2.3 二次函数的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3二次函数的性质,函数,开口方向,对称轴,顶点坐标,y,ax,2,(a0),y=ax,2,+k (a0,),y,ax,2,(,a0),y=ax,2,+k (a0,),y=a(x+h),2,+t(a0,),y,a,（,x+h,）,2,(a0,),y=a(x+h),2,+t(a0,),向上,直线,x=-h,（,-h,、,0,）,向下,直线,x=-h,（,-h,、,0,）,向上,向下,直线,x=-h,（,-h,、,t,）,直线,x=-h,（,-h,、,t,）,对于二次函数,y=ax,2,+,bx,+ c,(a,0),图象,:,一条抛物线,抛物线的形状,大小,开口方向完全由,_,来决定,.,当,a,的绝对值相等时,其形状完全相同,当,a,的绝对值越大,则开口越小,反之成立,.,0,y=0.5x,2,y= - x,2,y= - 0.5x,2,a,根据函数图象填空,：,抛物线,y= -2x,2,的顶点坐标是,对称轴是,，在,侧，即,x_0,时,y,随着,x,的增大而增大；在,侧，即,x_0,时,y,随着,x,的增大而减小,.,当,x=,时，函数,y,最大值是,_.,当,x_0,时,y0,(0,0),直线,x=0,y,轴右,y,轴左,0,0,0,y= -2x,2,y,x,(0,0),直线,x=0,Y,轴右,Y,轴左,0,0,0,y= 2x,2,y,x,根据函数图象填空,：,抛物线,y= -2x,2,的顶点坐标是,对称轴是,，在,侧，即,x_0,时,y,随着,x,的增大而增大；在,侧，即,x_0,时,y,随着,x,的增大而减小,.,当,x=,时，函数,y,最大值是,_.,当,x_0,时,y0,函数,y=ax,2,+bx+c,基本性质回顾,二次函数,y=ax,2,+bx+c,（,a,0,）,的图像是一条抛物线,y=x +2x,2,合作学习,(1),当自变量增大时,函数的值将怎样变化,?,顶点在图象的位置有什么特点,?,(2),判别这个函数有没有最小值或最大值,.,你能发现这是由解析式中的哪一系数决定的吗,?,(3),这个函数值的增减性是怎样变化的,?,x,y,0,2,-2,-2,2,-4,y,x,0,2,4,6,-2,2,-4,4,y,=,2,x,2,4x,6,y,=,0.75,x,2,+3,x,y,=,0.5,x,2,2,x,1.5,观察下列二次函数图像：,顶点在图像的位置有什么特点？,顶点是抛物线上的最高点（或最低点）,条件,图像,增减性,最大（小）值,x,y,o,x,2,x,1,x,y,o,x,1,x,2,二次函数,y=ax,2,+bx+c(a,0),的性质：,a,0,a,0,(1).,每个图象与,x,轴有,几个交点？,(2).,一元二次方程,x,2,+2x=0,x,2,-2x+1=0,有几个根,?,验证一下一元二次方程,x,2,-2x+2=0,有根,吗,?,(3).,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点的坐标,与一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的根有什么关系,?,观察二次函数,y=x,2,+2x,y=x,2,-2x+1,y=x,2,-2x+2,的图象,y=x,2,+2x,y=x,2,-2x+1,y=x,2,-2x+2,求二次函数图象,y=x,2,-3x+2,与,x,轴的交点,A,、,B,的坐标。,解：,A,、,B,在,x,轴上，,它们的,纵坐标为,0,，,令,y=0,，则,x,2,-3x+2=0,解得：,x,1,=1,，,x,2,=2,；,A,（,1,，,0,） ，,B,（,2,，,0,）,你发现方程 的解,x,1,、,x,2,与,A,、,B,的坐标有什么联系？,x,2,-3x+2=0,举例,:,结论,：方程,x,2,-3x+2=0,的解就是抛物线,y=,x,2,-3x+2,与,x,轴的两个交点的,横坐标,。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。,如果二次函数,y=ax,2,+bx+c,(,a,0),的图像与,x,轴的两个交点的,坐标,为,（,x,1,，,0,）,和,（,x,2,，,0,）,方程,ax,2,+bx+c,0,(,a,0),的解与二次函数,y=ax,2,+bx+c,(,a,0),的图像与,x,轴交点的坐标有什么关系？,那么,x,1,和,x,2,恰好是方程,ax,2,+bx+c,0,(a0),的两个根,方程,ax,2,+bx+c,0,(,a,0),的,解,就是,函数,y=ax,2,+bx+c,(,a,0),的图像与,x,轴交点的,坐标,。,横,可以发现：二次函数,y=ax,2,+bx+c,(,a,0),的图像与,x,轴交点的,存在性,与,方程,ax,2,+bx+c,0 (a0),的,解,是否存在,有关。,合作探究,那么，进一步推想方程,ax,2,+bx+c,0 (a0),解,的,存在性,又与什么有关呢？,b,2,4ac,的正负性有关。,故而：,当,b,2,4ac,时，抛物线与,x,轴 交点；,当,b,2,4ac,时，抛物线与,x,轴只有 交点；,当,b,2,4ac,时，抛物线与,x,轴 交点。,0,两个,0,一个,0,没有,例,1,、,已知函数,y=,0.5,x,2,7,x,7.5,(1),求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点 坐标，并画出函数的大致图像；,解,：（,1,）,a,=,0.5,b,=,7,c,=7.5;,所以函数,y=,0.5,x,2,7,x,7.5,的大致图像如图：,x,=,7,20,x,y,10,O,10,10,30,5,10,20,15,5,(,7,，,32),(0,，,7.5),(,15,，,0),(1,，,0),自变量,x,在什么范围内时，,y,随,x,的增大而增大？何时,y,随,x,的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。,解： 由右图可知，当,x,7,时 ，,y,随,x,的增大而增大；,当,x,7,时，,y,随,x,的增大而减小；,当,x,7,时，函数有最大值,32,。,(-15,0),(1,0),(0,7.5),(-7,32),(-14,7.5),.,0,x,y,(3,）根据第（）题的图象草图，说 出,x,取哪些值时，,y=0;,y0.,x=-,15,或,x=1,x1,-15x1,A,B,C,S,ABC,=0.5,AB,OC=0.5,16,7.5=60,(4),求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：,x,o,y,(0,c),函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与,y,轴的交点关于图象对称轴的对称点。,x,o,y,(0,c),y=ax,2,+bx+c,五点法:,X=-b/2a,练一练,1,、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：,y=2,x,2,8,x,1,；,y=,3,x,2,5,x,1,解： ,y=2,x,2,8,x,1,2(,x,2),2,7,当,x,=2,时,y,有最小值,为,7,a,=,3,0,且,b,=,5,c,=1;,故,:,当,x=,时，,y,有最 值，为,大,配方法,公式法,2,、,已知函数,y=,x,2,3,x,4.,求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的,大致,图像；,解：,y=x,2,3x,4,(x,1.5),2,6.25,图象顶点坐标为,(1.5,6.25);,又当,y=0,时，,得,x,2,3,x,4,0,的解为：,x,1,1,，,x,2,4,。,则与,x,轴的交点为,(,1,0),和,(4,0),与,y,轴的交点为,(0,4),(,1,0),(1.5,6.25),(0,4),(4,0),x,=1.5,O,y,x,(,1,0),(1.5,6.25),(0,4),(4,0),x,=1.5,O,y,x,记当,x,1,=1.5, x,2,=, x,3,=,时对应的函数值分别为,y,1,y,2,y,3,试比较,y,1,y,2,y,3,的大小,?,( ,y,2,),( ,y,3,),(3.5,y,1,),x,=,x,=,x,=3.5,(2),在二次函数,y=x,2,-3x-4,中,自变量,x_,时,y,随,x,的增大而增大,x,_,时,y,随,x,的增大而减小,.,1.5,1.5, 1.5,即,x,2,x,3,x,1,y,1,y,3,y,2,例,2,、二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0),的图象如图所示，则,a,、,b,、,c,的符号分别怎样？,y,x,o,1,、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：,a+b+c0,a-b+c0 ,abc,0,b=2a,其中正确的结论的个数是（ ）,A,、,1,个,B,、,2,个,C,、,3,个,D,、,4,个,2,、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值,y=2x,2,-8x-3 y=-5x,x- 4,3,、二次函数,y=x,2,bx+8,的图像顶点在,x,轴的负半轴上，那么,b,等于多少？,D,-1,1,0,x,y,做一做,例,3,、如图，在,ABC,中，,AB=8cm,，,BC=6cm,，,B,90,，点,P,从点,A,开始沿,AB,边向点,B,以,2,厘米秒的速度移动，点,Q,从点,B,开始沿,BC,边向点,C,以,1,厘米秒的速度移动，如果,P,Q,分别从,A,B,同时出发，几秒后,PBQ,的面积最大？最大面积是多少？,A,B,C,P,Q,解：根据题意，设经过,x,秒,后,PBQ,的面积,y,最大,则：,AP=2x cm PB=（8-2x,） cm,QB=x cm,则：,y=1/2 x,（,8-2x,）,=-x,2,+4x,=-,（,x,2,-,4x,+,4,-,4,）,= -,（,x - 2,）,2,+,4,所以，当,P,、,Q,同时运动,2,秒后,PBQ,的面积,y,最大,最大面积是,4 cm,2,（,0,xx,2,0,试比较,y,1,与,y,2,的大小,.,综合练习,2,、如图直线,l,经过点,A(4,0),和,B(0,4),两点,它与二次函数,y=ax,2,的图像在第一象限内相交于,P,点,若,AOP,的面积为,4.5,求二次函数的解析式,.,A,B,P,O,x,y,3,、将抛物线,y=x,2,向下平移后,使它的顶点,C,与它在,x,轴上的两个交点,A,B,组成等边三角形,ABC,求此抛物线的解析式。,谈谈你的收获、感受？！,1,、如图，等腰,RtABC,的直角边,AB,，点,P,、,Q,分别从,A,、,C,两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点,P,沿射线,AB,运动，点,Q,沿边,BC,的延长线运动，,PQ,与直线相交于点,D,。,(1),设,AP,的长为,x,，,PCQ,的面积为,S,，,求出,S,关于,x,的函数关系式,(2),当,AP,的长为何值时，,S,PCQ,= S,ABC,解：）,P,、,Q,分别从,A,、,C,两点同时出发，速度相等,AP=CQ=x,当,P,在线段,AB,上时,S,PCQ,CQ,PB,=,AP,PB,即,S,(,0x2,）,(2),当,S,PCQ,S,ABC,时，有,此方程无实数根,x,1,=1+ , x,2,=1,(,舍去,),当,AP,长为,1+,时，,S,PCQ,S,ABC,3.05,米,4,米,?,2.25,米,o,x,y,球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围,球在运动中离地面的最大高度。,解,:,设函数解析式为,:,y=,a,(,x,2.5),2,+,k,根据题意，得：,2.5,2,a,+,k,=2.25,(4,2.5),2,a,+,k,=3.05,则：,a,=,0.2,k,=3.5,解析式为,:y=,0.2,x,2,+,x,+2.25,自变量,x,的取值范围为：,0,x,4.,球在运动中离地面的最大高度为,3.5,米,。,2,、篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为,x,=2.5,。求：,再见,