2.1 第2课时 数列的通项公式与递推公式1

第,2,课时 数列的通项公式与递推公式,按照一定顺序排列的一列数称为,数列,.,(,数列具有,有序性、可重复性、确定性,),1.,数列的定义：,2.,数列与函数的关系,:,数列可以看成以正整数集,（或它的有限子集,1,2,，,，,n,）为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值,.,反过来，对于函数,y=f,（,x,）,如果,f,（,i,）（,i=1,2,3,，,）有意义，那么我们可以得到一个数列,f,（,1,），,f,（,2,），,f,（,3,），,，,f,（,n,），,1.,了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式,;,(,重点）,2.,了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；,3.,掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式,.,（难点）,我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项,.,探究点,1,数列的通项公式,注：数列与函数的关系,y=f,（,x,）,a,n,n,（正整数集,N,或它的有限子集,1,2,3, ,n),项,通项公式,函数值,自变量,如果数列,的第,n,项与序号,n,之间的关系可以用一个,式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式,.,【,即时练习,】,写出下面数列的一个通项公式,:,例,1,写出下面数列的一个通项公式，使它的前,4,项分别是下列各数：,【,解析,】,（,1,）这个数列的前,4,项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为,通项公式不唯一,（,2,）这个数列的前,4,项构成一个摆动数列，奇数项是,2,，偶数项是,0,，所以，它的一个通项公式为,【,互动探究,】,1.,根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？请举例说明,.,提示：不一定唯一,.,.,2.,根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗？请举例说明,.,提示：不一定能写出,.,n,1,2,3,4,5,a,n,=2n-1,1,3,5,7,9,【,解析,】,列表,:,已知数列,的通项公式为 ，用列表,写出这个数列 的前,5,项，并作出图象,.,【,变式练习,】,O 1 2 3 4 5 6 7,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,a,n,=2n-1,n,图象如下：,图象是一群孤立的点,例,2,图中的三角形图案称为谢宾斯基,(,Sierpinski,),三角形,.,在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前,4,项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象,.,【,解析,】,如图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为,1,3,9,27.,则所求数列的前,4,项都是,3,的指数幂，指数为序号减,1.,所以,这个数列的一个通项公式是,在直角坐标系中的图象如图所示,.,.,O,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,1,2,3,4,根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：,（,1,）,3,5,7,9,11,，,.,（,3,）,0,1,0,1,0,1,，,.,（,5,）,7,77,777,7777,，,.,【,变式练习,】,探究点,2,数列的递推公式,1.,观察以下数列，并写出其通项公式：,思考：,除用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？,（,1,）,1,3,5,7,9,11,，,（,2,）,0,，,-2,，,-4,，,-6,，,-8,，,（,3,）,3,9,27,81,，,2.,观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型,.,模型一：,自上而下,第,1,层钢管数为,4,，即,第,2,层钢管数为,5,，即,第,3,层钢管数为,6,，即,第,4,层钢管数为,7,，即,第,5,层钢管数为,8,，即,模型二：,上下层之间的关系,自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多,1,，,对于上述所求关系，若知其第,n-1,项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要,.,在数列,a,n,中，已知,a,1,=2,，,a,2,=3,，,a,n+2,=3a,n+1,-2a,n,（,n1,）写出此数列的前六项,.,【,解题关键,】,通过观察，此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项,.,【,解析,】a,1,=2,，,a,2,=3,，,a,3,=3a,2,-2a,1,=33-22=5,，,a,4,=3a,3,-2a,2,=35-23=9,，,a,5,=3a,4,-2a,3,=39-25=17,a,6,=3a,5,-2a,4,=317-29=33.,【,即时练习,】,【,互动探究,】,已知数列,a,n,的第一项是,1,，以后各项由公式,a,n-1,=2a,n,-2,给出，写出这个数列的前五项,.,【,解题关键,】,可先将公式变形为,a,n,=1+ a,n-1,.,根据递推公式写出数列的前几项，可由,a,1,=1,及,a,2,=1+ a,1,，求出,a,2,这一步是解题的关键,.,【,解析,】a,n-1,=2a,n,-2,a,n,=1+ a,n-1,.,又,a,1,=1,a,2,= a,3,= a,4,= a,5,=,例,3,设数列,a,n,满足,写出这个数列的前,5,项,.,【,解析,】,由题意可知,【,变式练习,】,1.,数列,a,n,中，,a,1,=-1,，,a,n+1,=a,n,-3,，则,a,3,等于（ ）,（,A,）,-7,（,B,）,-4,（,C,）,-1,（,D,）,2,【,解析,】,选,A.a,2,=a,1,-3=-1-3=-4,a,3,=a,2,-3=-4-3=-7.,A,2.,数列,0,，,2,，,4,，,6,，,的递推公式可以是（ ）,（,A,）,a,n+1,=a,n,+2,（,B,）,a,n+1,=2a,n,（,C,）,a,n+1,=a,n,a,1,=0,（,D,）,a,n+1,=a,n,+2,a,1,=0,【,解析,】,选,D.,选项,A,、,B,中没有明确,a,1,的大小，故选项,A,、,B,不是；选项,C,中，,a,2,=0, a,3,=0,a,4,=0,则选项,C,不是；选项,D,中，,a,2,=2,a,3,=4,a,4,=6,则选项,D,是正确的,.,D,3.,下列数列满足,a,n+1,=,的是（ ）,(A)1,1,1,1, (B)2,2,2,2,(C)3,1,3,1, (D)-1,1,-1,1,【,解析,】,选,A.,因为选项,A,中, a,1,=1,，,a,n+1,=,则能依次求出,a,2,=a,3,=a,4,=1.,A,5.,根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式,.,2.,递推公式与数列的通项公式的区别是：,1.,通项公式、递推公式的概念；,(1),通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项,(,或几项,),之间的关系,.,(2),对于通项公式，只要将公式中的,n,依次取,1, 2, 3, 4,即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项,(,或前几项,),，才可依次求出其他项,.,3,.数列通项公式与递推公式的区别与联系,区别,联系,项,a,n,及相邻项间的关系式,都是数列的一种表,示方法，可求出数,列中任意一项,通项,公式,递推,公式,区别,项,a,n,是序号,n,的函数式,a,n,=,f(,n,),一句经典的读书名言，往往会让人眼睛为之一亮；一句经典的读书名言，往往会给人以启迪和教育；一句经典的读书名言，往往会影响人的一生。,