测绘数据处理-自由网平差课件

,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,测绘数据处理,测绘工程教研室,土地科学技术学院,2024/9/14,1,一、自由网平差概述,在控制网的经典间接平差中，必须具有足够的起算数据。例如，在水准网的间接平差中，必须至少已知某一点的高程；在测角网的间接平差中，必须至少已知某一点的坐标、某一条边的坐标方位角即某一条边的边长，等等。下面将讨论无起算数据的平差方法，即自由网平差。,当网中有足够的起算数据时，经典间接平差的误差方程为,(1-7-1,）,系数矩阵,B,最大线性无关的行（列）向量的个数，及,B,矩阵的秩,R(B),等于未知参数 的个数,t.,即,(1-7-2),2024/9/14,2,在最小二乘准则下，得其法方程为,(1-7-3),其中,N= PB,W=,。此时，系数阵,N,为满秩方阵，即,det(N) ,N,为非奇异阵，有唯一解，其解为,(1-7-4),当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知参数的个数为,u,误差方程为,(1-7-5),组成的法方程为,2024/9/14,3,(1-7-6),由于,det(N)=0,故,N,为奇异阵，其凯利逆 不存在，此时如仍按经典平差公式接，将不可能得出唯一的解。,令,B,的列满秩数为 （,B,）,B,的实际秩数为,R(B),，,d= (B)-R(B),d,即为秩亏数。对于法方程系数矩阵,N,，必然也有,d=(N)-R(N).,如果,d=0,就是经典平差问题；当,d,时，就是所谓的秩亏自由网平差问题。,在实用上，产生秩亏得主要原因是不设起算数据，而且选定网中高程、坐标等作为平差的未知参数，所以秩亏自由网平差也叫无固定数据的的自由网平差，简称自由网平差。,具体问题中矩阵,B,或,N,的秩亏数,d,，虽然可以通过计算,R(B),或,R(N),求出，实际上并不需要这样做，究其原因可知，秩亏数,2024/9/14,4,d,就是网中必要的起算数据个数。且有：,二,、,秩亏自由网平差思路,为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情况：,（,1,）、经典自由网平差,。它是在假设网中有,d,个必要起算数据的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数,X,的解及其协因数阵 ）将随着假设的,d,个必要起算数据的不同而不同，即随着已知点位置的改变而改变。,2024/9/14,5,（,2,）、秩亏网平差,。它是在最小二乘 和最小范数的条件 下求定未知参数的最佳估值。,（,3,）、加权秩亏网平差,。它是在最小二乘 和加权最小范数的条件 下求定未知参数的最佳估值。式中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。,（,4,）、拟稳平差,。若将平差网中的未知参数分为两类，即,(sd),(1-7-7),式中， 是非拟稳点的未知参数， 是拟稳点的未知参数。这样拟稳平差是在 和 求定未知参数的最佳估值。,2024/9/14,6,由上可知，三种秩亏自由网平差均遵循 的原则，对于同一平差问题，它们将有相同的法方程，三种自由网平差的解均能满足法方程式,(1-7-6),，它它们都是这一相同法方程多组解中的一个特解。它们之间的不同只是由于各自对解向量,x,所加的限制条件不同引起的，即由于各自所加的最小范数条件不同，因此得到了不同的解向量。,由于秩亏网平差与拟稳平差都是加权秩亏网平差的特殊情况，其区别仅在于各自选择了不同的先验权阵 。所以我们将先介绍加权秩亏网平差，然后再介绍秩亏网平差和拟稳平差。自由网平差的方法很多，本节我们只介绍附加条件法。,2024/9/14,7,三,、,自由网平差基准,（一）经典自由网平差基准,实际上是固定某个实际的点的位置，固定一个实际的方位角，一条实际的边长等来定义的。,（二）秩亏自由网平差基准,与经典的自由网不同，秩亏自由网平差基准是通过对整个网点的坐标或部分网点的坐标进行某种约束（条件）来定义的，这种约束实际上是固定某个虚拟点的位置，固定某个虚拟方向、虚拟距离等。,2024/9/14,8,对三维网,，这种约束将要求：,.,平差前后网点重心不变（即固定重心点坐标）；,.,平差前后控制网相对其重心不绕,X,、,Y,、,Z,轴旋转（即固定重心,与所有网点连线的平均方位角与天顶距）；,.,平差前后所有网点相对重心的平均距离不变（即固定与重心的,平均距离）。,对平面网,，这种约束将要求：,.,平差前后网点重心坐标不变；,.,平差前后各网点与重心连心的平均方位角不变；,.,平差前后所有网点相对重心的平均距离不变（即固定与重心的,平均距离）。,对于一维的高程网,，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持,不变。,这些约束条件我们称之为,重心基准条件,。,2024/9/14,9,（三）加权秩亏自由网平差基准,和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带权重心基准条件。,（四）拟稳平差基准,也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心基准条件。,四、,加权秩亏自由网平差,（一）平差计算公式,加权秩亏网平差就是求相容法方程：,(1-7-8),的加权最小范数解。,附加条件法的基本思想是：由于网中没有起始数据，平差时多选了,d,个未知参数。现在,u,个未知参数之间适当给定,d,个附加条件,2024/9/14,10,式，即在平差问题的函数模型中加入,d,个未知参数的限制条件方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。,等价于约束条件 的限制条件方程为,(1-7-9),式中,BG=0,(1-7-10),故加权秩亏网平差函数模型为,(1-7-11),2024/9/14,11,此处的系数矩阵,B,不是列满矩阵，而是列亏矩阵。,将式,（,1-7-11,）,组成法方程，得,(1-7-12),式中 ， 因,N,为降秩方阵，无正常逆，所以必须对法方程作适当变动。将式,(1-7-12),中第二个方程左乘后再加到第一个方程上去，即得变形后的法方程为,(1-7-13),式中，,解法方程，得,(1-7-14),2024/9/14,12,(1-7-15),可以证明（证明略），当,G,满足条件,BG=0,时，连系数向量,K,必等于零。故可简化为,(1-7-16),将代入式,(1-7-11),，可求得,V,，再根据 即可求得个未知参数的平差值 需要说明的是，在实际计算时，附加阵,G,不仅要满足,BG=0,的条件，还要满足条件,(1-7-17),也即在实际计算前，尚需要把,G,阵进行标准化，是的满足式,(1-7-17),所述条件。,2024/9/14,13,（二）精度评定公式,1,、验后单位权方差,(1-7-18),式中， 可以直接计算，也可用 计算得到,2,、协因数阵,（,1,）未知参数的协因数阵为,(1-7-19),当对,G,阵进行标准化后，由于 ，故,式,(1-7-19),可进一步简化为,(1-7-20),（,2,）观测数据平差值的协因数阵为,(1-7-21),2024/9/14,14,（三）常见附加阵,G,采用附加条件法进行秩亏自由网平差计算非常容易，但必须预先构建附加阵,G,。下面是几种常见的附加阵,G,。,1,、水准网,设有,u,个点，则,(1-7-22),2,、平面测角网,按角度平差，设有,m,个点，则,(1-7-23),2024/9/14,15,3,、平面测角网,按方向平差，设有,m,个点，则,（,1-7-24,）,4,、三维测角网,（,1-7-25,）,2024/9/14,16,对于平面测边网、边角网和导线网，只要将式,(1-7-23),或式,(1-7-24),中的第四行划去，剩下的三行,u,列的阵，即分别为按角度平差时的附加阵。对于三维测边网，只要将式,（,1-7-25,）,的第七行划去，剩下的,6,三行,u,列的阵即为三维测边网平差时的附加阵。,很明显，上述的附加阵,G,均未标准化，即只是满足了,BG=0,，但尚未满足的条件。,2024/9/14,17,阵标准化,1,、用原始阵 和 阵，求出相应的阵 ；,2,、设 中第,i,行主对角元素为,g,ii,，把原始阵 相应的第,i,行数据均乘以 即可得到标准化阵的相应数据；,3,、原始阵中每一行数据均按（,2,）所述做同样变换，即可得到标准化阵。,例：有测边网如下图所示，各点的近似坐标列于下表。若又已知待定点的先验权阵为,2024/9/14,18,试求加权秩亏网平差的标准化阵。,表,1-7-1,解：,计算秩亏网平差时的标准化阵，即计算满足,BG=0,和,计算网的加权重心点坐标。,点号,4,3,2,1,2024/9/14,19,（,2,）计算以加权重心点坐标为坐标原点的各待定点的坐标值列于表,1-7-2.,表,1-7-2,点号,/km,4,3,2,1,(3),原始阵 确定。,由于是测角网，根据式,(1-7-23),即可得到测边网原始阵 （按角度平差）,2024/9/14,20,（,4,）求解,（,5,）标准化阵确定,把原始阵中的第一行、第二行、第三行分别乘以,，即可求得标准化阵为,2024/9/14,21,五、秩亏自由网平差,秩亏网是在最小二乘和最小范数的条件下求定未知参数的最佳估值。也可叙述为秩亏网平差是求相容法方程在最小范数,(1-7-26),条件下的解。它是加权秩亏网平差 时的特例。因此，秩亏网平差的各种计算公式均可由加权秩亏网平差时的计算公式列出。,（一）,平差计算公式,等价于约束条件 的限制条件方程为,2024/9/14,22,（,1-7-27,）,式中,BG=0,（,1-7-28,）,故秩亏网平差的函数模型为,（,1-7-29,）,此处的系数矩阵,B,不是列满矩阵，而是列亏矩阵。将式,（,1-7-29,）组成法方程，得,(1-7-30),式中，,2024/9/14,23,因,N,为降秩方阵，无正常逆，所以必须对法方程作适当变动。将式,(1-7-30),中第二个方程左乘后再加到第一个方程上去，记得变形后的法方程为,(1-7-31),，,式中，,解法方程，得,(1-7-32),(1-7-33),可以证明（证明略），当,G,满足条件,BG=0,时，连系数向量,K,必等于零。故可简化为,(1-7-34),将代入式,(1-7-29),，可求得,V,，再根据 即可求得个未知参数的平差值。需要说明的是，在实际计算时，附加阵,G,不仅要满足,BG=0,的条件，还要满足条件,(1-7-35),也即在实际计算前，尚需要把,G,阵进行标准化，满足式,(1-7-35),所述条件。,2024/9/14,24,（二）精度评定公式（ ）,1,、验后单位权方差,(1-7-36),式中， 可以直接计算，也可用 计算得到,2,、协因数阵,（,1,）未知参数的协因数阵为,(1-7-37),当对,G,阵进行标准化后，由于 ，故,式,(1-7-19),可进一步简化为,(1-7-38),（,2,）观测数据平差值的协因数阵为,(1-7-39),2024/9/14,25,（三） 阵标准化,1,、用原始阵 和 阵，求出相应的阵 ；,2,、设 中第,i,行主对角元素为,g,ii,，把原始阵 相应的第,i,行数据均乘以 即可得到标准化阵的相应数据；,3,、原始阵中每一行数据均按（,2,）所述做同样变换，即可得到标准化阵。,例：测角网如下图，全网,4,个待定点的坐标值列于下表,.,当采用秩亏网测角平差时，求其标准化阵。,2024/9/14,26,点号,/m,P1,P2,P3,P4,2024/9/14,27,（,1,）,计算网的重心点坐标,（,2,）,计算以加权重心点坐标为坐标原点的各待定点的坐标值,点号,/km,P1,P2,P3,P4,2024/9/14,28,(3),原始 阵确定。,（,4,）求解,（,5,）标准化阵确定,把原始阵中的第一行、第二行、第三行、第四行分别乘以,2024/9/14,29,六、拟稳平差,拟稳平差是在最小二乘和最小范数（局部解向量的范数最小） 的条件下，求定位置参数的最佳估值。也可叙述为：拟稳平差是相容法方程,，,（,1-7-40,）,在最小范数条件下的解。可见，它是加权秩亏网平差取,时的特例。因此，拟稳平差的各种计算公式也可由加权秩亏网平差的计算公式直接引出。,2024/9/14,30,（一）平差计算公式,在式（,1-7-40,）第二式中，取,（,1-7-41,）,并设,（,1-7-42,）,则,（,1-7-43,）,若令,（,1-7-44,）,则可得拟稳平差的函数模型为,（,1-7-45,）,此处的系数矩阵,B,不是列满矩阵，而是列亏矩阵。将式（,1-7-45,）组成法方程，得,2024/9/14,31,（,1-7-46,）,式中， ，。,因为降秩方阵，无正常逆，所以必须对法方程做适当变动。将（,1-7-46,）中的第二个方程左乘 后再加到第一个方程上去，既得变形后的法方程为,（,1-7-47,）,式中，。,解法方程，得,（,1-7-48,）,（,1-7-49,）,可以证明,当 满足条件时，联系数向量,K,必等于零。故式可简化为,（,1-7-50,）,代入式（,1-7-45,），可求得,V,，即可求得各未知参数的平差值 。,2024/9/14,32,在实际计算时，还要对附加阵提出进一步的要求,（,1-7-51,）,在实际计算前，也需要把阵进行标准化，使得满足式 （,1-7-51,）所述条件。,（二）精度评定公式,1.,验后单位权方差,（,1-7-52,）,式中， 可以直接计算，也可以 计算得到,2.,协因数阵,（,1,）未知参数的协因数阵为,（,1-7-53,）,当对阵进行标准化后，由于 ，可证明,故式（,1-7-53,）可进一步简化为,（,1-7-54,）,2024/9/14,33,（,2,）观测数据平差值的协因数阵为,（,1-7-55,）,（三）阵和阵标准化,（,1,）拟稳点各坐标的权为,1,，非拟稳点权为零，组成矩阵；,（,2,）用原始阵 求出相应的阵；,（,3,）设 中第,i,行主对角元素为,g,ii,，把原始阵相应的第,i,行数据均乘以 即可得到标准化 阵的相应数据；,（,4,）原始阵中每一行数据均按（,2,）所述作同样变换，即可得到标准化阵；,（,5,）在标准化 阵中取出相应拟稳点数据部分，把非拟稳点部分数据用,0,补齐，就组成了标准化 阵。,2024/9/14,34,例：试求以,2,、,3,两点为拟稳点时拟稳平差的标准化阵。,解：,计算满足,BG=0,和 的附加阵,(1),计算该网,2,、,3,两个拟稳点的重心坐标为,点号,4,3,2,1,2024/9/14,35,（,2,）,计算以加权重心点坐标为坐标原点的各待定点的坐标值,，,点号,-0.4804,-0.6842,0.4804,-0.3378,-0.4804,0.3378,0.1253,-0.9814,2024/9/14,36,（,3,）原始阵确定。,由于是侧边网，把式（,1-7-23,）中的第四行去掉后，即可得到侧边网原始 阵（按角度平差）。,（,4,）组建。,（,5,）求解。,2024/9/14,37,（,6,）标准化阵确定。,把原始阵中的第,1,行、第,2,行、第,3,行分别乘以,，即可求得标准化 阵为,（,7,）标准化阵 确定。,2024/9/14,38,