数值分析第9章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,9,章 常微分方程初值问题数值解法,9.1,引 言,1,本章研究的问题,:,2,9.2,欧 拉 方 法,9.2.1,欧拉公式,1,欧拉公式,3,图,9.1,欧拉折线法,4,(2),(3),5,6,2,欧拉公式的截断误差,(4),7,3,单步法的局部截断误差与阶,局部截断误差可以理解为计算一步的误差,.,8,局部截断误差可以理解为计算一步的误差,.,9,则称该方法具有,P,阶精度,.,定义,2,设,是初值问题的准确解，若存在最大整数,使显式单步法的局部截断误差满足,若把上式展开写成,则 称为局部截断误差主项 。,10,4,后退的欧拉方法,(5),(6),(6),式称为,后退的欧拉方法,它是,隐式的,欧拉公式,(2),是,显式的,11,12,(7),(6),13,14,后退的欧拉方法的局部截断误差,:,15,5,梯形方法,(8),式称为梯形方法,.,(8),16,梯形方法的局部截断误差,:,17,9.2.4,改进欧拉法及局部截断误差,预测步,校正步,或者写成,1.,改进的欧拉公式,:,18,2.,改进的欧拉方法的局部截断误差,19,考虑改进,Euler,法,如果将其改成,-(1),9.3 Runge-Kutta,法,20,改进,Euler,法是由梯形公式和,Euler,公式复合而成,梯形公式具有,2,阶精度,(1),式为一种,二阶,Runge-Kutta,法,同样可以证明,改进,Euler,法也具有,2,阶精度,21,Runge-Kutta,方法的推导,22,Runge-Kutta,方法的一般形式：,确定了阶数之后，再通过,Taylor,展开、比较两边系数的方法，确定各待定系数：,23,二阶显式,Runge-Kutta,方法,24,25,26,27,28,例,29,结果及比较,30,三阶显式,Runge-Kutta,方法,在推导二阶显式方法的过程中，注意到局部截断误差表达式中,h,3,项包含了以下表达式：,因此若要在局部截断误差中消去,h,3,项，必须增加包含了以上各项的多个方程，同时我们注意到,r,=2,时，只有 等四个待定系数，少于方程的数目，所以这样的系数不存在。故：,r,=2,时,Runge-Kutta,方法只能是二阶的,。要得到三阶的方法，则必须有,r,=,3,。,31,三阶显式,Runge-Kutta,方法,32,四阶显式,Runge-Kutta,方法,33,x,四阶,二阶,真解,四阶误差,二阶误差,0.0,1.000000,1.000000,1.000000,0.0000,0.000000,0.1,1.104829,1.102450,1.104829,1.60E-7,2.38E-3,0.2,1.218597,1.211507,1.218597,3.40E-7,7.09E-3,0.3,1.340141,1.325766,1.340141,5.48E-7,1.44E-2,0.4,1.468175,1.443671,1.468175,7.69E-7,2.45E-2,0.5,1.601278,1.563506,1.601279,9.95E-7,3.78E-2,0.6,1.737880,1.683374,1.737881,1.20E-6,5.45E-2,0.7,1.876246,1.801179,1.876247,1.42E-6,7.51E-2,0.8,2.014457,1.914603,2.014459,1.68E-6,9.99E-2,0.9,2.150395,2.021086,2.150397,1.96E-6,1.29E-1,1.0,2.281716,2.117800,2.281718,2.32E-6,1.64E-1,例,34,结果及比较,35,结果及比较,36,关于,Runge-Kutta,方法,37,提高,Runge-Kutta,方法的精度的方法,提高精度最简单的方法是缩短步长，但要以牺牲计算速度和积累舍入误差为代价。,38,变步长的,Runge-Kutta,方法,作为妥协，如果能在计算过程中实时控制步长的大小，就可以在获得较高的计算速度的同时，保证较高的精度。,39,Runge-Kutta-Fehlberg,方法,Fehlberg,设计了一个更加精巧的嵌套方法如下：,40,Runge-Kutta-Fehlberg,方法,Fehlberg,给出的四阶、五阶公式,RKF4(5),如下：,41,Runge-Kutta-Fehlberg,方法,七阶、八阶,RKF7(8),42,Runge-Kutta-Fehlberg,方法,七阶、八阶,RKF7(8),43,单步法,44,