随机变量的数字特征课件

广东工业大学,广东工业大学,广东工业大学,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,2 方差,3 协方差及相关系数,4 矩、协方差矩阵,前面我们讨论了随机变量的分布函数，分布函数能完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中，我们不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需要知道随机变量的某些特征就行了。,例如，在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量就行了。,又如在比较两个班的考试成绩时，一般考虑的是两个班的平均成绩。,再比如检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。,从上述例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的特征。,本章我们介绍随机变量常用的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩。,1 数学期望,1、引例：,试问哪个射手技术较好?,甲乙两射手进行打靶练习，各发100箭，他们打中的环数及次数如下：,X,甲,8,9,10,频数N,k,30,60,10,X,乙,8,9,10,频数N,k,35,35,30,甲的平均环数,环数为 的频率,概率代替频率,2、离散型随机变量的数学期望,设离散型随机变量,X,的分布律为,则称级数 的和为随机变,若级数 绝对收敛，,量,X,的,数学期望,。记为 。,即,数学期望简称为,期望,，又称为,均值,。,例1 设随机变量,X,的分布律为,求,EX。,例2 设,X,服从参数为,p,的01分布，求,EX,。,例3 设随机变量,X,服从参数为 泊松分布，求,X,的数学期望。,例3 设随机变量,X,服从参数为 泊松分布，求,X,的数学期望。,解：,例4 按规定，某车站每天8:009:00，9:0010:00都恰有一辆客车到站，但到站的时间是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为,一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。,例5 设要在某地区进行癌症普查，为此要检查每个人的血液。由于参加普查的人数很多，若按传统办法一个个地检查，非常耗时，希望寻求快捷方法。于是有这样的想法：将若干个人(如,k,个人)的血液混合后再检查，若结果没有问题，就说明这,k,个人全没问题；若有问题，就将这,k,个人逐一检查，以确定是谁出了问题。直观想象，由于癌症发病率较低，在,k,不大时，多数情况下,k,个人只需验一次血就够了，所以平均说来，用这种方法进行验血大大降低了验血的工作量。试对这一想法作具体分析。,设想有这样一种博彩游戏,博彩者将本金1元压注在1到6的某个数字上,然后掷三颗骰子,若所压的数字出现,i,次(,i,=1,2,3),则下注者赢,i,元,否则没收1元本金.试问这样的游戏规则对下注者是否公平?,例6,（一种博彩方式）,设想有这样一种博彩游戏,博彩者将本金1元压注在1到6的某个数字上,然后掷三颗骰子,若所压的数字出现,i,次(,i,=1,2,3),则下注者赢,i,元,否则没收1元本金.试问这样的游戏规则对下注者是否公平?,例6,（一种博彩方式）,解：,设,X,为一次下注的赢利,于是得,X,的分布律为,大致地可说：每平均玩216次，下注者必将输17元。,故这一游戏规则对下注者来说是不公平的。,例7,（二项分布的数学期望）,例7,（二项分布的数学期望）,解：,3、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量,X,的密度函数为 ,绝对收敛，,期望,。记为 。,即,若积分,则称积分 的值为随机变量,X,的,数学,例1 设随机变量,X,的密度为,求,EX,。,解,例1 设随机变量,X,的密度为,求,EX,。,例2,设随机变量,X,服从 上的均匀分布，求,EX,。,例3 某批电子元件的寿命服从参数为 的指数分布，其密度为,求此批电子元件的平均寿命。,例4 设随机变量 ，求,E,X。,4、一维随机变量函数的数学期望,已知随机变量,X,的分布，而,，其中,g,为连续函数。,求随机变量,Y,的数学期望。,（1） 离散型,设,X,的分布律为,若级数 绝对收敛，,则有,（2）连续型,设随机变量,X,的密度为 ,若积分 绝对,收敛，则有,4、一维随机变量函数的数学期望,已知随机变量,X,的分布，而,，其中,g,为连续函数。,求随机变量,Y,的数学期望。,（1） 离散型,设,X,的分布律为,若级数 绝对收敛，,则有,（2）连续型,设随机变量,X,的密度为 ,若积分 绝对,收敛，则有,例1 设随机变量,X,的分布律为,求,。,例2 设风速,V,在 上服从均匀分布，即具有概率密度函数,求,EW,。,又设飞机机翼受到的正压力,W,是,V,的函数：,5、二维随机变量函数的数学期望,已知二维随机变量(,X,Y,)的分布，而 ，,连续函数。,求随机变量,Z,的数学期望。,（1） 离散型,设(,X,Y,)的分布律为,则有,（2）连续型,设二维随机变量(,X,Y,)的联合密度为 ,则有,其中,g,为,5、二维随机变量函数的数学期望,已知二维随机变量(,X,Y,)的分布，而 ，,连续函数。,求随机变量,Z,的数学期望。,（1） 离散型,设(,X,Y,)的分布律为,则有,（2）连续型,设二维随机变量(,X,Y,)的联合密度为 ,则有,其中,g,为,例,1,设二维随机变量(,X,Y,)的联合概率分布为,求,EX,EY,E,(,XY,),。,X,1 0 3/8 3/8 0,3 1/8 0 0 1/8,Y,0 1 2 3,例2 设随机变量(,X,Y,)的联合密度为,求数学期望,例,3,设随机变量,X,服从(0,)上的均匀分布,求,例4 某公司计划开发一种新产品，并试图确定该产品的产量。他们估计出售生件产品可获利,m,元，而积压一件产品导致,n,元的损失。再者，他们预测销售量,Y,（件）服从指数分布，其概率密度为,问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？,例5,设随机落在曲线 与,x,轴所围闭区域内的点的分布是均匀分布。以 表示落点的坐标。（1）求落点到,y,轴距离的概率密度和分布函数；（2）求落点到坐标原点距离的平方的数学期望。,例6,向平面区域,内随机等可能地投掷一,所围成的曲边梯形面积的数学期望。,点，求（1）该点到,y,轴距离的分布密度；,（2）过该点作,y,轴的平行线与,y,轴,x,轴及曲线,6、数学期望的性质,性质1,设,C,为常数，则有 。,性质2,设,X,为随机变量，,C,为常数，则有,性质3,设,X,Y,为两个随机变量，则有,性质4,设,X,Y,为两个随机变量，,a,b,为常数，则有,性质5,设,X,Y,为两个,相互独立,的随机变量，则有,例2 空港快线载有20位旅客从白云机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车间没有旅客下车就不停，以,X,表示停车的次数，若每位旅客在各个车站下车是等可能的，并且各旅客是否下车相互独立，求,E,X。,例1 设随机变量,X,服从二项分布 ，求,EX,。,例3 设一电路是电流 与电阻 是两上相互独立的随机变量，其概率密度分别为,试求电压 的均值。,例,4,（1）已知随机变量,X,服从参数为,1/2,的指数,分布，求随机变量,Z,=,3,X,-,2,的数学期望,EZ,。,（2）已知随机变量,X,服从参数为2的泊松(Poisson),分布,Y,N,(,-,2,4)，,Z,=,X,-,Y,，则,EZ,=,若,X,Y,独立,则,E,(,XY,)=,例6,（96）设,X,Y,是两个相互独立且均服从正态分布,的随机变量，则,（1）随机变量,的数学期望,例7,设随机落在曲线 与,x,轴所围闭区域内的点的分布是均匀分布。以 表示落点的坐标。（1）求落点到,y,轴距离的概率密度和分布函数；（2）求落点到坐标原点距离的平方的数学期望。,2 方 差,1、定义,设,X,为随机变量，若,存在，称 为随机变量,X,的,方差,。,记为,或,即,称为 随机变量,X,的,标准差,或,方差根,或,均方差,。,方差是一个常用来体现随机变量,X,取值分散程度。方差越大，表示随机变量,X,的,取值分散程度越大, 或者说方差越小, 表示随机变量,X,的取值越集中。,2、方差的意义,3、方差的计算,（1） 离散型,设离散型随机变量,X,的分布律为,则有,（2）连续型,设随机变量,X,的密度为 ,则有,证明,4、一个重要公式,例1 设随机变量,X,的分布律为,求,。,例2 设,X,服从参数为,p,的01分布，求,DX,。,例3 设随机变量,X,服从参数为 泊松分布，求,X,的方差。,例4,设随机变量,X,服从 上的均匀分布，求,DX,。,例5 设随机变量,X,服从参数为 的指数分布，其密度为,求,DX,。,例6 设随机变量 ，求,D,X。,11.13,例7 设随机变量,X,的密度为,求,DX,。,5、方差的性质,性质1,设,C,为常数，则有 。,性质2,设,X,为随机变量，,C,为常数，则有,性质3,设,X,Y,为两个随机变量，则有,特别地，若,X,与,Y,相互独立，则有,性质4,当且仅当 。,6、随机变量的标准化,则称,设随机变量,X,具有数学期望,，方差,。,为,X,的标准化随机变量。,显然，有,例4 设随机变量,X,服从二项分布 ，求,EX,及,DX,。,例1,设随机变量,X,服从参数为 的二项分布,Y,服从参数为 的泊松分布,且,X,与,Y,相互独立,则,例2,设随机变量,X,服从参数为 的泊松分布，已知,则,例4,设 ，记,，求,Y,及,的期望与方差。,7、切比雪夫不等式,设随机变量,X,具有数学期望,，方差 。,则对任意正数 ，有,或,例1,假设一批种子的良种率为1/6，从中任意选出600粒，试用切比晓夫不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。,3 协方差及相关系数,1、协方差的定义,的数字特征。,的数学期望为,X,与,Y,的,协方差,。,记为,即,称函数,对给定的二维随机变量 ，,对于二维随机变量度 ， 我们不仅关心随机变量,X,和,Y,也关心反应随机变量,X,与,Y,之间关系的数字特征。,反应随机变量之间关系的数字特征主要有,协方差,和,相关系数。,（1）离散型,（2）连续型,2、协方差的计算,1、协方差的定义,的数学期望为,X,与,Y,的,协方差,。,记为,即,称函数,对给定的二维随机变量 ，,3、协方差的性质,（1）,（2）,（3）,（4）,（8）,（5）,（6）,（7）,4、相关系数的定义,随机变量 的相关系数 定义为,或记为,标准尺度下的协方差,5、相关系数的意义,考虑用,X,的线性函数 来近似表示,Y,。,记,显然， 若,e,越小，表示 与,Y,的近似程度越好。,即,e,刻划了 与,Y,的近似程度。,又,均方误差,下面，我们来求,Y,的最佳线性近似。,解得,从而,5、相关系数的意义,考虑用,X,的线性函数 来近似表示,Y,。,记,显然， 若,e,越小，表示 与,Y,的近似程度越好。,即,e,刻划了 与,Y,的近似程度。,均方误差,6、相关系数的性质,（1）,（2）,当且仅当存在常数,a,b,，使得 。,5、相关系数的意义,考虑用,X,的线性函数 来近似表示,Y,。,记,显然， 若,e,越小，表示 与,Y,的近似程度越好。,即,e,刻划了 与,Y,的近似程度。,均方误差,6、相关系数的性质,（1）,（2）,当且仅当存在常数,a,b,，使得 。,相关系数 为表征随机变量,X,与,Y,之间线性关系紧密程度的量。,越大，表示,X,与,Y,的线性相关程度越好。,5、相关系数的意义,7、不相关,若 ，则称随机变量,X,与,Y,不相关,。,（1）若 ，则,X,与,Y,不相关。,（2）若随机变量,X,与,Y,相互独立，则,X,与,Y,不相关。,注：,独立一定不相关，不相关不一定独立。,例1,设（,X,Y,）的联合分布律为,（1）求,X,与,Y,的相关系数；,（2）讨论,X,与,Y,的独立性。,例2 设二维随机变量 的联合密度为,试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关,系数,并求 。,例2 设二维随机变量 的联合密度为,试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关,系数,并求 。,解,例2 设二维随机变量 的联合密度为,试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关,系数,并求 。,例2 设二维随机变量 的联合密度为,试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关,系数,并求 。,例2 设二维随机变量 的联合密度为,试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关,系数,并求 。,8、二维正态分布的相关系数:,从而相关系数,于是,其联合密度函数为,则 相互独立当且仅当,于是，我们有,则 相互独立当且仅当 不相关,独立一定不相关,不相关不一定独立.,通过以上讨论, 我们得到如下结论:,但如果 服从,二维正态分布,则 相互独立与 不相关等价,例3,设随机变量,X,与,Y,的相关系数为0.5，且,则,补充例题,例4,已知随机变量 与 的方差和协方差分别为,试求 与 的方差与协方差.,例5,设随机变量 服从 上的均匀分布,设,讨论随机变量 与 的相关系数及独立性.,例5,设随机变量 服从 上的均匀分布,设,讨论随机变量 与 的相关系数及独立性.,解,随机变量 的密度函数为,于是,从而有,而由,知 与 不独立.,解,随机变量 的密度函数为,例5,设随机变量 服从 上的均匀分布,设,讨论随机变量 与 的相关系数及独立性.,4 矩、协方差矩阵,一、矩,设,X,和,Y,为随机变量，若,存在，则称它为,X,的,k,阶,原点矩,，简称为,k,阶矩。,若,存在，则称它为,X,的,k,阶,中心矩,。,存在，则称它为,X,和,Y,的,k+l,阶,混合矩,。,若,存在，则称它为,X,和,Y,的,k+l,阶,混合中心矩,。,若,二、协方差矩阵,设 为,n,维随机变量。若二阶混合中心矩,则称矩阵,都存在，,为,n,维随机变量 的,协方差矩阵,。,第四章总结,主要内容,1、离散型随机变量的数学期望,设离散型随机变量,X,的分布律为,则称级数 的和为随机变,若级数 绝对收敛，,量,X,的,数学期望,。记为 。,即,数学期望简称为,期望,，又称为,均值,。,一、数学期望,2、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量,X,的密度函数为 ,绝对收敛，,期望,。记为 。,即,若积分,则称积分 的值为随机变量,X,的,数学,3、一维随机变量函数的数学期望,已知随机变量,X,的分布，而,，其中,g,为连续函数。,求随机变量,Y,的数学期望。,（1） 离散型,设,X,的分布律为,若级数 绝对收敛，,则有,（2）连续型,设随机变量,X,的密度为 ,若积分 绝对,收敛，则有,4、二维随机变量函数的数学期望,已知二维随机变量(,X,Y,)的分布，而 ，,连续函数。,求随机变量,Z,的数学期望。,（1） 离散型,设(,X,Y,)的分布律为,则有,（2）连续型,设二维随机变量(,X,Y,)的联合密度为 ,则有,其中,g,为,5、数学期望的性质,性质1,设,C,为常数，则有 。,性质2,设,X,为随机变量，,C,为常数，则有,性质3,设,X,Y,为两个随机变量，则有,性质4,设,X,Y,为两个随机变量，,a,b,为常数，则有,性质5,设,X,Y,为两个,相互独立,的随机变量，则有,1、定义,设,X,为随机变量，若,存在，称 为随机变量,X,的,方差,。,记为,或,即,称为 随机变量,X,的,标准差,或,方差根,或,均方差,。,二、方差,2、,一个重要公式,3、方差的性质,性质1,设,C,为常数，则有 。,性质2,设,X,为随机变量，,C,为常数，则有,性质4,设,X,Y,为两个随机变量，则有,特别地，若,X,与,Y,相互独立，则有,性质5,当且仅当 。,性质3,三、协方差与相关系数,1、协方差的定义,的数学期望为,X,与,Y,的,协方差,。,记为,即,称函数,对给定的二维随机变量 ，,2、协方差的性质,（1）,（2）,（3）,（4）,（8）,（5）,（6）,（7）,3、相关系数的定义,随机变量 的相关系数 定义为,或记为,4、不相关,若 ，则称随机变量,X,与,Y,不相关,。,注：,独立一定不相关，不相关不一定独立。,则 相互独立当且仅当 不相关,独立一定不相关,不相关不一定独立.,但如果 服从,二维正态分布,则 相互独立与 不相关等价,习题选讲,例3 有3只球，4个盒子，盒子的编号为1,2,3,4。将球逐个独立地，随机地放入4个盒子中去。以,X,表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如,X,=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3只盒子至少有一只球），试求,EX,。,5 设在一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间,X,（以分计）是一个随机变量，其概率密度为,求,EX,。,6 设随机变量,X,的分布律为,求,7 设随机变量X的概率密度为,求（1） ；（2） 的数学期望。,13 设随机变量 的概率密度分别为,（1）求 ；,（2）又设 相互独立，求 。,19 设随机变量X服从几何分布，其分布律为,其中 是常数，求,EX,DX,。,20 设长方形的高（以,m,计） ，已知长方形的周长（以,m,计）为20，求长方形面积,A,的数学期望和方差。,21 （1）设随机变量 相互独立，且有,设 。求,EY,，,DY,。,（2）设随机变量,X,，,Y,相互独立，且,求 的分布，并求概率,设,A,和,B,是试验,E,的两个事件,且 并定义随机变量,X,和,Y,如下,证明若 ，则,X,与,Y,必定相互独立。,27 设随机变量 具有概率密度,求,28 设随机变量 具有概率密度,求,补例1,设,与,的相关系数。,独立同分布，且有有限期望与,方差。试求,例2,（96）设,X,Y,是两个相互独立且均服从正态分布,的随机变量，则,（1）随机变量,的数学期望,（2）（98）,的方差,例3,投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第,i,次投中得分为 分 ，若三次均未投中则不得分，假,设某人投篮测试中投篮的平均次数为1.56次。,（1）求该人的投篮命中率；（2）求该人投篮的平均得分。,例4,已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有,3,件合格品和,3,件次品，乙箱中仅装有,3,件合格品。从甲箱中任取,3,件放入乙箱中，求,（1）乙箱中次品数,X,的数学期望；,例5（05）,设,为来自总体,的简单随机样本，,为样本均值，记,求（1）,的方差,（2）,与,的协方差。,例6,设随机变量,且相互独立，,写出随机变,X+Y,与,X-Y,的分布并求其相关系数。,例7,设,X,的分布律为,记,，求,