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,Klicken Sie, um das Format des Titel-Masters zu bearbeiten.,Klicken Sie, um die Textformatierung des Masters zu bearbeiten.,Zweite Ebene,Dritte Ebene,Vierte Ebene,Fnfte Ebene,Foil,*,4.4,求积公式的误差,当,f,(,x,),是次数不超过,n,次的多项式时，,f,(,x,),的插值多项式,p,n,(,x,),就是它本身，这时，如果不计舍入误差，则公式,(1),将准确地成立，即有,特别地，令,f,(,x,)=1,知：,求积公式的误差,如果数据,f,(,x,k,),的舍入误差均不超过,，则根据第,1,章第,2,节的讨论，积分值：,的舍入误差限为：,而在求积系数,k,全为正数的情况下，上述误差限等于：,可见，只要数据,f,(,x,k,),有足够多的有效数字，就可以控制积分值,I,的舍入误差充分小。由此得知，舍入误差对数值积分的影响不像数值微分那样显著。,求积公式的截断误差,分析求积公式的截断误差。,先考察梯形法则。假定,f,(,x,),的二阶导数在,(,a,b,),上改变不大，即设,f,(,x,),近似地取某个定值,C,2,。将,f,(,x,),在,x,=,a,处泰勒展开，有：,再对上式两端在,(,a,b,),上求积分，得：,（,4.4.1,）,截断误差,另一方面，注意到,代入梯形公式,(2),，知,式,(4.4.1),与,(4.4.2),的前两项相同，相减即得,在长为,h,=(,b,a,)/,n,的每个子区间,(,x,k,-1,x,k,),上用梯形公式计算积分值，其误差按,(4.4.3),式近似地取定值,C,2,h,3,/12,，因此将它乘上,n,倍即得复化梯形公式,(5),的余项：,（,4.4.2,）,（,4.4.3,）,辛卜生公式的误差,继续考察辛卜生公式。假定,f,(4),(,x,),在,(,a,b,),上近似地取定值,C,4,，将,f,(,x,),在,(,a,b,),的中点,c,=(,a,+,b,)/2,展开：,然后将该展开式在,(,a,b,),上求积分，注意到其中的第二项,f,(,c,)(,x,c,),和第四项,f,(,c,)(,x,c,),3,/3!,的积分均为,0,，我们有,辛卜生公式的误差,另一方面，将辛卜生公式,(3),右端各项同样在点,c,展开，得：,代入,(3),式，得：,辛卜生和柯特斯公式的误差,于是利用,(14),式，有,如果在每个子区间,(,x,k,-1,x,k,),上使用这个估计式，即得复化辛卜生公式,(6),的余项,类似地可以证明，如果,f,(6),(,x,),在,(,a,b,),上改变不大，近似地取某个定值,C,6,，则柯特斯公式,(7),的余项为：,（,4.4.6,）,求积公式的误差余项的证明,上面讨论,积分余项,时，我们曾分别假定,f,(,x,),，,f,(4),(,x,),和,f,(6),(,x,),在,(,a,b,),上近似地取定值。其实这些限制（它们都很苛刻）可以放弃。,求积公式的误差余项的证明,对梯形公式，假定,f,(,x,),在,(,a,b,),有连续的二阶导数，将,f,(,x,),在,x,=,a,处作泰勒展开,其中，,T,1,(,x,),为一阶泰勒多项式，,R,1,(,x,),为泰勒余项。梯形公式的余项即为,求积公式的误差余项的证明,因为梯形公式对一次多项式精确成立，且考虑到,R,1,(,a,)=0,，故有,将上式中累次积分交换积分次序，则可推得,其中，,求积公式的误差余项的证明,因为,K,(,t,),在,(,a,b,),内为非正，故利用广义积分中值定理可得,它是余项公式,(12),的准确形式。,求积公式的误差余项的证明,考察辛卜生公式。设函数,f,(,x,),在,(,a,b,),上有连续的四阶导数，将,f,(,x,),在,x,=,a,处作泰勒展开,其中，,T,3,(,x,),为三阶泰勒多项式，,R,3,(,x,),为泰勒余项。于是辛卜生公式的余项为,这里,c,=(,a,+,b,)/2,。,求积公式的误差余项的证明,由于,R,3,(,a,)=0,，故有,对上式中累次积分交换积分次序，并定义函数,则可推得,其中，,求积公式的误差余项的证明,经算后可得：,所以在,(,a,b,),内,K,(,t,)0,，据广义积分中值定理有,其中，,是区间,(,a,b,),，内某一点。于是，辛卜生公式的余项为：,这就得到前述公式,(15),的准确形式。,
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