D2—1数列的极限

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 极限与连续,1,设,x,n,=,f,(,n,),是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，,x,1,x,2,x,n, ,称为一个数列.,x,n,称为数列的第,n,项，也称为通项,数列也可表示为,x,n,或,x,n,=,f,(,n,),第一节,数列,的极限,一、数列的概念,2,例.,3,1,x,看数列,从直观上看,这个数列,“当,n,趋向于无穷大时, 数列,x,n,无限接近,于1,.,2,x,1,x,2,x,3,x,4,x,n,二、数列的,极限,4,要说明“ 当,n,越来越大时,x,n,越来越接近于1”就只须说明“ 当,n,越来越大时, |,x,n,1 |,会越来越接近于0”,即 无限接近于0.,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,对于数列 与1的距离可表示为,5,这就是“,当,n,无限增大时，,x,n,无限地接近于1,”的实质和精确的数学描述。,6,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,比如, 对于刚才的数列有,7,注1.,定义中的,是预先给定的,任意,小的正数,其任意性保证了,x,n,可无限接近于,a,另外,又是,确定,的, 它不是变量.,注2.,一般说来,N,随给定的,变化而变化, 给不同的,确定的,N,也不同,另外, 对同一个,来说,N,不是唯一的(若存在一个,N,则,N,+1,N,+2, ,均可作为定义中的,N,.),8,注3.,定义中“ 当,n,N,时, 有|,x,n,a,|,”,的意思是说, 从第,N,+1,项开始,以后各项都有|,x,n,a,|,至于以前的项是否满足此式不必考虑. 可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质.,9,几何意义:,x,2,x,1,a-,x,N+5,a,x,N+1,a+,x,3,x,),(,x,N,由于|,x,n,a,|,a,x,n,0,(,a,N,时, 有,x,n,0 (,x,n,N,时, 有,夹挤定理的意义有:,(1) 给出判断数列,y,n,存在极限的方法;,(2) 给出了求,y,n,的极限的方法.,14,例2.,求,解：,用,夹挤定理,求解，,记,适当放大和缩小，形成定理要求的连不等式,考虑将,x,n,由于,所以,15,定理5.,单调递增且有上界的数列必有极限;,单调递减且有下界的数列必有极限.,即, 单调有界数列必有极限.,定理6.,设数列,x,n,和,y,n,的极限都存在.且,则,(1),(2),(3) 设,C,为常数，有,(4) 当,b,0 时，有,四、数列极限的运算法则,16,例3.,求,由于分母的极限等于5(,0,), 分子的极限等于3，,= 0，,=,.,故,17,一般，若,a,0,b,0,都非0，则,，,0，,k,L,18,例4.,求,解：,有理化.,= 50.,19,例5.,求,解：,注意到求和公式,= 2.,20,例6.,求,解：,注意到,从而,所以，原式=,21,例7.,求,解：,注意到,从而，,故,22,