象是,直观理解函数性质和 解 决函数问题的有力工 具，注意灵活使用,. (4) ,对于用几个分段式子表示的分段函数，不能误认为是几个函数，它是一个整体,.,对于分段函数，必须分段处理，最后还要综合写成一个函数表达式,;,解决分段函数的有关问题的关键是“分段归类”,.,即自变量的取值属于哪一段范围 ，就用这一段的解析式来解决,问题,.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,