系统的数学模型(4)课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 数学模型,控制工程基础,第二章 系统数学模型,重点：微分方程的建立,Laplace变换和反变换,传递函数建立,传递函数方框图的化简,难点：机械系统微分方程的建立,Laplace反变换,一、数学模型,定量的描述系统输入、输出变量及内部各变量之间相互关系的数学表达式。,建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，这是控制工程的基本方法。,2-1,系统的微分方程,二、数学模型的种类,三、数学模型的建立方法,建立数学模型通常有两种方法，即,解析法,和,实验法,。,解析方法,根据系统各环节所遵循的物理或化学规律分别列写相应的运动方程，这种方法要求,明确系统的结构和特性,。,实验方法,指对系统加入激励信号，测出其响应信号，再经分析、拟合以辨识系统的数学模型。,本章注重讨论解析法建立物理系统的数学模型。,系统,x,1,(t),x,2,(t),y,2,(t),y,1,(t),系统,ax,1,(t) +,+,bx,2,(t),ay,1,(t)+by,2,(t),一般微分方程：,四、微分方程,（一）、建立微分方程模型的步骤,1、,分析系统的结构、工作原理以及信号传递变换过程，确定系统和各元件的,输入,、,输出,变量；,2、,从系统的输入端开始，按,信号传递顺序,根据各变量所遵循的,物理学定律,，依次列写各元件关于中间变量的原始微分方程；,3、,消去中间变量，得到一个描述元件或系统,输入、输出变量,之间关系的微分方程。,4、,规范化：,左出右入,；各级导数按,降阶,排列；,（二）、典型系统微分方程模型列写,1.电气系统(基尔霍夫定律),信号：电流,元件：电阻、电感、电容,物理量：电压、电流,2、机械系统（牛顿第二定律）,机械系统分为,平动,系统和,旋转,系统,1）、机械平动系统,信号：位移,元件：质量、弹簧、位移,物理量：位移（速度、加速度），力,2）、机械旋转系统,信号：角位移,元件：转动惯量、扭转弹簧、旋转阻尼,物理量：角位移（角速度、角加速度），力矩,电容两端电压为：,图2-1,u,0,(t),U,i,(t),C,L,R,例,2-1,无源电器网如图,2-1,所示， 为输入电压， 为输出电压，列写其关于输入输出微分方程模型。,解：设电路中电流为,i,(,t,),整理得:,例,2-2,如图所示系统，,试列写系统输入输出的微分方程模型,。,M质量；k弹性系数；C粘性阻尼系数,F,i,(t)输入切削力；y,0,(t)输出位移。,解：,例,2-3,如下图所示由两级RC电路串联组成的无源滤波电路，,试列写以电压u,1,为输入量、电压u,0,为输出量的滤波电路的,微分方程,解：,练习题：,如图所示系统，试列写系统输入输出的微分方程模型。,F,i,(t),K,(b),C,M,y,0,(t), 2-2 拉普拉斯变换及反变换, 2.2.1 拉普拉斯变换,二、拉氏变换性质,三、典型信号拉氏变换,1、,单位脉冲信号,1),单位脉冲信号数学表达式,t,f(t),0,1/,2)理想单位脉冲信号数学表达式,t,f(t),0,3)理想单位脉冲信号的拉氏变换,2、,单位阶跃信号,1),数学表达式,t,u(t),0,1,2),拉氏变换,3、,单位斜坡/速度信号,1),数学表达式,2),拉氏变换,t,x,i,(t),0,1,1,4、,单位加速度信号,1),数学表达式,2),拉氏变换,t,x,i,(t),0,5、,指数函数信号,1),数学表达式,2),拉氏变换,6、,正、余弦信号,1),数学表达式,2),拉氏变换,一、定义,二、部分分式法,基本思想,：复杂象函数F(s)若干简单有理分式之和查表求简单有理分式原函数F(s)原函数, 2.2.2拉普拉斯反变换,F(s)一般式：,用部分分式法将F(s)分解成若干个简单有理分式之和，分以下三种情况：,1、A(s)=0的根为各不相同的实数,此时F(s)可分解为：,2、A(s)=0有共轭复根：,3、A(s)=0有重根（略）,利用部分分式法求复杂函数原函数的方法：,（1）分析A(s)=0根的情况，并将A(s)分解因式；,（2）据A(s)=0情况，将F(s)展开为部分分式，即多个简单分式和的形式；,（3）将每个分式化为常见函数的象函数形式；,（4）查表和应用叠加定理写出f(t)的表达式。,三、用拉氏变换求解微分方程：,（1）对线性微分方程中的每一项进行拉氏变换，使微分方程变成s的代数方程变换方程；,（2）解变换方程，求出系统输出变量的象函数表达式,（3）利用部分分式法，结合查表，进行拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,定义：当初始状态为零时，线性定常系统输出量与输入量的拉氏变换之比，称为系统传递函数。,G(s),Xi(s),Xo(s),传递函数方框图表示系统的变换关系：,一、传递函数,2.3.1 传递函数,2-3 传递函数,二、传递函数的几点说明,1、传递函数的概念，只适用于,初始状态为零,时的,线性定常系统,。,2、传递函数的分母、分子分别反映了系统本身的固有特性和系统与外界的联系。,3、同一系统选取不同物理量作为输入、输出时，传递函数不同。,y(t),f(t),m,k,c,y(t),x(t),m,k,c,u,i,u,0,i,L,R,C,4、传递函数,不能反映实际的物理结构。,5、,分母阶数,n,不能小于分子阶数,m,，因实际系统具有惯性，存在延时。,6、,G(S),量纲可有可无，视,X,O,(S)与X,i,(S)量纲而定,。,传递函数求取步骤：,1、写出系统的线性或线性化微分方程。,2、零初始条件下对微分方程进行拉氏变换。,3、求输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，即为系统传递函数。,例1：图示机械系统，输入为,f,，输出为x，求系统传函。,解：对系统进行分析，列写微分方程得：,对上述微分方程两边进行拉氏变换,即：,例2：如图所示电路。输入,u,i,，输出u,o,，求系统传函。,解：列写系统的微分方程：,三、关于传递函数的几个术语,X,i,(s),X,o,(s),G(s),H(s),E(s),B(s),-,x,i,(t),x,o,(t),反馈环节,执行环节,-,X,i,(s),G(s),H(s),E(s),B(s),B(s),X,o,(s),-,注意：,开环传递函数是闭环控制系统一个重要概念，它并不是开环系统的传递函数，而是指闭环系统的开环。 无量纲,X,i,(s),X,o,(s),G(s),H(s),E(s),B(s),-,+,5、传函的零点和极点：,令B(S)=0的根称为传递函数的,零点,；,令A(S)=0的根称为传递函数的,极点,。,系统传递函数的分母多项式称为,特征多项式,， A(S)=0称为,特征方程,，极点称为,特征根,。,根据多项式定理，传递函数的一般形式也可写成：,说明,系统特性由系统的,闭环传递函数,来描述。,t,t,1,x,o,(t),0,x,i,(t),K,X,o,(s),X,i,(s),z,1,x,o,z,2,x,i,例：图示为一对共轭齿轮传动副，x,i,和x,o,分别为输入、输出轴的转速，z,1,和z,2,为轮齿数目。根据齿轮啮合传动的基本定律，得：,二、典型环节的传递函数,1、,比例环节,：,动力学方程：,传递函数：,传函方框图：,特点,：输出无延时，无失真,u,i,C,R,i,u,o,例：如图所示电路。,2、,惯性环节,：,当输入为阶跃函数时：,t,x,o,(t),0,x,i,(t),特点,：因储能元件的存在，输出延时,3、,积分环节,：,X,o,(s),X,i,(s),t,x,o,(t),0,x,i,(t),当输入为,阶跃函数,时：,特点,：,对单位阶跃信号，输出在t=T时刻才等于输入,滞后,作用,4、,延迟/延时环节,：,t,x,o,(t),0,x,i,(t),特点,：由x,o,(t)=x,i,(t-)知，输出滞后于输入个单位，但不失真,比较,：,t,x,o,(t),0,x,i,(t),t,t,1,x,o,(t),0,x,i,(t),t,x,o,(t),0,x,i,(t),比例环节,特点：任一时刻输出都不失真，不延时,惯性环节,特点：输出延时，开始时还存在失真,延时环节,特点：在0-内无输出，延时后，输出无失真,5、,振荡环节,：,例：如图所示电路。,u,i,C,R,u,o,L,t,u,o,(t),0,u,i,(t),1,特点,：,此时二阶环节可视为两个一阶惯性环节的串或并联。,C）,当T很小,很大时，T,2,S,2,可忽略，二阶环节近似为一阶惯性环节,d）,振荡环节一般含有,两个独立储能元件,和,一个耗能元件,，由于两个储能元件之间有能量交换，使系统输出发生震荡，耗能元件的存在，又使得振荡为衰减振荡。,一般系统含几个,独立的储能元件，,系统微分方程就有几阶。,e）,从G(S)极点看，极点为一对共轭复根（,1,）时，系统输出发生振荡。,6、,微分环节,：,微分环节作用：,K,P,X,o,(s),X,i,(s),对于比例环节,t,x,o,(t)=K,p,t,0,x,i,(t)=t,1）,使输出提前,。,X,o,(s),X,i,(s),K,p,T s,K,p,+,+,并入微分环节,t,x,o,(t),t,1,x(t),T,t,2,K,p,(Ts+1),X,o,(s),X,i,(s),2）,微分环节不能单独存在,。,微分环节输出反映输入的微分,当输入为单位阶跃信号x,i,(t)=1时，,所以，微分环节不能单独存在于系统。,2-4 传递函数方框图表示及化简,X(S),2、信号线,1、函数方框,G(s),X,2,(S),X,i,(S),一、传递函数方框图的概念,传递函数方框图,也是描述系统的一种数学模型，方框图的结构要素:,方框图具有,单向性,，即输出对输入没有反作用,信号线传送信号，,无能量损失和转换,，即同一信号线上信号大小、量纲同,3、比较点,X,2,(S),X,3,(S),X,1,(s),_,+,4、引出点,X,3,(S),X,2,(S),X,1,(S),（1）相加点输入可多个，但,输出是唯一,的,（2）相加点处信号为,同种变量，量纲相同 G,K,(S)无量纲,表示同一信号的不同传递方向,信号线不消耗、转换能量,二、系统方框图的建立,建立物理系统方框图的,基本步骤,：,1、确定系统,输入,和,输出,变量；,2、列写关于,中间变量,的原始,微分方程组,；,3、,零初始状态,下对上述微分方程组进行拉氏变换，得到关于的S,代数方程组,；,4、按照信号在系统中的,因果关系,，依次将各元件的方框图连接起来，构成整个系统的传递函数方框图。一般：,左输入右画出,。,例,：如图所示无源RC电路网，设输入端电压u,i,(t)，输出端电压为u,o,(t) ,画出相应方框图。,解：根据基尔霍夫定律：,i(t),u,o,(t),u,i,(t),R,C,零初始条件下，进行拉氏变换，得,),(,1,),(,),(,),(,1,),(,s,I,Cs,s,U,o,s,U,o,s,U,i,R,s,I,=,-,=,U,o,(S),U,i,(S),I(S),+,即,三、方框图的化简,对于复杂控制系统，其方框图甚为复杂，为便于分析和计算，需将其化简。通常化简方法有：,方框图等效化简,利用梅逊公式化简,X,o,(s),G,2,(s),X(s),X,i,(s),G,1,(s),四、方框图的等效化简,1、,串联,X,i,(s),X,o,(s),简化为：,X,o,(s),X,i,(s),X,2,(s),X,1,(s),G,2,(s),G,1,(s),+,2、,并联,X,i,(s),X,o,(s),简化为：,H,X,2,+,X,1,G,X,2,+,X,1,反馈连接：,X,i,(s),X,o,(s),G(s),H(s),3、,反馈,注意区分反馈与并联：,X,i,(s),X,o,(s),简化为：,4、,引出点和比较点的移动,引出点前移,X,1,(s),X,2,(s),G(s),X,3,(s)= X,2,(s),X,1,(s),X,2,(s),G(s),X,3,(s)= X,2,(s),G(s),引出点后移,X,1,(s),X,2,(s),G(s),X,3,(s),=,X,1,(s),X,1,(s),X,2,(s),G(s),X,3,(s)= X,1,(s),1,/,G(s),5、比较点移动规则,比较点后移,比较点前移,X,1,(s),X,3,(s),G(s),X,2,(s),+,X,1,(s),X,3,(s),G(s),X,2,(s),+,X,1,(s),X,3,(s),G(s),X,2,(s),G(s),+,X,3,(s),1/G(s),X,1,(s),G(s),X,2,(s),+,6、,相邻比较点移动规则,X,1,(s),X,4,(s),X,2,(s),+,X,3,(s),X,1,(s),X,4,(s),X,3,(s),+,X,2,(s),因加减运算符合交换律，所以相邻相加点可相互,任意移动,7、,相邻引出点移动规则,X(s),X,(s),X,(s),X (s),因信号线上信号相等，所以相邻分支点可相互,任意移动,注：,相邻分支点、相加点间不能任意移动,。,五、系统传递函数方框图简化方法,1、明确系统的输入和输出,2、若系统传递函数方框图内,无交叉回路,，则根据环节串、并联和反馈连接的等效原则,从里到外,进行简化,3、若系统传递函数方框图内,有交叉回路,，则根据相加点、分支点等移动规则,先消除交叉回路,，然后转步骤2。,2.5 信号流图与梅逊公式,信号流图与动态结构图一样， 也是一种描述控制系统信号传递关系的数学图形， 它比动态结构图更简洁。 利用梅逊公式可以避免复杂的动态结构图的等效变换， 直接写出信号流图或动态结构图所描述的控制系统的传递函数。,2.5.1 信号流图的组成,信号流图的基本单元有两个： 节点和支路。 信号流图中， 节点表示系统中的变量或信号， 在图中用一个小圆圈表示。 支路是连接两个节点的有向线段， 支路上的箭头表示信号传递的方向； 两个变量之间的因果关系式叫做增益（相当于动态结构图方框中的传递函数）， 增益标在相应的支路上。支路相当于一个乘法器， 信号流经支路时， 乘上支路增益变为另一信号。,节点分为三种：,(1) 输入节点。 只有输出支路的节点， 又称为源节点， 用来表示系统的输入变量。,(2) 输出节点。 只有输入支路的节点， 又称为汇点， 用来表示系统的输出变量。,(3) 混合节点。 既有输入支路， 又有输出支路的节点。,图 2-21 信号流图,例 试根据系统结构图绘制对应的信号流图。,2.5.3 梅逊(S.J.Mason)公式,应用梅逊公式可以不进行结构变换而直接得到系统的传递函数。,梅逊公式为（对于动态结构图而言）,其中, 为系统的主特征式， 且：,=1-,La,+,LbL,c-,LdL,e,Lf,+,P为系统总传递函数,P,k,为第k条前向通路的传递函数,回路传递函数是指每一个回路前向通道和反馈通道的传递函数之乘积， 并且包含表示反馈极性的正、 负号。,L,a,为各回路的回路传递函数 之和,L,b,L,c,为每两个互不接触回路传递函数乘积之和,L,d,L,e,L,f,每三个互不接触回路传递函数乘积之和,k,为第K 条前向通路特征余子式,本章小结,1、微分方程建立,2、拉氏变换应用,3、传递函数（定义、建立、术语、典型环节传含）,4、传递函数方框图（建立、化简）,