二项式定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二项式定理,“杨辉三角形”与二项式系数的性质,杨辉三角形,n=0,n=1,n=2,n=3,n=4,n=5,n=6,伟大的数学家,杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，中国古代数学家和数学教育家。由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。与秦九韶、李治、朱世杰并趁称宋元数学四大家。,由杨辉三角形研究,二项式系数的性质,定义域0,1,2, ,n,当,n,= 6时,其图象是7个孤立点,6,14,20,O,6,3,r,f,( r ),问题：观察杨辉三角形，你能发现二项式系数的哪些性质？,二项式系数的性质,1.对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.,图象的对称轴,：,在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.,二项式系数的性质,2.增减性与最大值：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,当,n,是偶数时，中间的一项 取得最大值 ；,当,n,是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得最大值。,实质：数列的单调性与数列的最大项问题,二项式系数的性质,3.各二项式系数的和,4.在奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即,这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：,重要方法：赋值法,求展开式的系数和,二项式系数性质的应用,