集合中元素的个数(学习课资)课件

,单击此处编辑母版标题样式,公开课资,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,阅读材料,集合中元素的个数,1,公开课资,例,1,学校先举办了一次田径运动会，某班有,8,名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个,班有,12,名同学参赛，两次运动会都参赛的有,3,人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参,赛？,分析：,设,A,为田径运动会参赛的学生的集合，,B,为球类运动会参赛的学生的集合。那么,A,B,就,是两次运动会都参赛的学生的集合。,试分析,AB,、,A,、,B,、,A,B,中元素个数的关系,.,2,公开课资,解：设,A=,田径运动会参赛的学生,，,B=,球类运动会参赛的学生,，那么，,AB=,两次运动会都参赛的学生,，,AB=,参赛的学生,。,card,（,AB,）,= card,（,A,）,+ card,（,B,）,card,（,AB,）,=8+12,3=17,。,答：两次运动会中，这个班共有,17,名同学参赛,。,用图来求解,：,3,公开课资,例,2.,某班学生参加数学课外小组的人数是参加,物理课外小组的人数的,2,倍，同时参加两个课外,小组的人数是,5,人，至少参加一个课外活动小组,的人数为,25,人,.,试求参加数学小组、物理小组的,人数各是多少？,参加数学小组,20,人，参加物理小组,10,人,.,card,（,AB,）,= card,（,A,）,+ card,（,B,）,card,（,AB,）,即,25=2x+x-5,x=10,4,公开课资,card,（,AB,）,= card,（,A,）,+ card,（,B,）,card,（,AB,）,能否推广？试写出三个集合类似公式,.,5,公开课资,例,3.,某校高三学生共,249,人，毕业考试成绩优秀的,人数及科目如下表,;,表中，两科优秀者包括里包括三科全优者，单科,优秀者里也包括两科以上的优秀者。,有人说上面的统计表有误，你认为呢？,由统计表计算高三年级共有,131+117+152-61-79-62+53=251(,人,),，所以统计表有误,.,6,公开课资,例,4.,在,100,个学生中，有美术爱好者,63,人，音乐,爱好者,75,人（并非每个学生都有爱好），对美术,和音乐都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？,最多,63,人，最少,38,人,.,7,公开课资,问题的提出：,无限集中元素的个数？！,是不是所有的无限集都有相同的个数呢？,8,公开课资,1.,无限,（,1,）初识无限,（,2,）,在有限集中，如何比较元素个数的多少？,理解无限的关键,一一对应,（,3,）无限集中元素的个数,基数,与此相关的一个定义：,若在一个集合与全体正整数集合之间,存在一一对应，则称这个集合是可数的。,9,公开课资,（,4,）几个令人吃惊的例子,全体正整数和全体有理数一样多吗？,全体正整数和全体整数一样多吗？,部分整体？！,10,公开课资,（,5,）问题的提出,是不是所有的无限集都有相同的基数呢？,康托在,1973,年,11,月,29,日给戴德金的信中提出：,11,月,29,日,12,月,7,日，康托给无限的理论奠定了基础。他创造了一种适用于无限集的新数体系,超限数，以解决无限集的基数比较问题。,11,公开课资,实数集（,0,，,1,）是不可数的。,无理数集是不可数的（有理数集可数）。,是不是还存在数量上多于实数集的集合呢？,实数集是不可数的,。,实数、一直线上的点、平面上的点,及高维空间的任一部分的点的基数。,若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应，则称这个集合是可数的。,12,公开课资,“,数学中的无穷无尽，其诱人之处在于,它的最棘手的悖论能够盛开出美丽的,理论之花。”,E.Kasner and J.Newman,集合论危机重重：,13,公开课资,2.,罗素悖论,大多数集合不包含它自身为元素，这样的集我们,称之为“普通的”。有许多集可能包含它自身为元素，,例如集,S,定义如下：“凡是可以用不超过三十个字来,定义的集合是,S,的元素。”可以看到，,S,是包含它自身,为一元素的。这样的集我们称之为“非普通集”。我们,考查“所有普通集组成的集”，称它为,C,。那么,C,本身,是普通集还是非普通集？如果,C,是普通集，由于,C,定义,为包含所有普通集，它包含了它本身作为一个元素。,这样的话，,C,必须是非普通集。这是一个矛盾。因此,C,必须是非普通集，但这时,C,包含了一个非普通集,（即,C,本身）为其元素，这与,C,只包含普通集的定义,相矛盾。因此，无论那一种情形，仅仅是,C,的存在，,就已经使我们陷入矛盾。,14,公开课资,罗素的理发师悖论,15,公开课资,其他一些悖论,（,1,）芝诺悖论,1,）二分法悖论,2,）阿基里斯和乌龟,16,公开课资,17,公开课资,18,公开课资,代数悖论：,19,公开课资,数理逻辑诞生,20,公开课资,数理逻辑这门学科在第三次数学危机运动的过程中诞生，在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。,现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出一种“通用代数”，其中把一切推理都化归为计算。实际上这正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，这样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此影响不大。,21,公开课资,真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在,1847,年出版了,逻辑的数学分析,，给出了现代所谓的“布尔代数”的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对象是事物的类，,1,表示全类，,0,表示空类；,xy,表示,x,和,y,的共同分子所组成的类，运算是逻辑乘法；,x,y,表示,x,和,y,两类所合成的类，运算是逻辑加法。,布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。当,x,、,y,不是类而是命题，则,x,1,表示的是命题,x,为真，,x,0,表示命题,x,为假，,1,x,表示,x,的否定等等。显然布尔的演算构成一个代数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。,22,公开课资,非数值运算的推广,集合运算,语句运算,23,公开课资,康托的最大基数悖论、布拉里,.,福蒂悖论、,罗素悖论，动摇了整个数学的基础。,给数学提供一个可靠的基础：,1,）罗素的类型论,2,）策梅罗的公理集合论（,ZFS,系统）,Z,策梅罗,F,弗兰克尔,S,斯科兰姆,希尔伯特：,24,公开课资,哥德尔不完全性定理：,数理逻辑的大发展：,证明论；,递归论；,模型论；,公理集合论。,25,公开课资,作业：,查阅有关资料,试卷改错,二教,不等式解法习题课的例题,26,公开课资,