2.2等差数列(优秀课件)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2,等差数列,第二章 数列,第一课时,一、数列的定义，,按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成,a,1,a,2,，,a,3,a,n,如果数列an的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。,复习,二,、通项公式:,问题 3 水的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m） 18， 15.5 ， 13 ，10,.,5 ， 8 ， 5,.,5,（观察以实际问题并思考）,引入,问题1 我们经常这样数数，从0开始，每隔5个数一次，可以得到数列？（学生试着写出来）,问题 2. 2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：,48，53，58，63,问题 4 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金（1+利率*存期）例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表（假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税）,各年末本利和（单位：元）组成了数列：,10072，10144，10216，10288，10360,时间,年初本金（元）,年末本利和,（元）,第1年,10000,10072,第2年,10000,10144,第3年,10000,10216,第4年,10000,10288,第5年,10000,10360,这四个数列有何共同特征,从第,2,项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。,请尝试着给具有上述特征的特殊数列,用数学的语言下定义,交流,从上述四个问题中我们得到了四个数列,（1）0，5，10，15，20，25，,（2）48，53，58，63,（3）18，15.5，13，105，8，5,（4）10072，10144，10216，10288，10360,1,、等差数列的定义,如果一个数列,从第,2,项起,，,每一项与其前一项的差,等于,同一个常数,，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的,公差,，公差通常用字母,d,表示。,(1),指出定义中的关键词：,从第,2,项起,等于同一个常数,(2),由定义得等差数列的递推公式：,说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据,.,每一项与其前一项的差,探究,练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项,a,1,和公差,d,如果不是，说明理由。,2,、等差数列的通项公式,根据等差数列的定义得到,方法一：不完全归纳法,2,、等差数列的通项公式,将所有等式相加得,方法二,累加法,例,1 ,求等差数列,8,，,5,，,2,，,的第,20,项,.,- 401,是不是等差数列,-,5,，,-9,，,-13,，,的项？如果是，是第几项？,解：,由,a,1,=8,，,d,=5-8=-3,，,n,=20,，得,a,20,=8+(20-1) (-3)=-49.,由,a,1,=-5,，,d,=-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为,a,n,=-,5-4(,n,-1).,由题意得,-401=-5-4(,n,-1),解这个关于,n,的方程，得,n,=100,，即,-401,是这个数列的第,100,项,.,例,2,在等差数列,a,n,中，已知,a,5,=10,a,12,=31,求首项,a,1,与公差,d,.,这是一个以,a,1,和,d,为未知数的二元一次方程组，解之得：,解：由题意得：,a,1,+ 4d = 10,a,1,+11d=31,a,1,= - 2,d=3,这个数列的首项,a,1,是,-2,，公差,d =3.,小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？,1,、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；,2,、在等差数列的通项公式中，,a,1,，,d,，,n,，,a,n,四个量中知三求一,.,结论,3,等差中项,如果,a, A, b,成等差数列，那么,A,叫做,a,与,b,的,等差中项,.,由等差中项的定义可知，,a, A, b,满足关系：,意义：,任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的,.,当,a=b,时，,A = a = b,.,例,3,（,1,）在等差数列,a,n,中，是否有,（,2,）在数列,a,n,中，如果对于任意的正整数,n,（,n2,），都有,那么数列,a,n,一定是等差数列吗？,4,、等差数列通项公式的推广,解析：,由等差数列的通项公式得,思考：已知等差数列,a,n,中，,a,3,=9,a,9,=3,求,a,12,a,3n,.,解法一,:,依题意得：,a,1,+2d=9,a,1,+8d=3,解之得,a,1,=11,d =-1,这个数列的通项公式是：,a,n,=11- (n-1)=12-n,故,a,12,= 0, a,3n,= 12 3 n.,解法二：,1.,等差数列,a,n,中，,a,1,a,5,10,，,a,4,7,，,求数列,a,n,的公差,2,.,在,数列,a,n,中,a,1,=1,，,a,n,=,a,n+,1,+4,，则,a,10,=,.,3,.,等差数列,a,n,的前三项依次为,a,-6,，,-3,a,-5,，,-10,a,-1,，,则,a,等于（,),A,.,1,B,.,-1,C,.,-,D.,课本,P40(A) 1,、,3,、,(B) 2,作业,2.2,等差数列,第二章 数列,第二课时,2,、等差数列的通项公式,1,、等差数列的定义,3,、等差数列的中项,复习,通项公式的证明及推广,用一下,例,2.,某出租车的计价标准为,1.2,元,/km,起步价为,10,元，即最初的,4km(,不含,4,千米,),计费,10,元。如果某人乘坐该市的出租车去往,14km,处的目的地，且一路畅通，等候时间为,0,，需要支付多少车费？,5,、等差数列的通项及图象特征,解析,:,思考,结论,:,首项是,1,，公差是,2,的无穷等差数列的通项公式为,a,n,2n-1,相应的图象是直线,y=2x-1,上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图,例如,：,性质,：设 若 则,等差数列的性质,数列,a,n,是等差数列，,m,、,n,、,p,、,qN,+,，且,m+n=p+q,，则,a,m,+a,n,=a,p,+a,q,。,判断：,可推广到三项，四项等,注意：等式两边作和的项数必须一样多,（,2,）,已知等差数列,a,n,中，,a,3,和,a,15,是方程,x,2,6x,1=0,的两个根，则,a,7,a,8,a,9,a,10,a,11,=,（,3,）已知等差数列,a,n,中，,a,3,a,5,=,14, 2a,2,a,6,=,15,，则,a,8,=,跟踪训练,（,1,）,已知等差数列,a,n,中，,3.,更一般的情形，,a,n,=,，,d,=,小结：,1.,a,n,为等差数列,2.,a,、,b,、,c,成等差数列,a,n,+1,-,a,n,=d,a,n,+1,=a,n,+d,a,n,=,a,1,+,(,n-,1),d,a,n,=,kn + b,（,k,、,b,为常数）,a,m,+,(,n,-,m,),d,b,为,a,、,c,的等差中项,AA,2,b= a+c,4.,在,等差数列,a,n,中，由,m+n=p+q,a,m,+,a,n,=,a,p,+,a,q,注意：上面的命题的逆命题,是不一定成立,的；,5,.,在等差数列,a,n,中,a,1,+,a,n,a,2,+,a,n-,1,a,3,+,a,n-,2,=,=,=,跟踪训练,300 83+5,（,n-1,）,500,巩固练习,1,.,等差数列,a,n,的前三项依次为,a,-6,，,-3,a,-5,，,-10,a,-1,，,则,a,等于（,),A,.,1,B,.,-1,C,.,-,D.,2,.,在,数列,a,n,中,a,1,=1,，,a,n,=,a,n+,1,+4,，则,a,10,=,.,(-3,a,-5 )-(,a,-6,)=(-10,a,-1) -(-3,a,-5 ),提示：,提示：,d=a,n+,1,-,a,n,=,-,4,3,.,在,等差数列,a,n,中,a,1,=83,，,a,4,=98,，则这个数列有,多少项在,300,到,500,之间？,-35,提示：,n,=45,，,46,，,，,84,40,例,4,例,5,已知三个数成等差数列，它们的和是,12,，积是,48,，求这三个数,.,解：,设三个数为,a-d,，,a,，,a+d,，则,解之得,故所求三数依次为,2,，,4,，,6,或,6,，,4,，,2,例,6,如图，三个正方形的边,AB,，,BC,，,CD,的长组成等差数列，且,AD,21cm,，这三个正方形的面积之和是,179cm,2,.,（,1,）求,AB,，,BC,，,CD,的长；,（,2,）以,AB,，,BC,，,CD,的长为等差数列的前三项，以第,9,项为边长的正方形的面积是多少？,3,，,7,，,11,a,9,=35,S,9,=1225,5,、等差数列的性质,已知数列 为等差数列，那么有,性质,1,：若 成等差数列，则,成等差数列,证明：根据等差数列的定义，,即 成等差数列,.,如 成等差数列， 成等差数列,.,推广：,在等差数列,有规律,地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是,7,的倍数的项）,性质,2,：设 若 则,性质,3,：设,c,b,为常数，若数列 为等差数列，则数,列 及 为等差数列,.,性质,4,：设,p, q,为常数，若数列 、 均为等差数列，,则数列 为等差数列,.,例,8,（,1,）,已知等差数列,a,n,中，,a,3,a,15,=30,求,a,9,，,a,7,a,11,解：,（,1,）,a,9,是,a,3,和,a,15,的等差中项,（,2,）,已知等差数列,a,n,中，,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,=150,，求,a,2,a,8,的值,7+11=3+15,（,2,）,3+7=4+6=5+5,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,=5 a,5,=150,即,a,5,=30,故,a,2,a,8,=2 a,5,=60, a,7,a,11,=a,3,a,15,=30, a,3,a,7,=a,4,a,6,=2 a,5,（,1,）,等差数列,a,n,中，,a,3,a,9,a,15,a,21,=8,，则,a,12,=,（,2,）,已知等差数列,a,n,中，,a,3,和,a,15,是方程,x,2,6x,1=0,的两个根，则,a,7,a,8,a,9,a,10,a,11,=,2,（,3,）已知等差数列,a,n,中，,a,3,a,5,=,14, 2a,2,a,6,=,15,，则,a,8,=,19,跟踪训练,例,8,解：,（,1,）,a,9,是,a,3,和,a,15,的等差中项,（,2,）,已知等差数列,a,n,中，,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,=150,，求,a,2,a,8,的值,7+11=3+15,（,2,）,3+7=4+6=5+5,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,=5 a,5,=150,即,a,5,=30,故,a,2,a,8,=2 a,5,=60, a,7,a,11,=a,3,a,15,=30, a,3,a,7,=a,4,a,6,=2 a,5,