02命题逻辑

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 命题逻辑,第二讲,定义,1-1,在数理逻辑中，把能惟一判断真假的陈述句,称为命题,(proposition),，以命题作为研究对象的逻辑,称为命题逻辑,(proposition logic),。,回 顾,要判断一个句子是否为命题，应首先判断它是否为,陈述句，再判断它是否有惟一的真值；若它是具有,惟一真值的陈述句，则为命题。,一、命题,定义,1-2,凡不能再分解的命题称为原子命题,(atomic proposition),。由原子命题和联结词,联结而成的命题称为复合命题,(compound pr,oposition,),。,原子命题是命题逻辑的基本单位，是一个不可,再分的个体，其真假性独立于其他命题。,二、命题的分类,定义,1-3,如果一个命题标识符代表任意未知命题，则称该命题标识符为命题变元。如果一个命题标识符代表一个确定的命题，则称之为命题常元。,命题变元类似代数中的变量，命题常元类似常量，但两者有着本质的区别。命题变元或常元代表的是命题元素，而变量和常量代表的是一个数值。,三、命题常元与命题变元,1.1.2,命题联结词,命题联结词与日常语言中的联结词类似，例如：“如果,那么,”,、“不但,而且,”,、“不”、“并且”、“或者”等等。但这些联结词没有经过严格定义，有的在意义上模棱两可，使用起来不很确切。,在数理逻辑中，联结词必须经过严格定义，它们的含义有时并不完全与日常语言的联结词一致，为了区别，我们把命题演算中的联结词称为命题联结词或逻辑联结词。,四、命题联结词,P,P,0,1,1,0,p,q,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,p,q,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,【,说明,】,析取又称为逻辑“或”。它可分为可兼或（,inclusive or,）和不可兼或（,exclusive or,）。联结词 “”代表的是可兼或，还有不可兼或。,例如：命题“小李在看书或听音乐”，这里的“或”显然是“可兼或”；而命题“小李正在教室看书或正在图书馆上网” 的“或”是“不可兼或”，因为同一个人不可能同时出现在两个不同的地方。不可兼或指的是二者不能同时存在。因此，析取联结词“”只表示“可兼或”。,例,1-3,将下列命题符号化：,（,1,）小李在看书或听音乐。,（,2,）小李正在教室看书或正在图书馆上网。,解（,1,）设,p,：小李在看书，,Q,：小李在听音乐；,则该命题符号化为：,P,Q,。,（,2,）设,R,：小李正在教室看书，,S,：小李正在图书馆上网；此命题必须使用多个联结词，命题符号化为： 。,p,q,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,在真值表中，除了前件为真，后件为假时为假，其余都为真。,前件为假不是我们考虑的对象，所以不管后件是真还是假，都有为真。这种情况逻辑学上称为“,善意推定,”,。,正是因为这个“善意推定”，阿基米德才会说：“给我一个支点，我能把地球撬起来。”，这句话永远是对的，因为没有谁能给他这样一个支点，前件总为假，不管他能否把地球撬起来，他都是对的。,p,q,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,1,1.1.3,逻辑联结词的优先级,为了使命题的符号化变得清晰而简洁，需要给命题联结词规定优先级次序，,5,种联结词也称为逻辑运算符，其优先级次序规定为：“,”,、“,”、“,”、“,”、“,”。其中 “,”,的优先级最高，“,”的优先级最低。,如果有括号，括号最优先。在同一括号层并列两个以上相同的联结词，则按从左到右的顺序运算。例如：,p,q,r,的含义与,(,p,(,q,),r,相同，,而与,p,(,q,),r,),或,p,(,(,q,r,),的含义不同。,1.2,命题公式,不包含联结词的命题叫做原子命题,至少包含一个联结词的命题称为复合命题。若命题表达式中包含具体命题，或者命题变元，则称之为命题公式。命题变元称为命题公式的分量。,并非由命题常元、变元、联结词和括号组成的字符串都是命题公式。在此给出一个严谨的定义，在给出定义之前先介绍递归定义（,Inductive definition,）的方法。,递归定义一般用于定义集合的元素，整个过程分为三步：,（,1,）基础：确定某个对象在集合中。,（,2,）递归：确定构造集合元素的方法。,（,3,）界限：确定集合元素的范围。,例如：定义一个非负偶数集合,E,。,解：（,1,）基础：,（,2,）递归：,（,3,）界限：除非有限次地应用基础和递归步造成的数是偶数外，其余均不是偶数。,1,2,1,命题公式,命题公式也称命题演算的合式公式,(Well form formula,简写为,wff,),。,定义,1-6,命题公式的递归定义如下：,(,1),单个的命题常元或命题变元是命题公式；,(2),如果,A,是一个命题公式，则,(,A),也是命题公式；,(3),如果,A,和,B,都是命题公式，则,(,A,B),、,(A,B),、,(A,B),、,(A,B),也是命题公式；,(4),当且仅当有限次地应用（,1,）、,(2),、（,3,）所得到的符号串是命题公式。,例如下列不是命题公式,:,pq,、,p q,、,(,p,q,),r,、,B,、（,A,B,）,。,而 、 、 是命题公式。,根据逻辑联结词的优先级别可省略一些圆括号，如上述命题公式可写成： 、 、 。,【,说明,】,在命题公式的定义中，引进了,A,、,B,等符号，它们代表任意的公式，本书以后出现的,A,、,B,等符号除特别说明外，均表示公式。,1,2,2,命题公式的翻译,一、把自然语言描述的命题抽象为形式命题,(,即形式化,),形式化时应注意联结词的选择，确定联结词时除根据自然语言的联结词外，还要考虑语句的实际含义。,例如：大家要取得好成绩，除非努力学习。,其中“除非”是“只有”，除此之外没有其它条件。因此努力学习是取得好成绩的必要条件。,设,P,：大家要取得好成绩；,Q,：大家要努力学习。,则命题形式化为：,例,1-6,将下列命题符号化,（,1,）,8,能被,2,整除，但不能被,6,整除。,（,2,）林强学过英语或法语。,（,3,）方梅出生于,1956,年或,1957,年。,（,4,）凡进机房者必须换拖鞋、穿工作服，否则罚款,10,元。,解（,1,）设,p,：,8,能被,2,整除，,q,：,8,能被,6,整除；,则该命题符号化为：,（,2,）设,p,：林强学过英语，,q,：林强学过法语。,由于林强既可能学过其中一种语言，也可同时学这两种语言，所以这是可兼或。,则该命题符号化为：,（,3,）设,p,：方梅出生于,1956,年，,q,：方梅出生于,1957,年。,由于方梅可能出生于,1956,年，也可能出生于,1957,年，还可能出生于其它年份，但不可能既出生于,1956,年又出生于,1957,年。所以这是不可兼或。,该命题应符号化为：,（,4,）设,p:,进机房者换拖鞋,q:,进机房者穿工作服，,r:,进机房者被罚款,10,元。,则该命题应符号化为：,例,1-7,设,P,:,明天下雨。,Q,:,明天下雪。,R,:,我去学校。,试把下列命题符号化,:,1),如果明天不是雨夹雪,我就去学校。,2),如果明天既不下雨又不下雪,我就去学校。,3),明天下雨或者下雪,我就不去学校。,解：,1),(,P,Q),R,2) (,P,Q),R,3) (P,Q),R,二、把符号命题翻译成自然语言命题,这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保持原命题的意思。,例,设,A,:,今天下雨。,B,:,今天下雪。,C,:,今天天晴。试把下列形式语言翻译成自然语言,:,1) (,A,B,),2),C,(,A,B,),3),A,B,C,解,:1),说今天下雨且下雪是不对的。,2),今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。,3),如果今天下雨或者下雪,今天就不是晴天。,堂上练习,1.,将下列命题符号化：,(1) 3,不是偶数。,(2),小强虽聪明，但不用功。,(3),派小王或小李出差。,(4),如果天下雨，他就乘公共汽车上班。,(5),只有天下雨，他才乘公共汽车上班。,(6),我既不看电视也不外出，我睡觉。,(7),我们不能既走路又划船。,(8),小王现在在宿舍或在图书馆。,天没下雨，我也没有进城。,如果我有时间，我将进城。,如果天不下雨而且我又有时间，我将进城。,（,R,Q,）,Q,（,R,P,）,（,Q,R,）,（,R,Q,）,2.,设,P:,天下雨。,Q,：我将进城。,R,：我有时间。,试将下列命题形式化或翻译成自然语言命题。,课后作业,