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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,22.1.3二次函数y=ax+k的图象,温故知新,y=ax,2,(a0),a0,a0,图,象,开口方向,顶点坐标,对称轴,增,减,性,极值,x,y,O,y,x,O,向上,向下,(0 ,0),(0 ,0),y,轴,y,轴,当,x0,时，,y,随着,x,的增大而增大。,当,x0,时，,y,随着,x,的增大而减小。,x=0,时,y,最小,=0,x=0,时,y,最大,=0,抛物线,y=ax,2,(a0),的形状是由,|a|,来确定的,一般说来, |a|,越大,抛物线的开口就越小,.,二次函数的图像,例,1,. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=,2,x,2,+1和y=,2,x,2,1的图像,解,:,列表,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y=2x,2,+1,y=2x,2,-1,19,9,3,1,3,9,19,17,7,1,-1,1,7,17,描点,连线,二次函数的图像,(1),抛物线,y=2x,2,+1,y=2x,2,1,的开口方向、对称轴、顶点各是什么,?,(2),抛物线,y=2x,2,+1,y=2x,2,1,与抛物线,y=2x,2,有什么关系,?,思考,（,1,）抛物线,y=2x,2,+1:,开口向上,顶点为,(0,1).,对称轴是,y,轴,抛物线,y=2x,2,1:,开口向上,顶点为(0,1).,对称轴是,y,轴,(2),抛物线,y=2x,2,+1,y=2x,2,1,与抛物线,y=2x,2,的异同点,:,1,2,3,4,5,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,y,o,-1,-2,-3,-4,-5,y=2x,2,+1,抛物线,y=2x,2,抛物线,y=2x,2,1,向,上,平移,1,个单位,抛物线,y=2x,2,向,下,平移,1,个单位,y=2x,2,1,y=2x,2,抛物线,y=2x,2,+,1,相同点：,形状大小相同,开口方向相同,对称轴相同,不同点：,顶点的位置不同,，,抛物线的位置也不同,把抛物线,y,= 2,x,2,向上平移,5,个单位，会得到哪条抛物线？向下平移,3,4,个单位呢？,2,2,2,4,6,4,4,8,2,4,(1)得到抛物线y=2x,2,+,5,(2)得到抛物线y=2x,2,3,.4,总结,抛物线y=ax,2,与y=ax,2,k,之间的关系是：,（k,0）,形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，,而顶点位置和抛物线的位置不同,抛物线之间的平移规律：,抛物线,y=ax,2,抛物线,y=ax,2,k,向,上,平移,k个单位,抛物线,y=ax,2,向,下,平移,k个单位,抛物线,y=ax,2,+,k,函数,y=ax,2,(a0),和函数,y=ax,2,+,k,(a0),的图象形状,，只是位置不同；当k,0,时，函数,y=ax,2,+,k的图象可由,y=ax,2,的图象向,平移,个单位得到，当k,0,时，抛物线,y=ax,2,+,k的开口,，对称轴是,，顶点坐标是,，在对称轴的左侧，,y,随,x,的增大而,，在对称轴的右侧,y,随,x,的增大而,，,当,x=,时，取得最,值，这个值等于,；,当,a0,时,抛物线,y=ax,2,+,k的开口,，对称轴是,，顶点坐标是,，在对称轴的左侧，,y,随,x,的增大而,，在对称轴的右侧,y,随,x,的增大而,，当,x=,时，取得最,值，这个值等于,。,y=-x,2,-2,y=-x,2,+3,y=-x,2,y=x,2,-2,y=x,2,+1,y=x,2,向上,y,轴,(0,k,),减小,增大,0,小,k,向下,y,轴,(0,k,),增大,减小,0,大,k,观,察,思,例：在同一个直角坐标系中，画出函数,y=-x,2,和,y=-x,2,+1,的图像，并根据图像回答下了问题：,（,1,）抛物线,y=-x,2,+1,经过怎样的平移才能得到抛物线,y=-x,2,（,2,）函数,y=-x,2,+1,，当,x,时，,y,随,x,的增大而减小；当,x,时，函数,y,有最大值，最大值,y,是,其图像与,y,轴的交点坐标是 ，与,x,轴的交点坐标是,（,3,）试说出抛物线,y= x,2,-3,的开口方向、对称轴和顶点坐标,一般地抛物线,y=ax,2,+k,有如下性质：,二次函数,y=ax,2,+k,（,a,0),的图像是一条抛物线，它的对称轴是,y,轴，顶点坐标是（,0,，,k,），是由抛物线,y=ax,2,的图像向上（,k,0,）或向下（,k0,）平移 个单位得到的。,k,当,a,0,时，抛物线,y=ax,2,+,k,的开口向上,在对称轴的左边，即,x,0,时，,曲线自左向右下降，函数,y,随,x,的增大而减小；在对称轴的右边，即,x,0,时，,曲线自左向右上升，函数,y,随,x,的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此时，函数,y,取得最小值，即当,x=0,时，,y,最小值,= k,当,a,0,时，抛物线,y=ax,2,+,k,的开口向下,在对称轴的左边，即,x0,时，,曲线自左向右上升，函数,y,随,x,的增大而增大；在对称轴的右边，即,x,0,时，,曲线自左向右下降，函数,y,随,x,的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，此时，函数,y,取得最大值，即当,x=0,时，,y,最大值,= k,二次函数没有一次项,则抛物线对称轴是,y,轴,抛物线对称轴是,y,轴,则二次函数没有一次项,(1),函数,y=4x,2,+5,的图象可由,y=4x,2,的图象,向,平移,个单位得到；,y=4x,2,-11,的图象,可由,y=4x,2,的图象向,平移,个单位得到。,(2),将函数,y=-3x,2,+4,的图象向,平移,个单位可得,y=-3x,2,的图象；将,y=2x,2,-7,的图象向,平移,个,单位得到可由,y=2x,2,的图象。将,y=x,2,-7,的图象,向,平移,个单位可得到,y=x,2,+2,的图象。,上,5,下,11,下,4,上,7,上,9,小试牛刀,（,3,）抛物线,y=-3x,2,+5,的开口,，对称轴是,，顶点坐标是,，在对称轴的左侧，,y,随,x,的增大而,，在对称轴的右侧，,y,随,x,的增大而,，,当,x=,时，取得最,值，这个值等于,。,（,4,）抛物线,y=7x,2,-3,的开口,，对称轴是,，顶点坐标是,，在对称轴的左侧，,y,随,x,的增大而,，在对称轴的右侧，,y,随,x,的增大而,，,当,x=,时，取得最,值，这个值等于,。,下,y,轴,(0,5),减小,增大,0,大,5,上,y,轴,(0,-3),减小,增大,0,小,-3,小试牛刀,5,、在同一直角坐标系中，一次函数,y=ax+,k和,二次函数,y=ax,2,+,k的图象大致是如图中的（ ）,B,7.抛物线,y=ax,2,c与y=x,2,的形状相同，且其顶点坐标是（,），则其表达式为_，,y=,x,2,或,y=,x,2,8,、按下列要求求出二次函数的解析式：,（1）已知抛物线y=ax,2,+c经过点（-3，2）（0，-1） 求该抛物线线的解析式。,（,2,）形状与,y=-2x,2,+3,的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（,0,，,1,）的抛物线解析式。,（,3,）对称轴是,y,轴，顶点纵坐标是,-3,，且经过 （,1,，,2,）的点的解析式，,（,4,）抛物线y=ax,2,c对称轴是y轴，顶点（0，-3），,且经过（1，2），求抛物线的解析式.,9,已知二次函数y=3x,2,+4,点A(x,1,y,1,), B(x,2,y,2,),C(x,3,y,3,), D(x,4,y,4,)在其图象上,且x,2, x,4,0,0x,3,|x,1,|, |x,3,|x,4,|, 则 ( ),x,1,x,2,x,3,x,4,y,1,y,4,y,3,y,2,A.y,1,y,2,y,3,y,4,B.y,2,y,1,y,3,y,4,C.y,3,y,2,y,4,y,1,D.y,4,y,2,y,3,y,1,B,10,已知二次,函数,y=ax,2,+c ，当x取x,1,x,2,(x,1,x,2,x,1,x,2,分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，,则当x取x,1,+,x,2,时，函数值为 （ ）,A. a+c B. a-c C. c D. c,D,11,.已知抛物线 ，把它向下平移，得到的抛物线与,x,轴交于,A,、,B,两点，与,y,轴交于,C,点，若,ABC,是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？,课时时小结,y=ax,2,+,k,(a0),a0,a0,开口方向,顶点坐标,对称轴,增,减,性,极值,向上,向下,(0 ,k,),(0 ,k,),y,轴,y,轴,当,x0,时，,y,随着,x,的增大而增大。,当,x0,时，,y,随着,x,的增大而减小。,x=0,时,y,最小,=,k,x=0,时,y,最大,=,k,抛物线,y=ax,2,+,k,(a0),的图象可由,y=ax,2,的图象通过上下平移,|,k,|,个单位,得到,.,|a|,越大开口越小，反之开口越大。,1,某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,.,现测得水面宽,AB=1.6m,涵洞顶点,C,到水面的距离为,2.4m.,在图中直角坐标系内,.,求涵洞所在抛物线的函数解析式,.,试一试,x,y,A,B,O,C,解,:,设涵洞所在抛物线的函数解析式为,y=ax,2,+2.4,根据题意有,A(-0.8,0),B(0.8,0),将,x=0.8, y=0,代入,y=ax,2,+2.4,得,0=0.64a+2.4,a=_,涵洞所在抛物线的函数解析式为,y=_ x2+2.4,2,.,如图,是一座抛物线形拱桥,水位在,AB,位置时,水面宽,4,米,水位上升,3,米达到警戒线,MN,位置时,水面宽,4,米,某年发洪水,水位以每小时,0.25,米的速度上升,求 水过警戒线后几小时淹到拱桥顶,?,x,y,c,解,:,以,AB,为,x,轴,对称轴为,y,轴建立直角坐标系,设抛物线的代数表达式为,y=ax,2,+ c.,则,B,点坐标为,(2 ,0),N,点坐标为,(2 ,3),故,0=24a+c,3=12a+c,解得,a= - ,c=6,即,y= - x,2,+6.,其顶点为,(0,6),(6-3)0.25=12,小时,.,再见,
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