1.5 全概逆概公式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用,.,综合运用,加法公式,P,(,A+B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),A,、,B,互斥,乘法公式,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),P,(,A,)0,1.5,全概率公式与贝叶斯公式,1,引例,市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,三家工厂的市场占有率分别为,1/4,、,1/4,、,1/2,次品率分别为,2,、,1,、,3,，试求市场上该品牌产品的次品率。,解 设,A,1,、,A,2,、,A,3,分别表示,“,买到一件,甲、乙、丙厂产品,”,B,=,“,买到一件次品”,.,2,一、全概率公式,定理,:,设事件,A,1,A,2,A,n,构成完备事件组,且,P,(,A,i,)0,(,i,=1, 2,n,),则对任一事件,B,有,例,1,甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为,0.4,、,0.5,、,0.7.,飞机被一人击中而击落的概率为,0.2,被两人击中而击落的概率为,0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率。,完备事件组？事件,B,？,3,设,A,i,=“,飞机,被,i,人击中,”,(,i,=,0,1,2,3),B,=“,飞机被击落,”,为求,P,(,A,i,),设,H,i,=,飞机,被第,i,人击中, (,i,=1,2,3),依题意,于是,即飞机被击落的概率为,0.458,。,=0.4,0.5,0.3,+,0.6,0.5,0.3,+,0.6,0.5,0.7,=0.36,=0.4,0.5,0.3,+,0.4,0.5,0.7,+,0.6,0.5,0.7,=0.41,=0.4,0.5,0.7=0.14,4,实际中还有一类问题,已知结果求原因,引例,(,续,),某产品甲、乙、丙厂市场占有率,1/4,、,1/4,、,1/2,次品率,2,、,1,、,3,(1),求市场上该品牌产品次品率,(0.0225);(2),现买到一件产品为次品,求它由甲厂生产的概率,.,解,5,二、贝叶斯公式,定理,:,设事件,A,1,A,2,A,n,构成完备事件组,且,P,(,A,i,)0,(,i,=1, 2,n,),对事件,B,若,P,(,B,)0,则有,(,k,=1, 2,n,),该公式于,1763,年由贝叶斯,(,Bayes,),给出,.,它是在观察到事件,B,已发生的条件下,寻找导致,B,发生的每个原因的概率,.,这类问题在实际中更常见,.,6,P,(,A,i,),(,i,=1,2,n,),是在没有进一步信息,(,不知道事件,B,是否发生,),的情况下,人们对诸事件发生可能性大小的认识,.,当有了新的信息,(,知道,B,发生,),人们对诸事件发生可能性大小,P,(,A,i,|,B,),有了新的估计,.,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化,.,在贝叶斯公式中，,P,(,A,i,),和,P,(,A,i,|,B,),分别称为原因的,先,验,概率,和,后,验概率,.,(,k,=1, 2,n,),7,例,2,商店论箱出售玻璃杯,每箱,20,只,其中每箱含,0,1,2,只次品的概率分别为,0.8, 0.1,0.1,某顾客选中一箱,从中任选,4,只检查,结果都是好的,便买下了这一箱,.,问这一箱不含次品的概率是多少,?,解,:,设,A,i,=“,任取一箱,含,i,只次品,”,(,i,=0,1,2),由已知,:,P,(,A,0,)=0.8,P,(,A,1,)=0.1,P,(,A,2,)=0.1,由,Bayes,公式,:,=1,完备事件组？事件,B,？,B,=“,从一箱中任取,4,只检查,结果都是好的,”,8,例,3,数字通讯中,信源发,0,、,1,两种信号,其中发,0,的概率,0.55,发,1,的概率,0.45.,由于信道中存在干扰,发,0,的时候,接收端分别以概率,0.9,、,0.05,和,0.05,接收为,0,、,1,和“不清”,.,发,1,的时候,接收端分别以概率,0.85,、,0.05,和,0.1,接收为,1,、,0,和“不清”,.,现接收端接收到一个“,1”,的信号,问发端发的是,0,的概率是多少,?,=0.067,解：设,A,=“,发射端发射,0,”,B,=“,接收端收到,1,”,9,例,4,从,20000,份患有疾病,d,1,d,2,d,3,的病历卡中统计得到下表数据,.,其中：,S,=,S,1,S,2,S,3,S,4,.,S,1,=,食欲不振,S,2,=,胸痛,S,3,=,呼吸急促,S,4,=,发热,.,疾病,人数,出现,S,中一个或几个症状人数,d,1,7750,7500,d,2,5250,4200,d,3,7000,3500,一个具有,S,中症状的病人前来求诊,他患有疾病的可能性是多少,?,在没有别的可资依据的诊断手段情况下,诊断该病人患有哪一种疾病较合适？,10,该问题观察的个数很多,用频率作为概率的近似值,.,解,:,设,A,i,=“,患者患有疾病,d,i,”(,i,=1,2, 3),B,=“,患有出现,S,中的某些症状,”,11,从而推测病人患有疾病,d,1,较为合理,.,12,甲,乙,例,5,设甲袋中有,2,个白球,1,个红球,乙袋中有,2,个红球,1,个白球,手感上均无区别,.,今从甲袋任取一球放入乙袋,搅匀后再从乙袋任取一球,求此球是红球的概率,;,若已知取到红球,求从甲袋放入乙袋的是白球的概率,.,解,:,设,A,=“,从甲袋放入乙袋的是白球,”,B,=“,从乙袋中任取一球是红球,”,13,作业：,P24,27,，,28,14,