6.4 子群及其陪集

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,6.4,子,群,及,其,陪,集,6.4.1 子 群 的 定 义,6.4.2 子群的判别条件,6.4.3 循 环 群,6.4.4 陪 集,1,捉大头游戏,它是一种相传很久的有趣游戏,如下图,最上面一排是参加抽签者的名字,最下面一排是签号、奖品或公差。每个人依次顺着竖线往下走，碰到有横线时，即转向横向前进，碰到竖线再往下走，依次类推，则只要横线不要跨过3条竖线（只能跨在两竖线之间），那么此游戏执行完毕后，最上面的每个人会1-1对应到最下面一排的位置。一般在设计游戏时，是由主持人先画好竖线和横线，且在最下面先标好签号，由抽签者自行填上最上面的人名。有时，为了增加趣味性，先画好竖线填好上排的人名和下面的签号，再请参加者自行画上横线（不过速度要快，要不然观察力强者，很快可以找出对应关系）。,请同学们考虑是否可以使用置换的复合编程处理,2,6.4.1 子 群 的 定 义,子群,设（,G，）,是一个群，,H,G,，,如果 (,H,， ) 仍是一个群，则,（,H，）,叫做（,G，）,的子群。,真子群,如果,G,的一个子群,H,不等于,G，,即,H,G，,则（,H，）,叫做,（,G，）,的真子群。,Note: G,的子群,H,的运算必须与,G,的运算一样，,比如，,（C,*,，）,不是,（,C,，,+,）,的子群。在群中成立的性质在子群仍成立。,3,子群的例,例,.,（,mZ，+,）是,整数加法群,（,Z，+,）,的一个子群。,例,.,（,C,，,+,）,以,（,R,，,+,）,、,（,Q,，,+,）,、,（,Z，+）,为其真子群。,例,.,（C,*,，）,以,（R,*,，）,、（,Q,*,，）,为其真子群。,例,.,行列式等于,1,的所有,n,阶矩阵作成所有,n,阶非,奇异矩阵的乘法群的一个子群。,例,.,n,次交代群是,n,次对称群的一个真子群。,4,平凡子群,群,G,一般,都有两个明显的子群,称为,G,的平凡子群：,由其单位元素组成的子群,1,，称为,G,的单位子群；,G,本身。,其余的子群（如果有的话）称为非平,凡子群。,5,子群的例,设,Z,6,=0,1,2,3,4,5,是模6的剩余类集合，则,Z,6,在剩余类加法下是一个群，其中0和,Z,6,是该群的两个平凡子群，0，3和0，2，4是其非平凡子群，而0，1，3，5不是子群。,6,例子,例 设(,G,*),是群，对,G,中任意,a,令,H=x,|x*a=a*x, x,G,试证明(,H,*),是(,G,*),的子群。,证明：显然1,H,即,H,非空，对,H,中任意,x,y,有(,x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y)，,故,x*y,H,，,即,H,中*运算封闭。在,H,中*运算显然仍满足结合律。对,H,中任意,x,有,x*a=a*x，,于是,x,-1,*(x*a)*x,-1,=x,-1,*(a*x)*x,-1,，,化简得到,a*x,-1,=x,-1,*a，,即,x,-1,H,。,证毕,使用同样办法可以证明下面练习：,设,G,是一个群，,H,是,G,的一个子群。,a,G,。,试证,aHa,-1,=aha,-1,|h,H,是,G,的子群。也称共扼子群。,7,6.4.2 子群的判别条件,判别条件一,定理6.4.1,群,G,的一个子集,H,是,G,的一个子群的充分必要条件是：,(1),若,aH，bH，,则,abH；,(2),若,aH，,则,a,-1,H；,(3) H,非空。,8,判别条件一,证明：,必要性,若,H,是,G,的子群，则(,1,)、(3)显然。现要证（,2,）.,先证,H,中的单位元就是,G,中的单位元。,设,1,G,是,G,中的单位元，,1,H,是,H,中的单位元。,任取,a,H,，,则在,H,中有：,1,H,a=a,，,故在,G,中也成立。以,a,-1,右乘得,(,1,H,a)a,-1,=aa,-1,，,即，,1,H,(,aa,-1,),=,1,G,，,1,H,1,G,=,1,G,，,故，,1,H,=1,G。,9,判别条件一(证明续),由群的定义，对于,H,中的,a,，,应有,b,H,使，,ab=,1,H,=1,G,，,此式在,G,中亦成,立，以,a,-1,左乘得,b= a,-1,1,G,= a,-1,，,因而,a,-1,H,，,即（,2,）成立。,必要性证毕。,10,判别条件一,充分性,设(1),(2),(3)成立。,由(3)，,H,非空。,由(1)，,H,中的两个元素,a，b,可以在,H,内相乘.,在,G,中成立的结合律在子集,H,中自然成立。,往证,H,中有单位元,1,G,。任取,aH,由(2),a,-1,H,由(1),aa,-1,H，,即1,G,H；1,G,在,G,中适合1,a=a，,故在,H,中亦有此性质。,往证,H,中任意元素,a,有逆.因由(2),a,-1,H，,但是,G,中，,a,-1,a=1,G,，,此式在,H,中亦应成立，故,a,-1,即,a,在,H,中之逆。,综上，,H,在,G,的运算下是一个群，故是,G,的子群。,11,H,的单位元素就是,G,的单位元素，,H,中任一元素,a,在,H,中的逆元素也就是,a,在,G,中的逆元素。,子群,H,与大群,G,的关系,12,判别条件二,定理6.4.2,判别条件一中的两个条件（1），（2）可以换成下面一个条件,（*） 若,aH，bH，,则,ab,-1,H。,证明：,设(1),(2)成立，往证（*）成立。设,aH，bH，,由（2），,b,-1,H，,故由（1），,ab,-1,H，,因而（*）成立。,13,判别条件二(证明续),设（*）成立，往证(1),(2)成立。,设,aH，,由（*）可推得，,aH ，aH，,故,aa,-1,H,即1,H。,又由（*）可推得，1,H，aH，,故1,a,-1,H，,即,a,-1,H，,因而（2）成立。设,aH，bH，,因为（2）已证,故,b,-1,H。,再由(*)推知,aH,b,-1,H,故,a（b,-1,）,-1,H，,即,abH，,故（1）成立。,14,例子,例 设,H,和,K,都是群,G,的子群，令,HK=xy,|x,H,yK,。,试证若,HK=KH，,则,HK,是,G,的子群（此题的逆命题就是书中习题6.4的14）因为1,H,1K,，,故1,HK,，,即非空。,对于任意的,x=hk, y=h,1,k,1,这里,h, h,1,H, k, k,1,K,，,有,xy,- 1,=(hk)(h,1,k,1,),-1,=h(kk,1,-1,)h,-1,。,记,k,2,=kk,1,-1,K,由,HK=KH，,存在,h,3,H, k,3,K,使,k,2,h,1,-1,=h,3,k,3,。,从而,xy,-1,=hh,3,k,3,=(hh,3,)k,3,HK,。,由定理6.4.2知,HK,是,G,的子群。,15,判别条件三,定理6.4.3,设,H,群,G,的一个,有限,非空子集，则,H,是,G,的子群的充分必要条件是,H,对,G,的运算是封闭的,，,即若,a,H,，,b,H,，,则,ab,H 。,提示：充分性证明用教材201页习题2得出的结论：若非空、运算封闭、结合律、消去律、有限，则为群。,16,6.4.3,循,环,群,定理6.4.4,设,a,是群,G,的一个元素。于是,a,的所有幂的集合,a,n,，n=0，1，2，,做成,G,的一个子群，记为（,a）。,此群称为由,a,生,成的子群。,证明：,（1）（,a）,非空，至少,a,0,=1（a）。,（,2,）,任取（,a,）,中二元素,a,m,，,a,n,，,有,a,m,（,a,n,）,-1,=a,m,a,-n,=a,m-n,（,a,）。,故由子群判别条件二，（,a,）,做成,G,的一个子群。,17,6.4.3,循,环,群,定义.,如果群,G,可以由它的某元素,a,生成，即有,a,G,使,G=,（,a,），,则,G,叫做一个循环群，或巡回群,。,上面定理中的,（,a）,称为由,a,生成的循环子群。,例.,整数加法群（,Z，+）,是由1生成的循环群。（,nZ，+）,是由,n,生成的循环群。,容易证明循环群必是,Abel,群,18,元素的周期,看由元素,a,所生成的循环群（,a）：,，a,-2,，a,-1,，a,0,，a，a,2,， （1）,情形1,0,如果（1）中所有元素都彼此不同，则称,a,的周期为无穷大或0。此时，对任意两个不同的整数,s,与,t，a,s,a,t,。,情形,2,0,如果（,1,）中出现重复的元素，即有整数,s,t，,使,a,s,=a,t,。,不妨设,st,，,于是,s-t0,且,a,s-t,=1,，,即有正整数,m,使,a,m,=1,。,若,n,为,适合,a,n,=1,的最小正整数,，则称,a,的周期（阶）为,n,。,19,周期的例,例.,4次对称群中（1 2 3 4）的周期是4，因为 （1 2 3 4）,2,=（1 3）（2 4）,（1 2 3 4）,3,=（1 4 3 2）,（1 2 3 4）,4,=,I,例.,在,（C,*,，）,中，,1,的周期为,1,，,-1,的周期为,2,，,i,的周期为,4,，模数,r,1,的复数,z=re,i,的周期为无穷大。,20,周期的例,例 一个有限群中，周期大于2的元素个数为偶数。,证明：任取群中周期大于2的元素,a，,于是,a,2,1，,由群的概念知,a,有逆元,a,-1,，,且,a a,- 1,(,否则，若,a=a,-1,，,有,a,2,=1，,矛盾），这就是说,a,与,a,的逆,a,-1,是成对出现的且它们的周期都大于2，由于,a,的任意性知,周期大于2的元素个数为偶数。证毕。,21,周期的例,例 若有限群G的元数为偶数，则G中周期等于2的元素个数一定是奇数。,例 若群中除单位元外，所有其他元素的周期为2，则该群为Abel群。,22,周期的性质,定理6,.4.5,若群,G,中元素,a,的周期为,n,，,则,（1）,1,，,a,a,2,，,a,3,，,a,n-1,为,n,个不同元素；,（2）,a,m,=1,当且仅当,n,m;,（3） a,s,=a,t,当且仅当,n(s-t),。,23,证明：,因为任意整数,m,恒可唯一地表为,m=nq+r，0rn,故,a,m,=a,nq,a,r,=(a,n,),q,a,r,=1,q,a,r,=la,r,=a,r,；,由于,0,rn,，,故按周期的定义知,a,r,=1,iff,r=0,所以,a,m,=1,iff,r=0,iff,n,m,即（,2,）得证。由（,2,）即知,a,s,=a,t,iff,a,s-t,=1,iff,n,(,s-t,)，,即（,3,）得证，最后由（,3,）立即可得（,1,）。,24,结论：,设,a,为群,G,的一个元素，,（1）如果,a,的周期为无穷大，则（,a）,是无限循环群，（,a）,由彼此不同的元素,，,a,-2,，a,-1,，1，a，a,2,，,组成。,（2）如果,a,的周期为,n，,则（,a）,为,n,元循环群，它由,n,个不同的元素,1，,a，a,2,，a,3,，a,n-1,组成。,25,周期的例,例 设,S,n,是,n,次对称群。,（1）若,S,n,，,=(a,1,a,2,a,k,)，,则 的周期是,k。,（2）,S,n,， = ,1,2, ,s,是不相杂轮换的乘积，若,i,是,k,i,阶轮换，,i=1,2,s，,则的周期是,1,2, ,s,的最小公倍数,k,1,k,2,k,s,证（1） ,k,= (a,1,a,2,a,k,),k,=(a,1,)，,假若 的周期,jk，,则,j,(a,1,)= (a,1,a,2,a,k,),j,(a,1,)=a,j+1,a,1,矛盾，这就证明了,j=k。,26,周期的例子,（2）设,的周期为,t，,k,1,k,2,k,s,=d。,由于,1,2, ,s,是不相杂的，则,d,= ,1,d,2,d, ,s,d,=(a,1,)，,因此有,td。,另一方面，,t,=(a,1,),由于两两不相杂，必有,i,d,=(a,1,),i=1,2,s。,根据（1）部分的结果知,i,的周期为,k,i,，,因此对于所有的,i,1,2,s,有,k,i,t，,即,t,是,k,1,k,2,k,s,的公倍数，由于,d,是,k,1,k,2,k,s,的最小公倍数，必有,dt。,综合上述结果有,t=d。,27,加法群中元素的周期,在加法群中，(,a),应换为,a,的所有倍数的集合,： ，-2a，-a，0，a，2a， *,当(*)中的所有元素均彼此不同时，称,a,的周期为无穷大或为0；否则当,n,为适合,na,=0,的最小正整数时，称,a,的周期为,n。,注意这里的加法表示满足交换律的一种抽象运算。,定理6.4.5,若加法群中,a,的周期为,n，,则有(1) 0，,a，2a，（n-1）a,为,n,个不同元素；(2),ma=0,当且仅当,nm;(3),sa,=,ta,当且仅当,n(s-t),28,循环群的生成元素,定理6.4.6,（1） 无限循环群（,a）,一共有两个生成元：,a,及,a,-1,。,（,2,）,n,元循环群（,a,）,中，元素,a,k,是（,a,）,的生成元的充要条件是（,n,，,k,）,=1,。,所以（,a,）,一共有,(,n),个生成元素。,29,证明：,如果,a,k,是（,a）,的一个生成元，那么（,a）,中每个元素都可表示为,a,k,的方幂。特别地，,a,也可表示为,a,k,的方幂。设,a = (a,k,),m,= a,k m,。,（1）,由（,a）,是无限循环群知，,km=1。,因此，,k=1。,即，,a,及,a,-1,为无限循环群,（,a）,的生成元。,30,（2）,如果（,a）,是一个,n,元有限群，那么,a,的周期为,n。,由周期的性质知，,n|km-1。,因此，,km-1=nq， km-nq=1。,这说明,k,与,n,互质。,另一方面，如果,k,与,n,互质，则有,h,和-,q，,使,h k-qn=1，,即，,hk-1=qn，,故,n(kh-1)，,由周期的性质知，,a,1,=a,kh,， a=(a,k,),h,.,故,a,可表为,a,k,的若干次方.,总之，,a,可表为,a,k,的若干次方,iff,k,与,n,互质。,但在,0,kn,中，共有,(,n),个,k,与,n,互质，故共有,(,n),个元素,a,k,可生成（,a,）。,31,例子,例 (,Z,+),的生成元只能是1和-1.,若,G=(a),是元数为12的群，,(,12)=4，,与12互质的数有1，5，7，11，因此,a, a,5,a,7,， a,11,是,G,的所有4个生成元。,32,群的结构,有时需要根据子群,H,的一些特点将群分解成（划分成）一些不相交的子集合之并。如，在（,Z,+),中，取一个正整数,m，,可得子群,nZ=nz,zZ，,当,m=2,时，就是所有偶数在加法下作成的子群，通过这个子群就可以把整数加法群分解为奇数和偶数两个不相交子集合，它们就是相对于该子群（等价关系）的等价类-陪集。,33,6.4.4,陪,集,合同关系,定义.,设,G,是群，,H,是,G,的子群，,a，bG，,若有,hH，,使得,a =bh，,则称,a,合同于,b(,右模,H)，,记为,ab（,右,mod H）。,例.,设,G,是三次对称群，,H,是由（1 2 3）生成的,子群：,H=I，（1 2 3），（1 3 2）。,因为有,IH，,使得（1 2）=（1 2）,I，,所以,（1 2） （1 2）（右,mod H）。,因为有(,1 2 3,),H,使得(,2 3,),=,(,1 2,)(,1 2 3,)，,所以,（,2 3,）,（,1 2,）（右,mod H,）。,34,结论:,合同关系(右模,H),是一个等价关系。,证明：,1) 证反身性。因为对任意,aG，,有1,H ，,使得,a=a1，,所以,aa（,右,mod H）。,2）,证对称性。即证若,ab(,右,mod H)，,则,ba(,右,mod H)。,由,a=bh,hH,可以推出,b =ah,-1,，,而且,h,-1,H，,故,ba(,右,mod H)。,3)证传递性。即证若,a,b,(,右,mod H,)，,b,c,(,右,mod H,)，,则,a,c,(,右,mod H,)。,由,a=bh,，,b=ck,，,h,，,k,H,，,可得,a=ckh,，,其中,kh,H,，,故,a,c,（,右,mod H,）。,35,陪集,定义,.,群,G,在合同关系（右模,H,）,下的一个等价类叫做,H,的一个右陪集。,同样，可以界说,a,合同于,b,（,左模,H,）：,a,b,（,左,modH,）,和,H,的左陪集。,结论：,a,所在的右陪集为,aH=ah|h H。,注意：有些书上把右陪集称做左陪集，这没有关系，只要我们弄清楚就可以了。,36,陪集的例,设,G,是整数加法群。,H,是,m,的所有倍数作成的子群，因为加法适合交换律，所以左右之分不存在，因而，（左,mod H,）,和（右,mod H,）,是一样的，左右陪集也是一样的。,a,b,（,mod H,），,即,a=b+h(,hH,),亦即，,a=b+km,故,a,b,（,mod m,）。,可见，,H,的陪集就是模,m,的剩余类。,37,陪集的例,设,G,是所有非,0,复数的乘法群，所有其,z,=1,的复数,z=e,i,作成,G,的一个子群,H,。,a,b,（,mod H,）,等于说,a,=,b,。,在复平面上，,H,相当单位圆，,H,的所有陪集相当以原点为圆心的所有同心圆。,38,求陪集的简单方法,若,G,是一个有限群，求,H,的右陪集：,首先，,H,本身是一个；,任取,a,H，,aG,而求,aH，,又得到一个；,任取,b,HaH,而求,bH,又得到一个；,如此类推，因,G,有限，最后必被穷尽，而,G=H,aH,bH,。,39,例.,设,G,是3次对称群：1,（1 2）,（1 3）,（,2 3,）,（1 2 3）,（1 3 2），,H：1,（12），,H,有三个右陪集：,1,(1 2)，(1 3),(1 2 3)， (2 3), (1 3 2) 。,H,有三个左陪集：,1,(1 2)，(2 3), (1 2 3),，,(1 3), (1 3 2),40,定理,6.4.7,设,H,是群,G,的有限子群，则,H,的任意右陪集,aH,的元数皆等于,H,的元数。,证明：,aH=ah,h,H,，,又,G,中有消法律：,由,a,=ay,可以推出,=y,，,故,H,中不同元素,以,a,左乘仍得不同的元素。因而,aH,的元数等,于,H,的元数。证毕,该定理结果表明所有陪集元素个数相等。,41,陪集的性质,（1）,若,H,为,G,的有限子群，则|,aH| = |H|。,（2）,H,本身也是,H,的一个右陪集。,（3）,aH=H,的充分必要条件是,aH。,（4）,a,在陪集,aH,中。,根据这点，把,a,叫做右陪集,aH,的一个陪集代表。,42,陪集的性质,（5）,对于右陪集,aH,中任意元素,b，,都有,aH=bH。,证明： 由,baH,知，存在,hH，,使得,b=ah。,因此，,bH=ahH=a（hH）=aH。,这点说明右陪集,aH,中任一元素都可以取做陪集代表。,从（5）还可推出：,（6）,aH=bH,的充分必要条件是,a,-1,b,H,。,43,陪集的性质,（7）,任意两个右陪集,aH,和,bH,或者相等或者不相交。,证明：,如果,aH,和,bH,不,相交，则它们包含公共元素,c,，,即,c,aH,，,且,c,bH,。,因此，,由（,5,）得,aH=cH,，,且,bH=cH,。,故，,aH=bH,。,44,正规子群,定义,.,设,H,是群,G,的子群,设对,G,中的任意元素,g,都有,gH=Hg,则称,H,是,G,的正规子群。,结论1,“平凡”子群,H=1,和,G,都是,G,的正规子群,结论2,Abel,群的任意子群是正规子群。,45,结论3,H,是,G,的正规子群，必要而且只要对任意的,g,G,，,gHg,-1,H.,证明：必要性.,由,H,是,G,的正规子群，知，对于,任意,g,G,，,gH=Hg,即,gHg,-1,=H，,故,gHg,-1,H.,充分性.,设对任意,gG，gHg,-1,H。,既然此式,对任意,gG,成立，则以,g,-1,G,代,g,仍成立：,g,-1,H（g,-1,）,-1,H，,即，,g,-1,Hg,H；,以,g,左乘以,g,-1,右乘之，得,H,gHg,-1,因此，,H=gHg,-1,对任意,g,G,都成立,即，,gH=Hg,因而,H,是正规子群。,46,例子,结论4；设,H,是,G,的一个子群。,H,是,G,的正规子群当且仅当对,G,中任意的,a，,都有,aHa,-1,=H，,即,H,只有一个共扼子群，就是,H,自己。,证明：,aHa,-1,=H,aH=Ha，,故有定义可知,H,是,G,的正规子群,aHa,-1,=H，,对,G,中任意的,a,成立。,47,Lagrange,定理,设,G,为有限群，则,G,的任意子群,H,的元数整除群,G,的元数。,证明：,设|,G|= n，|H|=r。,设,H,有,s,个右陪集,则每个右陪集的元数等于,H,的元数,r，,再由不同的右陪集没有公共元素，知,所有右陪集的并集有元数,rs,。,而,G,等于所有右陪集的并集，故,|,G|=n=rs=|H|s，,即，子群,H,的元数整除群,G,的元数。,48,反例,注意：此定理逆命题不一定成立，换句话说,若正整数,d,是,n,的因子，但,G,不一定有,d,元子群。,如4次交代群（所有偶置换作成的群）,A,4,的元数为12，6是其因子，但,A,4,没有6元子群。,49,H,在,G,中的指数,:,有限群,G,的元数除以,H,的元数,所得的商，记为（,G：H），,称作,H,在,G,中的指数。,结论：,H,的指数也就是,H,的右(左)陪集的个数。,右代表系,:,从每个右陪集中选出一个元素为代表，全体代表的集合叫做一个右代表系或右代表团。,结论：,设,G,有限而,g,1,，g,s,作成一个右代表系，则,g,1,H，g,s,H,便是,H,的所有右陪集而,G= g,1,Hg,s,H。,结论：,指数等于2的子群一定是正规子群。,50,应用,Lagrange,定理,定理6.4.8,设,G,为,有限群,，元数为,n，,对任意,aG，,有,a,n,=1。,证明：,因为,G,有限，,a,的周期必有限，否则,a,所生成的循环子群（,a,）,将无限，,G,的元素将无穷多。命,a,的周期为,m,，,则,a,生成一个,m,元循环子群（,a,）。,按,Lagrange,定理，,m,n,，,即,n,0,（,mod m,），,因此,a,n,=1,。,51,Lagrange定理的使用,我们可以使用拉格朗日定理确定一个群内可能存在的子群、元素的周期等，从而搞清一个群的结构。以前我们确定一个群内的子群时，主要利用元素生成的子群。有个这个定理，就可以首先有G的元数的因子来确定可能存在子群的元数以及元素的周期，然后根据子群的元数来寻找子群。,52,例子,证明6元群中一定有周期为3的元素。,证：根据定理6.4.8，,G,中元素的周期是6的因子，所以,G,中只能有周期为,1、2、3,和6的元素，但,G,中有周期为6的元素,a,时，,a,2,的周期就是3。,若,G,中不含有周期为6的元素，则,G,中除1 外，元素周期只能为2或3。下面用反证法证明,G,中必含周期为3的元素。若不然,G,中所有元素,a，,满足,a,2,=1，,即,a=a,-1,。,任取,G,中,a,b,有,ab=(ab),-1,=b,-1,a,-1,=ba,G,是,Abel,群。取,G,中非1的,a,和,b，,令,H=1,a,b,ab，,使用子群判定定理易证,H,是,G,的子群且有4个元素，与,Lagrange,定理矛盾。,53,例,例子 确定,S,3,的所有子群。,因,S,3,=,6,除平凡子群外，,S,3,中只能有2或3元子群，又因2和3都是质数，因而它们都是循环子群，有周期为2或3的元素生成。故,S,3,在所有子群是,H,1,=1,H,2,=(12),H,3,=(13),H,4,=(23),H,5,=(123),和,H,6,=S,3,。,54,例子,例子 确定所有可能的4元群。,因为元素的周期是群的元数的因子，故可分为以下几种情况讨论：,（1）,G,中存在周期为4的元,a ，,则,G=(a)。,（2）G,无周期为4的元，则除单位元1外均为2，,G,是,Abel,群。可设,G=1,a,b,c,(a),(b), (c),的元数为2。因,ab,1、a、b，,所以,ab=c，,类似有,ba=c,bc=cb=a,ac=ca=b，,所以,G=Klein,四元群。,故4元群只有两种可能：4元循环群或,Klein,四元群。,55,练习题,设,H,是,G,的子群，,a,b,G,证明下列命题等价：,(1),a,-1,b,H,(2) b aH,(3) aH=bH,(4) aHbH。,56,例子,设,H,是,G,的子群，证明如果,H,的任意两个右陪集的乘积仍是一个右陪集，则,H,是,G,的正规子群。,证明：首先证明，对任意的,a,b,G, aHbH=abH。,事实上，由题设,aHbH,是,H,的一个右陪集，令其为,cH，,显然有,abcH,故,abH=cH=aHbH。,下面证,H,是,G,的正规子群。对任意,aG,hH,ahaH, a,-1,a,-1,H，,得到,aha,-1,aHa,-1,H=aa,-1,H=H。,有,h,的任意性知,aHa,-1,H，,证毕。,57,