随机过程2(2.1)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,Brown,运动,本章主要内容,Brown,运动的定义及性质,Brown,运动有关的随机过程,Brown,运动的仿真,Brown,运动的背景介绍,1827,年英国植物学家发现布朗运动,1905,年由爱因斯坦基于物理定律导出这个现象的数学描述,.,相比之下数学上的描述比较慢，因为准确地数学描述这个模型非常困难,.,1900,年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布朗运动的一些结果,1918,年,Wiener,在博士论文以及后来的文章中给出该理论简明的数学公式,此后该课题得到了巨大的发展,被一些列的物理学家完善,布朗运动解释为,随机游动的极限,W,(,t,),表示质点在,时刻,t,的位置,，则,W,(,t,),也表示质点直到,t,所作的位移，因此在时间,(,s,t,),内，它所做的位移是,W,(,t,)-,W,(,s,),由于在时间,(,s,t,),内质点受到周围分子的大量碰撞，每次碰撞都产生一个小的位移，故,W,(,t,)-,W,(,s,),是大量小位移的和，由,中心极限定理它服从正态分布,介质处于,平衡状态,，因此质点在一小区间上位移的,统计规律只与区间长度有关,，而与开始观察的时刻无关,由于分子运动的,独立性和无规则性,，认为质点在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的位移也是独立的,（,Brown motion,）,称,实,S.P.W(t),t,0,是,Wiener,过程,如果,是相互独立的随机变量,的也称为,标准,运动,（）随机过程具有连续的样本轨道,二,.,布朗运动的定义,Wiener,过程,称,实,S.P.W(t),t,0,是参数为,2,的,Wiener,过程,如果,是平稳的独立增量过程,一、直线上的随机游动,设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔,t,时间，等概率地向左或向右移动,x,的距离。以,X(t),表示时刻,t,粒子的位置，则,其中,如果步长为,x,的第,i,步向右,如果步长为,x,的第,i,步向左,且,X,i,相互独立。,布朗运动定义的来源,因为,所以,当,时，应有,令,则当,时，有,注：若,当,时,，,当,时,，,一维,Brown,运动可看作质点在直线上作简单随机游动的极限,.,三,Brown,运动的数字特征,定理,设,W(t),t0,是参数为,2,的,Wiener,过程,.,则,证明,(1),由定义,显然成立,.,(2),由,(1),易知有,对,s,0,t,0,不妨设,s,t,则,独立性,例,1,SBM,是正态过程,证明,设,W(t),t0,是参数为,1,的,Wiener,过程,.,则对任意的,n,1,以及任意的,W(t,1,), W(t,2,),W(t,n,),是,n,维随机变量,由,Wiener,过程的定义知,相互独立,所以,是,n,维正态随机变量,.,又由于,所以,是,n,维正态变量,.,所以,W(t),t0,是正态过程,.,的联合密度函数为,其中,这是因为在,W,(,t,1,),=x,1,的条件下，,W,(,t,2,),的条件密度函数为,由此可以看出 服从,n,维正态分布,。,例,2:,求布朗运动,W,(t),的联合概率密度,解：设,W,(,t,),是标准布朗运动，对任意的,t,1,t,2,0,和固定的时间指标,t,0,有,W,(,at,)=,a,1/2,W,(,t,),3.,时间可逆性,B,(,t,)=,W,(,T,)-,W,(,T,-,t,),则,B,=,B,(,t,), 0,t,T,也是一个标准,Brown,运动,对称性的证明,：,显然,-,W,(0)=0,是相互独立的随机变量,上式表明，给定初始条件,W,(,t,0,),=x,0,，对于任意的,t0,，布朗运动在,t,0,+t,时刻的位置高于或低于初始位置的概率相等。这种性质称为布朗运动的对称性,。,布朗运动,W(t),的对称性,在,W,(,t,0,),=x,0,的条件下，,W,(,t,0,+t,),的条件密度函数为,令,自相似性证明,要证,X,服从正态分布,时间可逆性证明：,显然,B,(0)=,W,(,T,)-,W,(,T,-0)=0,即,是相互独立的随机变量,4.,平移不变性：,B,(,t,)=,W,(,t,+,a,)-,W,(,a,),，,t,0,a,是常数，则,B,(,t,),是,BM,5.,尺度不变性：,是标准,BM,6.,马氏性：,布朗运动是马氏过程,因为布朗运动是独立增量过程，所以，,W(t+s)-W(s),与过程在时刻,s,之前的值独立。,例,5,设,W,(t),，,t,0,是标准布朗运动， 求,E(,W,(2),W,(3), E(,W,(2) ,W,(3), E(,W,(2),W,(4),W,(3).,解,（,1,）,（,2,）,（,3,）,7,，布朗运动的轨道在任何区间上都不是单调的。,8,，布朗运动的轨道在任何点都不是可微的。,9,，布朗运动的轨道在任何区间上都是无限变差的。,10,，对于任意的,t,，布朗运动在,0,t,上的二次变差等于,t,。,二次变差的定义,定义,：,设函数,f,(t),在,0,，,T,上有定义，在,0,，,T,上定义一个剖 分,则相应于剖分,f,(t),的二次变差定义为,二次变差函数是随机微积分中最基本的定义之一,是伊藤积分等的研究对象和分析工具，,对现代分析数学和金融数学产生了深远的影响,性质,8.Brown,运动样本轨道的不可微性,定理,3.2.1,设,对于固定的时刻,t,0,定义增量,那么对于任意固定的,和时刻,有,例,6,设,W,(t),是布朗运动，求,W,(1)+,W,(2)+,W,(3)+,W,(4),的分布。,解,令,则,X,是多元正态分布,具有零均值,协方差矩阵为,令,则,而,所以,补充：布朗运动的首达时与最大值,最大值与首中时的分布特性,关键的结论,一、首中时及其分布,设,B(t),t,0,为标准布朗运动，,B,(0),=,0,，,令,T,a,=inft;t,0,B(t)=a,，则,T,a,表示首次击中,a,的时刻,（首中时）。,下面求,T,a,的分布函数,P(T,a,t),.,由全概公式有,三,.,首中时、最大值变量及反正弦律,显然,又由布朗运动的对称性知，在,T,a,t,的条件下，,即,B,(,T,a,),=a,时，,B(t) a,与,B(t) a,是等可能的，,即,于是当,a ,0,时，有,推论,1,：,P(T,a,)=,1,（,布朗运动的常返性,）,推论,2,：,ET,a,=+,布朗运动的零常返性,推论,3,：,由布朗运动的对称性，有,T,-a,与,T,a,有相同的,分布，即,P(,T,-a,t,)= P(,T,a,t,).,所以，对任意的,a,有,由推论,1,和推论,2,知，布朗运动以概率,1,迟早会击中,a,，但它的平均时间却是无穷的。并且布朗运动从任何一点出发击中,a,的概率都是,1,。性质,P,(,T,a,)=1,称为布朗运动的常返性。,二、最大值及其分布,称为布朗运动在,0,t,中的最大值。,利用,可得,类似地可得到布朗运动在,0,t,中的最小值,的分布。,三、反正弦律,对任意的,t,1,t,2,，记事件,0(t,1,t,2,)=,至少有一个,t (t,1,t,2,),使得,B(t)=0,=,在,(t,1,t,2,),内，,B(t)=0,至少有一个零点,，由全概公式有,由布朗运动的连续性、对称性及马尔可夫性知,定理：,记,0(t,1,t,2,)=,至少有一个,t (t,1,t,2,),使得,B(t)=0,在,t (t,1,t,2,),内没有一个,t,使得,B(t)=0,，,则,令,u=t,1,v,2,，则上式化为,特别，当,t,1,=xt, t,2,=t,0,x,1,时，有,