三角形内外角平分线性质定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三角形内角与外角平分线性质定理,玉林高中数学科,本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中有时会用到,.,因此,在本节中首先把这几个定理内容介绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目,.,其中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度的题目，而“三角形内外角平分线性质定理” 的题目直接围绕定理展开，难度不大,.,教材分析,平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例,定理的基本图形：,如图，因为,ADBECF,，,所以,AB,：,BC=DE,：,EF;,AB,：,AC=DE,：,DF,；,BC,：,AC=EF,：,DF,也可以说,AB,：,DE=BC,：,EF,；,AB,：,DE=AC,：,DF,；,BC,：,EF=AC,：,DF,推论的基本图形,:,平行线分线段成比例定理推论,:,平行于三角形一边的直线截其他两边,(,或两边的延长线），所得的对应线段成比例,例,3,：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例,.(,文字语言,),已知,:,如图,DE/BC,分别交,AB,、,AC,于,点,D,、,E.,求证：,(,符号语言,),C,B,A,D,E,F,(,图形语言,),分析,：由平行线分线段,成比例定理的推论可直,接得到,AD:AB=AE:AC.,为了证明,AE:AC=DE:BC,，,需要构造一组平行线，使,AE,、,AC,、,DE,、,BC,成为,由这组平行线截得的线段,.,故作,EF/AB.,证明：过点,E,作,EF/AB,交,BC,于点,F,DE/BC, AD:AB=AE:AC.,EF/AB, BF:BC=AE:AC.,且四边形,DEFB,为平行四边形,.,DE=BF. DE:BC=AE:AC,.,C,B,A,D,E,G,已知,:,如图,DE/BC,分别交,AB,、,AC,于点,D,、,E.,求证：,(,图形语言,),法,2,：为了证明 ，需用平行线分线段成比例定理,.,故作,CG/AB,且与,DE,的延长线交于点,G.,证明,:,过点,C,作,CG/AB,且与,DE,的延长线交于点,G.,DE/BC, AD,:,AB=AE:AC,CG/AB, DE,:,DG=AE:AC,四边形,DEFB,为平行四边形， ,DG=BC.,例,1,：,证明：,（,平行于三角形一边的直线截其他两边，,所得的对应线段成比例）,同理可得,:,例,2,：,证明：,（平行于三角形的一边，并且和其他两边,相交的直线所截得的三角形的三边与原三,角形三边对应成比例。）,例,3,证明：,三角形内角与外角平分线性质定理,玉林高中数学科,三角形内角平分线定理：,A,B,C,D,三角形外角平分线定理：,A,B,C,D,E,三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。,三角形内角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的平分线内分对边之比。,三角形内心,性质：,三角形内心,：,角平分线的交点（内切圆的圆心）,1,、,角平分线上的任意点到角两边的距离相等；,2,、,直角三角形的内心到边的距离等于两直角边,的和减去斜边的差的二分之一,。,三角形,重,心,：,三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。,1,、,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为,2,1,；,2,、,重心到三角形,3,个顶点距离的平方和最小,；,三角形,重,心,性质：,3,、,重心和三角形,3,个顶点组成的,3,个三角形面积相等,；,4,、,重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即,三角形,旁,心,：,三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。,1,、,三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心,；,2,、,每个三角形都有三个旁心,；,三角形,旁,心,性质：,3,、,旁心到三边的距离相等,；,A,B,C,D,E,三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。,已知：如图,8-4,甲所示，,AD,是,ABC,的内角,BAC,的平分线。,求证：,BA/AC=BD/DC;,思路,1,：过,C,作角平分线,AD,的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。,证明,1,：过,C,作,CEDA,与,BA,的延长线交于,E,。,则：,BA/AE=BD/DC;, BAD=AEC,；（两线平行，同位角相等）,CAD=ACE,；（两线平行，内错角相等）,BAD=CAD,；（已知）, ,AEC=ACE,；（等量代换）,AE=AC,；,BA/AC=BD/DC,。,结论,1,：该证法具有普遍的意义。,思路,2,：利用面积法来证明。,已知：如图,8-4,乙所示，,AD,是,ABC,的内角,BAC,的平分线。,求证：,BA/AC=BD/DC,证明,2,：过,D,作,DEAB,于,E,，,DFAC,于,F,；, ,BAD=CAD,；（已知）,DE=DF,；,BA/AC=SBAD/SDAC,； （等高时，三角形面积之比等于底之比）,BD/DC=SBAD/SABCDAC,；（同高时，三角形面积之比等于底之比）,BA/AC=BD/DC,结论,2,：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法，第四，你能想到用该定理解决问题吗？,三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。,三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例,.,已知：如图,8-5,甲所示，,AD,是,ABC,中,BAC,的外角,CAF,的平分线。,求证：,BA/AC=BD/DC,思路,1,：作角平分线,AD,的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。,证明,1,：过,C,作,CEDA,与,BA,交于,E,。则：,BA/AE=BD/DC, DAF=CEA,；（两线平行，同位角相等）,DAC=ECA,；（两线平行，内错角相等）,DAF=DAC,；（已知）, ,CEA=ECA,；（等量代换）,AE=AC,；,BA/AC=BD/DC,。,结论,1,：该证法具有普遍的意义。,角度看问题的方法了吗？,思路,2,：利用面积法来证明。,已知：如图,8-5,乙所示，,AD,是,ABC,内角,BAC,的外角,CAF,的平分线。,求证：,BA/AC=BD/DC.,证明,2,：过,D,作,DEAC,于,E,，,DFBA,的延长线于,F,；, ,DAC=DAF,；（已知）,DE=DF,；,BA/AC=SBAD/DAC,；（等高时，三角形面积之比等于底之比）,BD/DC=SBAD/DAC,；（同高时，三角形面积之比等于底之比）,BA/AC=BD/DC,结论：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看,BAD,和,DAC,的面积时，先以,BA,和,AC,作底，而以,DF,、,DE,为等高。然后以,BD,和,DC,为底，而高是同高，图中并没有画出来。你学会这种变换,内角平分线性质定理证明,证明：,A,B,D,C,外角平分线性质定理证明,证明：,过,C,作,AD,的平行线交,AB,于点,E,。,BDCD,ABAE,，,1,AEC,CAD,ACE,1,CAD AEC,ACE,AE,AC BDCD,ABAC,END,祝同学们学习进步，,每天都有好心情！,