1.1.1变化率问题+1.1.2导数的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1.1,变化率问题,研究某个变量相对于另一个变量变化,导数研究的问题,的快慢程度,变化率问题,微积分主要与四类问题的处理相关,:,一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等,;,二、求曲线的切线,;,三、求已知函数的最大值与最小值,;,四、求长度、面积、体积和重心等。,导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。,问题,1,气球膨胀率,在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,.,从数学的角度,如何描述这种现象呢,?,气球的体积,V,(,单位,:,L,),与半径,r,(,单位,:,dm,),之间的函数关系是,若将半径,r,表示为体积,V,的函数,那么,当空气容量,V,从,0,L,增加到,1,L,气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,当空气容量,V,从,1,L,增加到,2,L,气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小,思考,?,当空气容量从,V,1,增加到,V,2,时,气球的平均膨胀率是多少,?,问题,2,高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度,h,(,单位,:,m,),与起跳后的时间,t,(,单位,:,s,),存在函数关系,如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态,那么,:,在,0 ,t,0.5,这段时间里,在,1,t,2,这段时间里,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题,:,探,究,:,(1),运动员在这段时间里是静止的吗,?,(2),你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗,?,定义,:,平均变化率,:,式子 称为函数,f,(,x,),从,x,1,到,x,2,的平均变化率,.,令,x,=,x,2,x,1, ,y,=,f,(,x,2,),f,(,x,1,),则,理解：,1,，式子中,x,、,y,的值可正、可负，但,的,x,值不能为,0,， ,y,的值可以为,0,2,，若函数,f,(,x,),为常函数时，,y =0,3,变式,思考,?,观察函数,f(x,),的图象,平均变化率,表示什么,?,O,A,B,x,y,Y=,f(x,),x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),x,2,-x,1,f(x,2,)-f(x,1,),直线,AB,的斜率,练习,:,1.,甲用,5,年时间挣到,10,万元,乙用,5,个月时间挣到,2,万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果,?,2.,已知函数,f,(,x,) =,2,x,+1,g,(,x,) =,2,x,分别计算在下列区间上,f,(,x,),及,g,(,x,),的平均变化率,.,(1),3 , ,1,; (2), 0,5,.,做两个题吧,!,1,、已知函数,f(x,)=-x,2,+x,的图象上的一点,A(-1,-2),及临近一点,B(-1+x,-2+y),则,y/x,=( ),A 3 B 3x-(x),2,C 3-(x),2,D 3-x,D,2,、求,y=x,2,在,x=x,0,附近的平均速度。,2x,0,+x,小结：,1.,函数的平均变化率,2.,求函数的平均变化率的步骤,:,(1),求函数的增量,y,=f(x,2,)-f(x,1,);,(2),计算,平均变化率,一、复习,1,.,平均变化率,:,平均变化率的几何意义,:,割线的斜率,O,A,B,x,y,Y=,f(x,),x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),x,2,-x,1,=x,f(x,2,)-f(x,1,)=y,理解：,1,，式子中,x,、,y,的值可正、可负，但,的,x,值不能为,0,， ,y,的值可以为,0,2,，若函数,f,(,x,),为常函数时，,y =0,3,变式,求函数的平均变化率的步骤,:,(1),求函数的增量,y,=f(x,2,)-f(x,1,);,(2),计算,平均变化率,1.1.2,导数的概念,在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为,瞬时速度,.,又如何求,瞬时速度呢,?,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势,.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢,?,求：从,2s,到,(2+t)s,这段时间内平均速度,t0,时,在,2, 2 +t ,这段时间内,当,t =,0.01,时,当,t =,0.01,时,当,t =,0.001,时,当,t =0.001,时,当,t =,0.0001,时,当,t =0.0001,时,t =,0.00001,t = 0.00001,t =,0.000001,t =0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势,.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢,?,当,t,趋近于,0,时,即无论,t,从小于,2,的一边,还是从大于,2,的一边趋近于,2,时,平均速度都趋近与一个确定的值,13.1.,从物理的角度看,时间间隔,|,t,|,无限变小时,平均速度 就无限趋近于,t,= 2,时的瞬时速度,.,因此,运动员在,t,= 2,时的瞬时速度是,13.1.,表示“当,t,=2, t,趋近于,0,时,平均速度 趋近于确定值, 13.1”.,从,2s,到,(2+t)s,这段时间内平均速度,探,究,:,1.,运动员在某一时刻,t,0,的瞬时速度怎样表示,?,2.,函数,f,(,x,),在,x,=,x,0,处的瞬时变化率怎样表示,?,定义,:,函数,y,=,f,(,x,),在,x,=,x,0,处的瞬时变化率是,称为函数,y,=,f,(,x,),在,x,=,x,0,处的,导数,记作,或,即,定义,:,函数,y,=,f,(,x,),在,x,=,x,0,处的瞬时变化率是,称为函数,y,=,f,(,x,),在,x,=,x,0,处的,导数,记作,或,即,由导数的定义可知,求函数,y,=,f,(,x,),的导数的一般方法,:,求函数的改变量,2.,求平均变化率,3.,求值,口诀：一差、二化、三极限,题,1,将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,.,如果第,x,h,时,原油的温度,(,单位,: ),为,f,(,x,),=,x,2, 7,x,+15,( 0,x,8,),.,计算第,2,h,和第,6,h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义,.,解,:,在第,2,h,和第,6,h,时,原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,同理可得,在第,2,h,和第,6,h,时,原油温度的瞬时变化率分别为,3,和,5.,它说明在第,2,h,附近,原油温度大约以,3 /,h,的速率下降,;,在第,6h,附近,原油温度大约以,5 /,h,的速率上升,.,应用：,将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,.,如果第,x,h,时,原油的温度,(,单位,: ),为,f,(,x,),=,x,2, 7,x,+15,( 0,x,8,),.,计算第,2,h,和第,6,h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义,.,练习,:,计算第,3h,和第,5h,时原油的瞬时变化率,并说明它们的意义,.,练习：,2,.,已知,解,:,课后思考题：,1,2.,函数,f(x,)=|x|,在点,x,0,=0,处是否有导数？若有，求出来,若没有，请说明理由,.,