数值分析习题课

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数值计算方法（数值分析）,课程复习与习题讲解,课程考察范围,1、引论,2、插值法,3、数值积分,4、解线性方程组直接法,5、解线性方程组迭代法,6、非线性方程组数值解法,7、常微分方程初值问题数值解法,（注：每个章节均有重点内容）,试题构成,填空题5小题，共计10分。,计算题6小题，每题15分，共计90分。,各章均占15%左右权重。,各章重点方法和公式要求掌握。,（注1：试题总体难度等级简单）,（注2：试题有一定的计算量，希望复习作业熟练掌握本课程重点方法计算过程）,（注3：考试需携带计算器）,1、引论,误差与有效数字（重）p6：例1,2,数值运算的误差估计,算法稳定性与病态条件数 p,11,：例6-8,作业,1、课本（清华版）p19，习题3、4.,2、知近似值x1=1.42，x2=-0.0184，x3=184*10,-4,的绝对误差限均为0.5*10,-2,，问他们各有几位有效数字。,（参见书后答案和课件例题！自己对照！）,记住：准确到某位-误差限是该位的半个单位！,是圆周率真实值的近似值,，其有,3,位有效数字。,根据误差稳定性原则,，在计算等,式时应转变成,计算。,历年试题分析,2、插值法,线性插值（重）p28：例2,抛物线插值,拉格朗日插值多项式,均差（重）p31：均差表，p32：例题4,均差与牛顿插值（重）,诶尔米特插值,分段线性插值,三次样条插值（重）,p44：例7与课件中例题的区别,复习题,1、,已知,，求,f(x),的二次拉格朗日插值多项式，并利用该多项式计算的值。（保留三位有效数字）,2、,已知函数的观测数据为如下表：,x 123,y0-53,求Lagrange插值多项式为,：,1.构造拉格朗日多项式p(x)逼近f(x)=x,3,，要求：,（1）节点x为-1,1，做线性插值。,（2）节点x为-1,0,1，做抛物插值。,（3）节点x为-1,0,1,2，做三次插值。,历年考题,复习题,2.给定函数f(x)=x,3,-4x，试建立关于x,i,=i+1（i=1.5）的差商表,并列出关于x,0,x,1,x,2,x,3,的插值多项式p(x)。,历年考题,1、,设，取x0=4,x1=9,x2=6.25,则差商,-0.0080808,。（结果保留5位有效数字）,2、,给定如下数据：,试列出三阶差商表，求出,f(x),的三次牛顿插值多项式，并利用该多项式计算,f(0),的值。（保留三位有效数字）,复习题,作业题9、构造适合系列数据的三次样条S(x)。,x,-,1,0,1,3 y,-,1,1,3,5,y 6,课件例,4,已知的函数值如下：,x 1 2 4 5,f (x) 1 3 4 2,在区间,1,5,上求三次样条插值函数,S(x),使它满足边,界条件,3、数值积分,数值积分基本思想,代数精度（重）p100：例1,插值型求积公式,牛顿-科特斯公式（重：辛普森公式。p10,4,）,复合求积公式（重：复合辛普森。p108：例3）,龙贝格求积公式（重：p110，例5-p112，例6）,高斯求积公式（重：p120，例9）,历年考题,1、,求积公式,的代数精度为,3,次。,2、,使用梯形公式,计算积分时截断误差为,0.6796,。（结果保留4位有效数字）,3、所有牛顿柯特斯求积公式的系数和均为1。 （）,例,依次用n=8的,复合,梯形公式、n=4的,复合,辛卜生公式计算定积分,解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时，,由,复合,梯形公式可得如下计算公式：,由,复合,辛卜生公式可得如下计算公式,（积分准确值I=0.9460831）,这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，,复合,梯形法只有两位有效数字(T,8,=0.9456909),而,复合,辛卜生法却有六位有效数字。,龙贝格求积计算步骤,解决,用梯形公式计算积分近似值,按变步长梯形公式计算积分近似值,将区间逐次分半,令区间长度,计算, 按加速公式求加速值,梯形加速公式：,辛卜生加速公式：,龙贝格求积公式：, 精度控制；直到相邻两次积分值,（其中为允许的误差限）则终止计算并取R,n,请参见P112教材说明，加深理解！,T,1,T,2,S,1,T,4,S,2,C,1,T,8,S,4,C,2,R,1,T,16,S,8,C,4,R,2,例 用龙贝格算法计算定积分,要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过,解:由题意,由于 ，于是有,4、解线性方程组直接法,高斯消去法（重：p143，例2）,列主消元法（重：p148，例4）,LU分解,平方根法,追赶法,向量和矩阵范数（重）,矩阵的条件数（重）,历年考题,1,、 给定下述线性方程组,用列主元高斯消去法求解该方程组（保留3位有效数字）。（10分）,2、,3、,给定下述线性方程组,试分别用（1）选列主元高斯消去法 （保留3位有效数字）（7分）,（2）采用Doolittle（杜利特尔）法进行LU分解，（保留3位有效数字）（7分）,求解该方程组。,历年考题,5、解线性方程组迭代法,迭代法思想,迭代法收敛性（迭代矩阵谱范数r)xt=(a+b)/2;k=k+1;if fx(a)*fx(xt)r)x0=x1;x1=fx(x0);k=k+1;endkx1,k=4 x=4.4934,3、给出计算,的迭代公式，,讨论迭代过,程收敛性并,证明x=2。,历年考题,历年考题,7、常微分方程初值问题数值解法,欧拉法（重：p281，例1）,梯形方法,改进欧拉法（重：p284，例2）,龙格-库塔方法（重：四阶经典法，p284，例3。认真看课件中的例题）,亚当姆斯方法,历年考题,祝：,同学们考试顺利！新年快乐！,