函数的极值及求法,最值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 函数的极值及求法,内容提要,极大值和极小值,教学要求,1.,理解函数极值的概念；,2.,掌握求函数的极大值和极小值方法,观察下列图形,函数的极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值的点,x,称为,极值点,.,0,定义,一,.,函数的极值,(2),函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值,其中有的极大值可能比极小值还小,.(,如图,),O,x,y,a,b,y,=,f,(,x,),注意,:,(1),函数的极值,f,(,x,0,),是一个局部性概念,它只描述函数在某点,x,0,近旁的变化状态,.,设函数,f,(,x,),在点,x,0,处可导,且在,x,0,处取得极值那么必定有,定理,(,极值的必要条件,),二、函数极值的判别法,注意,1:,如：,可导函数的极值点,驻点,x,y,o,连续函数,f,(,x,),的可能极值点只能是其驻点,(,不可导点,),注意,2,:,左正右负极大,左负右正极小,左右同号无极值,极值的判定法则,设,f,(,x,),在点 连续,在点 的某一空心邻域内可导,当,x,由小增大经过 时,如果,(2),由负变正,那么 是极小值点,;,(3),不变号,那么 不是极值点,.,(1),由正变负,那么 是极大值点,;,例,1,求,的极值,令,得驻点,显然有极小值,极大值,解：函数定义域为,列表,0,0,1,3,极小,极大,例,2,求函数,内的极值,令,解之得在,(0,，,2,),内的三个根,极小值,解：,极大值,0,0,0,极大,无,极小,解,列表讨论,不存在,例,3,极值的判定法则,注意：,当,时,法则,失效,用法则,判定,例,4,求函数,的极值,令,得,所以,为极大值；,所以,为极小值,.,解：,由于,由于,说明：,对极值判定法则,、法则,的选用一般遵从：如果 易求,用法则,简单些,但法则,对驻点处极值的判定不会有失效的情形,具有通用性,只不过有时的变号不易分析而已,当然,也可将法则,、法则,并用,.,求极值的步骤,:,1.,极值是函数的局部性概念,:,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,.,2.,函数的极值必在驻点或尖点,(,不可导点,),取得,.,判别法,法则,;,法则,;,(,注意使用条件,),小结,第五节 函数的最大值与最小值,由闭区间上连续函数的性质可知：,闭区间,a,b,上的连续函数,f,(,x,),一定存在着最大值和最小值,.,显然,函数在闭区间,a,b,上最大值和最小值只能在区间,(,a,b,),内的极值点和区间端点处达到,.,因此,可直接求出一切可能的极值点,(,包括驻点和不可导点,),和端点处的函数值,比较这些数值的大小,即可得出函数的最大值和最小值,.,函数的最大值与最小值可统称为,函数的最值,最值与极值区别在于：极值是反映函数值局部性质的概念,最值是反映函数值的整体性质的概念,.,步骤,:,1.,求驻点和不可导点,;,2.,求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值,;,注意,:,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值,.(,最大值或最小值,),如图,闭区间上连续函数的最值的求法,x,y,o,a,b,x,y,a,b,o,例 求函数,最大值与最小值,求得在,3,，,3,上的驻点,最小值为,解,:,令,上的最大值为,显然：,由于,在区间,3,，,3,上的,实际问题,(,请看教材,8183,页的例子,),求最值的步骤,.,(1),建立目标函数,;,(2),求最值,;,作业,:P71,页,.2 3,