1.2.1排列(两课时)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章,计数原理,1.2.1,排列,上午,下午,相应的排法,甲,乙,丙,乙,甲,丙,丙,甲,乙,甲丙,甲乙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙,问题,1,：,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名参加一项活动，其中,1,名同学参加上午的活动，另,1,名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,探究：,分析：题目转化为顺序排列问题,，,把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题就可以叙述为：,从,3,个不同的元素,a,b,c,中任取,2,个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？,ab, ac, ba, bc, ca, cb,问题,2,：,从,1,，,2,，,3,，,4,这,4,个数中，每次取出,3,个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？,叙述为,:,从,4,个不同的元素,a,b,c,d,中任取,3,个，然后按 照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？,abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.,由此可写出所有的三位数：,123,，,124,，,132,，,134,，,142,，,143; 213,，,214,，,231,，,234,，,241,，,243,，,312,，,314,，,321,，,324,，,341,，,342; 412,，,413,，,421,，,423,，,431,，,432,。,问题,1,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名参加某天的一项活动,其中,1,名参加上午的活动,1,名参加下午的活动,有哪些不同的排法,?,实质是：,从,3,个不同的元素中,任取,2,个,按一定的顺序排成一列,有哪些不同的排法？,问题,2,从,1,，,2,，,3,，,4,这,4,个数中，每次取出,3,个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？,实质是：,从,4,个不同的元素中,任取,3,个,按照一定的顺序排成一列,写出所有不同的排法,.,定义：一般地说,从,n,个不同的元素中,任取,m(mn),个元,素,按照,一定的顺序排成一列,叫做从,n,个不同的元素,中取出,m,个元素的,一个排列,.,基本概念,1,、排列：,从,n,个不同元素中取出,m (m n),个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个排列。,说明：,1,、元素不能重复。,2,、,“,按一定顺序,”,就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。,3,、,两个排列相同，当且仅当这两个排列中的,元素完全相同,，而且元素的,排列顺序也完全相同,。,4,、,m,n,时的排列叫,选排列,，,m,n,时的排列叫,全排列,。,5,、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用,“,树形图,”,。,（有序性）,（互异性）,练习,1,下列问题是排列问题吗？,（,1,）从,1,，,2,，,3,，,4,四个数字中，任选两个做加法，其,不同,结果有多少种？,（,2,）从,1,，,2,，,3,，,4,四个数字中，任选两个做除法，其,不同,结果有多少种？,（,3,）从,1,到,10,十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？,（,4,）平面上有,5,个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？,（,5,）,10,个学生排队照相，则不同的站法有多少种？,是排列,不是排列,是排列,是排列,不是排列,是排列,练习,3.,写出从,5,个元素,a,，,b,，,c,，,d,，,e,中任取,2,个元素的所有排列,解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列，共,20,个,若把这题改为：写出从,5,个元素,a,，,b,，,c,，,d,，,e,中任取,3,个元素的所有排列，结果如何呢？,方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦”,练习,2.,在,A,、,B,、,C,、,D,四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果,AB AC AD BA BC BD,CA CB CD DA DB DC,研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？接下来我们将来共同探讨这个问题：,排列数及其公式,2,、排列数：,从,n,个不同的元素中取出,m(mn),个元素的所有排列的个数，叫做从,n,个不同的元素中取出,m,个元素的排列数。用符号 表示。,“,排列,”,和,“,排列数,”,有什么区别和联系？,排列数，而不表示具体的排列。,所有排列的个数，是一个数；,“,排列数,”,是指从,个不同元素中，任取,个元素的,所以符号,只表示,“,一个排列,”,是指：从,个不同元素中，任取,按照一定的顺序排成一列，不是数；,个元素,问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为,已经算得,问题,2,中是求从,4,个不同元素中取出,3,个元素的排列数，记为，已经算出,探究：,从,n,个不同元素中取出,2,个元素的排列数 是多少？,呢,？,呢,？,第,1,位,第,2,位,第,3,位,第,m,位,n,种,(n-1),种,(n-2),种,(n-m+1),种,(1),排列数公式（,1,）：,当,m,n,时，,正整数,1,到,n,的连乘积，叫做,n,的阶乘，用 表示。,n,个不同元素的全排列公式：,(2)排列数公式（2）：,说明：,1,、排列数,公式,的第一个常用来计算，第二个常用来证明。,为了使当,m,n,时上面的公式也成立，规定：,2,、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。,小结：,【,排列,】,从,n,个不同元素中选出,m(mn),个元素,并按一定的顺序排成一列,.,【,关键点,】1,、,互异,性,(,被选、所选,元素互不相同,),2,、,有序,性,(,所选元素有,先后位置等顺序,之分,),【,排列数,】,所有排列总数,【,概念复习,】,：,1,排列的定义,从,n,个不同元素中，任取,m(m,n,),个元素（这里的被取元素各不相同）按照,一定的顺序,排成一列，叫做,从,n,个不同元素中取出,m,个,元素的,一个排列,.,2,排列数的定义，排列数的计算公式,排列数公式：,常用于计算含有数字的排列数的值,常用于对含有字母的排列数的式子进行变形和论证,例,1,计算：,=6,！,=654321=720,例题与练习,变式练习：,17,14,n(n-1)=90,10,3.,由乘积式写出排列数的符号,(m-2)(m-3).(m-k+3),例,2.,解方程,:,（,1,）,n=3 (2)m=6,例,3,求证下列各式,：,变式练习：,求证：1!2,2!+33!+nn!=(n+1)!- 1,分析：,n,n!=(n+1)!-n!,证明：,n,n!=(n+1)!-n!,左边,=,注意阶乘的几种变形,小结,:,1.,排列的定义,;(,不同元素,),2.,排列数公式,;,3.,几种阶乘变形,.,排列应用题,例,1.,某段铁路上有,12,个车站，共需要准备多少种普通客票？,一、无限制条件的排列问题,例,2,、,某年全国足球甲级,(A,组,),联赛共有,14,队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛,1,次,共进行多少场比赛,?,1.,从,5,种不同的蔬菜种子中选,3,种分别种在,3,块不同土质的土地上，共有多少种不同的种法？,分析：,把,5,个种子分别标上,1,2,3,4,5,用,123,表示种子,1,种在第,1,块土地上，种子,2,种在第,2,块土地上，种子,3,种在第,3,块土地上，因此,3,个数的一个排列就是一种种植方法，从,5,个不同数中取出,3,个数的一个排列就是一种种植方法，多少个排列就有多少种种法。,变式练习,2.,公共汽车上有,4,位乘客，其中任何两个人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠,6,个站，那么这,4,位乘客不同的下车方法有多少种？,分析：,个车站分别标上,1,2,3,4,5,6,如,1246,表示第一位乘客在,1,号站下，第二位乘客在,2,号站下，第三位乘客在,4,号站下，第四位乘客在,6,号车站下，不同的排列表示不同的下法，有多少个不同的排列就有多少种不同的下法，共有,A,4,6,=6,5,4,3=360,3、,有5名男生，4名女生排队。,（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？,（2）全部排成一排，有有多少种排法？,（3）排成两排，前排4人，后排5人，有多少种排法？,例,3,某信号共用红、黄、蓝,3,面旗,从上到下挂在竖直的旗杆上表示，每次可以任挂,1,面、,2,面或,3,面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？,课堂练习：,1,、,20,位同学互通一封信，那么通信次数是多少？,2,、由数字,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,可以组成多少个没有重复数字的正整数？,3,、,5,个班，有,5,名语文老师、,5,名数学老师、,5,名英语老师，每个班上配一名语文老师、一名数学老师和一名英语老师，问有多少种不同的搭配方法？,例,4,、,用,0,到,9,这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,分析,1,：由于百位上的数字不能为,0,，只能从,1,到,9,这,9,个数字中任选一个，有 种选法，再排十位和个位上的数字，可以从余下的,9,个数字中任选,2,个，有 种选法，根据分步计数原理，所求三位数的个数是：,分析,2,：所求的三位数可分为：不含数字,0,的，有 个；含有数字,0,的，有 个，根据分类计数原理，所求三位数的个数是：,分析,3,：从,0,到,9,这十个数字中取,3,个的排列数为 ，其中以,0,为百位数字的排列数为 ，故所求三位数的个数是：,(,特殊位置优先法,),(,特殊元素优先法,),(,排除法,),二、有限制条件的排列问题,小 结一：,对于“,在,”与“,不在,”等,有,特殊元素或特殊位置,的排列问题，通常是,先排特殊元素或特殊位置,，称为,优先处理特殊元素（位置）法,（,优限法,）。,优限法,变：,1,、,用,0,到,9,这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的且能被,5,整除的三位数？,例,5,5,个人站成一排,共有多少种排法？ 其中甲必须站在中间，有多少种不同的排法？ 其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？ 其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？ 其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？,小结二：,对于相邻问题，常用“,捆绑法,”（,先捆后松,）,捆绑法,小结三,：,对于,不相邻,问题，常用“,插空法,”（,特殊元素,后,考虑,）,插空法,例,5,5,个人站成一排,其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？,解： 甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余,3,人中选,2,人来站，有 种排法，剩下的人有 种排法，共有 种排法,.,(,特殊位置优先法,),(,特殊元素优先法,),例,5,5,个人站成一排,其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？,解： 甲站排头有 种排法，乙站排尾有 种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站排尾”的情况，有 种排法，,所以共有 种排法,.,用直接法，如何分类？,一类：甲站排尾,二类：甲站中间,所以共有 种排法,.,(7),、,甲与乙中间必须排,2,名，有几种排法？,例,5,5,个人站成一排,例,6,有,4,名男生，,3,名女生。,3,名女生,高矮互不等，,将,7,名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高,排列，有多少种排法？,所以共有 种。,本题也可以这样考虑：,对应于先将没有限制条件的其他元素进行排列，有 种方法；,再将有限制条件（顺序要求）的元素进行排列，只有一种方法；,故，总的排列方法数为：,七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。,（,1,）若其中的,A,小孩必须站在,B,小孩的左边，有多少种不同的排法？,解,1,：,A,在,B,左边的一种排法必对应着,A,在,B,右边的一种排法，所以在全排列中，,A,在,B,左边与,A,在,B,右边的排法数相等，因此有：,排法。,（种）,变式练习,2520,5,7,=,A,解法,2,七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。,2),若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？,解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排法共有： （种）。,变式： 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。,（,3,）若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一起，有多少种不同的排法？,不同的排法有：,（种）,七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。,（,4,）若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？,解：先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有 种方法，所以共有： （种）排法。,变式、,七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。,（,5,）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？,不同的排法共有：,（种）,相,间,问,题,七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成,两排,照相留念。,（,6,）若前排站三人，后排站四人，其中的,A.B,两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？,解：,A,，,B,两小孩的站法有： （种），其余人的站法有 （种），所以共有 （种） 排法。,解：,连续命中的,3,枪和命中的另一枪被未命中的,4,枪所隔开 ，如图,表示没有命中，,_,_,命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有,A,2,5,=5,4=20,种排法,2.,某人射击,8,枪，命中,4,枪，,4,枪命中恰好,3,枪连在一起的不同种数有多少？,拓展性练习：,1,、把,15,个人分成前后三排，每排,5,人，不同的排法数为（ ）,2,、计划展出,10,幅不同的画，其中,1,幅水彩画，,4,幅油画，,5,幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有（ ）,3,、由,1,、,2,、,3,、,4,、,5,这,5,个数字组成无重复数字的五位数，其中,奇数有,个,.,C,B,课堂练习：,1,、,4,个学生和,3,个老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须排在一起的不同排法种数是（ ）,A . B . C . D .,2,、停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法有,种,.,3,、用,0,、,1,、,2,、,3,、,4,、,5,六个数字，可组成多少个无重复数字且不能被,5,整除的五位数？,4,、在,7,名运动员中选出,4,名组成接力队，参加,4100,米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？,D,法一：,法二：,小结,从,n,个不同元素中取出,m(mn),个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,一个排列,从,n,个不同元素中取出,m(mn),个元素的所有排列的个数,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,排列数,当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序相同称两个,排列相同,A,n,=n(n-1)(n-2) (n-m+1),m,mn,规定,0,！,=1,