大学高等数学经典课件12-3

,高等数学电子教案,武汉科技学院数理系,第三节 齐 次 方 程,如果一阶微分方程:,的方程,就称它为齐次方程.,可化成形式为,例如:,它可化为,齐次微分方程通解的求法:,1.我们可以设u=y/x,将方程化为可分离变量的方程,在计算出等式左边的积分后, 再将y/x代替u得到结果.,如果,(u)-u=0有实数根的话, 则应该补上.,例1 求解方程,有三个根u=0,u=1,u=-1它们对应y=0,y=x,y=-x代入上面的解,都是C=0.如果允许C=0,则就可以不考虑被丢的解.,例2 求解方程:,二. 可化为齐次的方程,可采用可分离变量微分方程进行计算.,(1),例3 求微分方程的通解,(2),解方程组:,求出解x=,y=, 令u=x-, v=y-, du=dx, dv=dy,利用齐次方程的方法,例4 求解方程,分析:本方程的系数为,利用解方程的形式:,三 能直接化为可分离变量的方程,除齐次方程外,究竟什么样的方程能通过变量代换化为可分,离变量的方程,以及用什么样的变量代换,并没有一般规律,可循,需要根据具体情况分析.,分析: 此方程既不是可分离变量的方程,也不是齐次方程,(当然也不属于线性或全微分方程). 把方程写成如下形式,发现方程的右端分子和分母都含有xy的一次式,我们,作变量代换z=xy,例5 求微分方程: (y+xy,2,)dx+(x-x,2,y)dy=0 的通解.,从此例可见,形如 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 的微分方程,可通过,变量代换z=xy, 把它化为可分离变量的方程.,(y+xy,2,)dx+(x-x,2,y)dy=0,例6 求微分方程的通解,分析:把方程改写成,这是原方程的通解.,这不是可分离变量的方程,也不是齐次方程或其他已知类,型的方程从方程的右端可看出,若作变量代换x+y=z,上面我们研究的微分方程都是归纳为可分离变量,的微分方程.,首先我们介绍了直接可分离变量的方程:,例如: g(y)dx+f(x)dy=0的形式.,这可通过恒等变换,把方程的两边变成:,再把等式两端分别求不定积分,就得到其通解.,(二)通过简单变量代换能化为可分离变量的方程.,这类方程可通过变量代换,y=ux,化为可分离变量的方程.,2.其他可化为可分离变量的方程,如果,则可令,u=a,1,x+b,1,y,化为可分离变量的方程;,如果,c,1,=c,2,=0, 则把方程直接变成齐次方程计算.,则求出,a,1,x+b,1,y+c,1,=0,a,2,x+b,2,y+c,2,=0,的根, ,令,u=x- v=y-,变齐次方程计算;,1.齐次微分方程,(1) 形如,如果,