中学几何研究第二讲

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2011年8月,*,第二讲 平面几何研究与解题,1,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,（三）关于学习内容,在各个学段中，标准安排了“数与代数”“,空间与图形,”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。,空间与图形,空间观念,主要表现在：,能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,“空间与图形”,的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重要工具。,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,第三学段（79年级）：,图形与几何,图形的性质,点、线、面、角；相交线与平行线；三角形；,四边形；圆；尺规作图；定义、命题、定理,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,图形的变化,图形的轴对称；图形的旋转；图形的平移；,图形的相似；图形的投影,图形与坐标,坐标与图形的位置；坐标与图形的运动,，,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,七上 图形认识的初步,七下 相交线与平行线,七下 三角形,八上 全等三角形,八上 轴对称,八下 勾股定理,八下 四边形,九上 旋转,九上 圆,九下 相似,九下 投影与视图,七年级上册第四章 图形认识的初步,4.1. 多姿多彩的图形,阅读与思考 几何学的起源,4.2. 直线、射线、线段,阅读与思考 长度的测量,4.3. 角,4.4. 课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒,数学活动,小结,复习题4,七年级下册,第五章 相交线与平行线,5.1. 相交线,观察与猜想 看图时的错觉,5.2. 平行线及其判定,5.3. 平行线的性质,信息技术应用 探索两条直线的位置关系,5.4. 平移,数学活动,小结,复习题5,第七章 三角形,7.1. 与三角形有关的线段,信息技术应用 画图找规律,7.2. 与三角形有关的角,阅读与思考 为什么要证明,7.3. 多边形及其内角和,阅读与思考 多边形的三角剖分,7.4. 课题学习 镶嵌,数学活动,小结,复习题7,八年级上册,第十一章 全等三角形,11.1 全等三角形,11.2 全等三角形的判定,阅读与思考 全等与全等三角形,11.3 角的平分线的性质,数学活动,小结,复习题11,第十二章 轴对称,12.1 轴对称,12.2 作轴对称图形,信息技术应用 探索轴对称的性质,12.3 等腰三角形,实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系,数学活动,小结,复习题12,八年级下册,第十八章 勾股定理,18.1 勾股定理,阅读与思考 勾股定理的证明,18.2 勾股定理的证明,数学活动,小结,复习题18,第十九章 四边形,19.1 平行四边形,阅读与思考 平行四边形法则,19.2 特殊的平行四边形,实验与探究 巧拼正方形,19.3 梯形,观察与猜想 平面直角坐标系中的特殊四边形,19.4 课题学习 重心,数学活动,小结,复习题19,九年级上册,第二十三章 旋转,23.1 图形的旋转,23.2 中心对称,信息技术应用 探索旋转的性质,23.3 课题学习 图案设计,阅读与思考 旋转的对称性,数学活动,小结,复习题23,第二十四章 圆,24.1 圆,24.2 点、直线、圆和圆的位置关系,24.3 正多边形和圆,阅读与思考 圆周率,24.4 弧长和扇形面积,实验与探究 设计跑道,数学活动,小结,复习题24,九年级下册,第二十七章 相似,27.1 图形的相似,27.2 相似三角形,观察与猜测 奇妙的分形图形,27.3 位似,信息技术应用 探索位似的性质,数学活动,小结,复习题27,第二十九章 投影与视图,29.1 投影,29.2 三视图,阅读与思考 视图的产生与应用,29.3 课题学习 制作立体模型,数学活动,小结,复习题29,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,普通高中数学课程标准（实验）,数学4：平面上的向量；,数学5：解三角形。,平面向量（约12课时）,平面向量的实际背景及基本概念,向量的线性运算,平面向量的基本定理及坐标表示,平面向量的数量积,向量的应用,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,解三角形（约8课时）,通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。,能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求必修4 第二章 平面向量,第二章 平面向量,2.1 平面向量的实际背景及基本概念,2.2 平面向量的线性运算,2.3 平面向量的基本定理及坐标表示,2.4 平面向量的数量积,2.5 平面向量应用举例,小结,复习参考题,中小学数学课程中平面几何部分的内容要求必修5 第一章 解三角形,第一章 解三角形,正弦定理和余弦定理,探究与发现 解三角形的进一步讨论,应用举例,阅读与思考 海伦和秦九韶,实习作业,小结,复习参考题,2. 中学平面几何典型例题2.1. 数学知识类【例题1】七年级上册 第四章 图形认识初步,【例题2】七年级下册 第五章 相交线与平行线,【例题3】必修4 第二章 平面向量,【例题4】必修5 第一章 解三角形,2.2. 课题学习类【例题5】八年级下册 第十九章 四边形19.4 课题学习 重心教材P112-114,2.3. 信息技术应用类【例题6】九年级上册 第二十三章 旋转23.2 中心对称 信息技术应用 探索旋转的性质教材P69-70,2.4. 实验与探究类【例题7】九年级上册 第二十四章 圆24.4 弧长和扇形面积 实验与探究 设计跑道教材P116,【例题8】必修5 第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理 探究与发现 解三角形的进一步讨论教材P9-10,2.5. 数学活动类【例题9】九年级下册 第二十七章 相似 数学活动教材P67-68,3. 中学数学平面几何考点分析3.1. 初中竞赛类题目,中学数学平面几何考点分析初中竞赛类题目,中学数学平面几何考点分析初中竞赛类题目,中学数学平面几何考点分析初中竞赛类题目,P,中学数学平面几何考点分析高中教科书例题类题目,中学数学平面几何考点分析高中教科书例题类题目,中学数学平面几何考点分析高中教科书例题类题目,中学数学平面几何考点分析高中教科书例题类题目,中学数学平面几何考点分析高考类题目,中学数学平面几何考点分析高考类题目,中学数学平面几何考点分析高考类题目,中学数学平面几何考点分析高考类题目,中学数学平面几何考点分析高考类题目,中学数学平面几何考点分析高考类题目,中学数学平面几何考点分析高考类题目,中学数学平面几何考点分析高考类题目,中学数学平面几何考点分析高观点下的中学数学类题目,中学数学平面几何考点分析高观点下的中学数学类题目,4. 证题的一般思路4.1. 命题的四种变化,例如：原命题：三角形中若两边相等，则其对角亦等。 （ ）,逆命题：三角形中若两角相等，则其对边亦等。 （ ）,否命题：三角形中若两边不等，则其对角亦不等。 （ ）,逆否命题：三角形中若两角不等，则其对边也不等。（ ）,例如：原命题：若两角为对顶角，则此两角相等。 （ ）,逆命题：若两角相等，则此两角为对顶角。 （ ）,否命题：若两角非对顶角，则此两角不等。 （ ）,逆否命题：若两角不等，则此两角非对顶角。 （ ）,例如：原命题：若四边形四边相等，则为正方形。 （ ）,逆命题：若四边形为正方形，则四边相等。 （ ）,否命题：若四边形四边不等，则非正方形。 （ ）,逆否命题：若四边形非正方形，则四边不等。 （ ）,原命题真，它的逆命题和否命题未必真。,互为逆否的两命题，真则同真，假则同假。,充分条件，必要条件，充要条件,证明命题要谨防出错,证题的一般思路,证题的一般思路,证题的一般思路有,试误式,与,顿悟式,思路。,几类问题的证明方法,课堂阅读,几何轨迹与尺规作图几何轨迹,在几何中，把具有某性质的点组成的集合叫做具有这种性质的,点的轨迹,。,此时，必须特别注意轨迹命题的两面证明的必要性，这是轨迹的定义所规定的：,任取合于条件C的一点，证明它在图形F上；,在图形F上任取一点，证明它合于条件C。,虽然轨迹和几何图形都是点集，但两者是有区别的，一般来说，图形是知其形而不知其性，轨迹是知其性而不知其形。我们研究轨迹问题，就是要探究适合一定条件的点的集合形成什么样的图形，使形和性得到完美统一。,几何轨迹与尺规作图几何轨迹,有些轨迹命题比较复杂，还要用到一些最基本的轨迹命题作为推求的基础。把一些最常见最基本的轨迹命题作为轨迹基本定理（见课本P102）。,轨迹命题的三种类型,第一类轨迹命题,，明白说出轨迹的形状和位置，如有大小可言，也一并指出。例如，距两定点等远的点的轨迹，是该两点连线段的中垂线。,第二类轨迹命题,，明白说出轨迹的形状，至于位置或大小，或叙述而不全，或干脆不说。例如，距两定点等远的点的轨迹是一条直线。,第三类轨迹命题,，只给出条件，至于轨迹的形状、位置和大小，则一概不提。例如，求距两定点等远的点的轨迹。,【例题】设平面上一点与一定圆的距离等于圆半径，则该点的轨迹为该圆中心和一个半径加倍的同心圆的并。,注：设一点P与圆心O所连直线交圆于两点A、B，并以A表示其中距P较近者，以M表圆上除A以外的任一点，则可证明PAPM。于是称PA是点P到圆周的距离。,几何轨迹与尺规作图尺规作图,假设给了一些条件，而设法求作具备这些条件的图形，这便是,作图问题,。完成作图以后，便可断言具备某些条件的图形存在。或在什么情况下这样的图形存在，因而使言之有物。这样，解几何作图问题，在某种意义上说，就是存在问题的证明。,完成一个作图题，在学生头脑里能把个别的几何事实具体化起来，将注意力从字面上的几何命题转到这命题所含的现实几何关系上来。,几何作图可以提供题材，把所学的命题用来解决某些具体问题，使学生学会学以致用。,几何作图的学习给制图学提供理论基础，它在实践上的意义是不可忽视的。,在解作图题过程中，要运用一系列相当复杂的逻辑思维。,几何轨迹与尺规作图尺规作图,化圆为方,三等分角,立方倍积,几何轨迹与尺规作图尺规作图,其实，作图工具的这种限制并非个别人的癖好和主观旨意，追溯起来，主要有三个原因：,（1）和当时研究的对象和方法有关：,（2）和古希腊几何研究的指导思想有关：,（3）希腊人通过尺规作图来证明一个几何图形的存在问题。,几何轨迹与尺规作图尺规作图,在传统的几何作图中，,尺规作图,是指没有刻度的直尺和圆规两件工具，并用有限次步骤作出合乎预先约定条件的图形，有时也叫,欧几里得作图,。,几何轨迹与尺规作图尺规作图,所谓完成了一个尺规作图，就是说能把问题归结为有限次的如下几个认可的简单作图：,通过两个已知点可作一条直线；,已知圆心和半径可作一个圆；,若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。,几何轨迹与尺规作图尺规作图,几何轨迹与尺规作图尺规作图,几何轨迹与尺规作图尺规作图,解作图题的步骤一般分为：写出,已知,（详细写出题设条件，并用相应符号或图形表示）与,求作,（说明要做的图形是什么，以及该图形应具有的题设条件），进行,分析,（寻求作图线索），写出,作法,，,证明,，并进行,讨论,。,【练习1】给定不共线三点A、B、C，求过C作一直线l使距AB等远。,【练习2】求作一三角形，已知其两边及其中一边的对角。,补充素材选修3-6三等分角与数域扩充,1.三等分角问题,2. 三等分角实用作图法,“数学之神”阿基米德的作法。,逐次逼近作图法,思考：方法二算不算是三等分角尺规作图这一问题的解答？,借助辅助曲线,据史料记载，古希腊数学家喜比亚斯借助于一种特殊的曲线割圆曲线，找到了求解三等分角的另一种方法。,3. 三等分角尺规作图问题的解决,数域,由若干数组成，至少包含一个非零的数，且对于加、减、乘、除四则运算封闭（但作除法时除数不得为0）的集合。,定理6,不存在三等分任意角的尺规作图法。,等分圆周,【例题】五等分圆周。,作法：在圆内作互相垂直的直径PQ和AS，平分OQ于M；以M为中心以MA为半径作弧，交OP于点N。又以A为中心以AN为半径作弧，交圆于B，则AB为内接正五边形的一边。,几何轨迹与尺规作图尺规作图,由于尺规作图在理论上的限制，使得希腊几何留下两项任务有待解决：,第一项是特殊任务，这就是三大几何作图问题，它引起人们极大的兴趣，虽然它的答案是否定的，但至今还使一些人着迷。,第二项任务则具有普遍意义，即源于古希腊人通过作图来证明数学对象（尤其是几何对象）的存在性，然而仅用尺规显然限制过严，这就需要突破狭隘的几何方法的束缚，放宽存在性问题的准则。,【补充案例】勾股定理的新旧教材对比,上联：三强韩赵魏,下联：九章勾股弦,勾股定理的几种常见证法,周髀算经卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径隅五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”,“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。”,“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”,“两矩共长二十有五，是谓积矩。”,赵爽弦图,毕达哥拉斯学派的证明,欧几里得原本中的证明,总统证法,面积割补法,人教社版、华师大版、北师大版中的“勾股定理”人民教育出版社八年级下册 第18章 勾股定理,华师大版 第14章 勾股定理,北师大版八年级上册 第1章 勾股定理,本章作业,3.作图题：在定圆内作圆内接正八边形。,4.找出勾股定理证明的另一种证法，同时分析三个版本教材中“勾股定理”设置的长处和不足。,