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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、（30分）,（1）一粒子质量为,m,，在二维无限深势阱中运动，势阱箱的长宽分别在,和 区间。势阱内势场为零。（a）求粒子的波函数和能量可能值。（b）若,a=b,，给出前三个能级及相应的波函数，并讨论它们的简并情况。,（a）由一维无限深势阱粒子波函数和能量本征值,得,1,基态(或,x、y,方向处在同一能态）时，能级非简并；,第一激发态时，能级二重简并。,（b）若,a=b,，给出前三个能级及相应的波函数，并讨论它们的简并情况。,2,（2）一粒子质量为,m,，在下述势场中运动,若粒子从右边入射，试求反射系数。（,从右还是从左入射？,）,解：,II,I,同理,区域无反射波，,3,消去 ：,反射系数,若,从左入射，则需要分 和 两种情况讨论。,参考教案2.8节例题,4,二、（30分）,（1）若系统处于波函数 描述的状态，试求,该状态下角动量z分量 的可能测值，出现的概率和平均值。,（2）若系统处于波函数 描述的状态（k为常数），试求该状态下 的可能测值，出现的概率和平均值。,（3）（已知球谐函数： ）,解：,（1）,此函数已经归一化， 的可能值 ，相应概率 ，,平均值,5,取值可为 ，概率比 ，所以相应取,值概率 。,（2）若系统处于波函数 描述的状态（k为常数），试求该状态下 的可能测值，出现的概率和平均值。,6,三、（30分）平面转子的转动惯量为 ，在,x-y,平面内转动，转角为 。,（1）试求平面转子的能量本征值和本征函数。,（2）若初始系统波函数 ，求任意时刻归一化波函数。,（3）若系统附加一个能量微扰项 ，求系统第一激发态能量的一级修正值。,解：,（1）,转子能量的经典表示：,，对平面转子，,所以 也是 的属于本征值 的本征函数。,7,（2）若初始系统波函数 ，求任意时刻归一化波函数。,（2）,归一化,8,（3）若系统附加一个能量微扰项 ，求系统第一激发态能量的一级修正值。,（3）,9,解：,（1）,在 表象中， 和 的矩阵表示,四、（30分） 为泡利算符，试求,（2）在 表象中，求 和 的本征态和本征值。,（3）由 表象变换到 表象的变换矩阵。,（1）在 表象中，求 ， 和 的本征态。,时，,归一化,同理， 时，得,10,解方程,即得 的属于本征值 的本征态分别为,（2）在 表象中，求 和 的本征态和本征值。,利用轮换对称性，在 表象中，,的本征值和本征态： ； ，,的本征值和本征态： ； ，,11,（3）由 表象变换到 表象的变换矩阵。,（3）由 表象变换到 表象的变换矩阵，就是由 在表象中的态矢量按列排列得到，即,12,其中 为氢原子的能量本征函数。,五、（30分）氢原子初始波函数为,（1）计算初始时刻系统平均能量,（氢原子基态能量为-13.6eV）。,（2）试求任意时刻氢原子波函数,（3）试求任意时刻系统处于 态的概率。,解：,波函数已经归一化。,（1）,（2）,（3）,13,
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