18-4一维势阱势垒

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,19,一维势阱,势垒,18-4,一维势阱 势垒,一、一维无限深,势阱中的粒子,质量为,m,的粒子只能在,0,x,a,的区域内自由运动，,势能函数为：,8,8,x,=,0,x,=,a,V,(,x,),定态薛定谔方程为：,当,x,a,时，,求解定态薛定谔方程,令,代入薛定谔方程得：,此方程的通解为：,由于,阱壁,无限高，所以,由式（1）得,B = 0,波函数为：,由式（2）得,于是,即:,由此得到粒子的能量,称为本问题中能量,E,的,本征值,.,势阱中的粒子其能量是,量子化,。,当,n,=,1,粒子具有最低能量,n,叫作量子数,称为,基态能级,o,a,x,E,势,阱,中,粒,子,能,级,图,与,E,相对应的本征函数，即本问题的解为：,式中常数可由归一化条件求得。,最后得到薛定谔方程的解为：,得到,一,维,无,限,深,势,阱,中,=1,=2,=3,=4,x,粒,子,的,波,函,数,0,n,n,n,n,a,x,0,a,例题：在阱宽为,a,的无限深势阱中,一个粒子的状态为,多次测量其能量。问,每次可能测到的值和相应概率？,能量的平均值？,解：已知无限深势阱中粒子的,则,多次测量能量(可能测到的值),能量的平均值,概率各1/2,势垒贯穿（隧道效应）,在经典力学中,若 ,粒子的,动能为正,它只能在,I,区中运动。,即粒子运动到势垒左边缘就被,反射回去，不能穿过势垒。,O,III,I,II,在量子力学中, 无论粒子能量是大于还是,小于 都有一定的几率穿过势垒，也有,一定的几率被反射。,我们下面只就 时，讨论薛定谔方程的解。,势垒的势场分布写为：,在三个区间内波函数应遵从的,薛定谔方程分别为：,O,III,I,II,定态薛定谔方程,的解又如何呢？,令：,定态解的含时部分：,三个区间的薛定谔方程化为：,若考虑粒子是从,I,区入射，在,I,区中有入射波,反射波；粒子从,I,区经过,II,区穿过势垒到,III,区，,在,III,区只有透射波。粒子在处的几率要大,于在处出现的几率。,其解为：,根据边界条件,：,时、空异号,为右行波,求出解的形式画于图中。,定义粒子穿过势垒的贯穿系数,：,I,II,III,隧道效应,当 时，势垒的宽度约50,nm,以上时，,贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在,实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。,隧道效应和扫描隧道显微镜,STM,由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于,表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，,而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1,nm。,只要将原子线度的极细探针,以及被研究物质的表面作为,两个电极，当样品与针尖的,距离非常接近时，它们的表,面电子云就可能重叠。,若在样品与针尖,之间加一微小电,压,U,b,电子就会穿,过电极间的势垒,形成隧道电流。,隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电,流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样,品表面的起伏。,Scanning tunneling microscopy,因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖,高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面电子态密度的分布；,使人类第一次能够实时地观,测到单个原子在物质表面上的排,列状态以及与表面电子行为有关,的性质。在表面科学、材料科学,和生命科学等领域中有着重大的,意义和广阔的应用前景。,空气隙,STM,工作示意图,样品,探针,利用,STM,可以分辨表面上,原子的台阶、平台和原子,阵列。可以直接绘出表面,的三维图象,48个,F,e,原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.,隧道电流,I,与样品和针尖间距离,S,的关系,利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（,PSTM)。1989,年提出成象技术。它可用于不导电样品的观察。,STM,样品,必须具有一定程度的导电性；在恒流工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一种技术都有其局限性。,